新中考·核心专题集训6 圆的拓展应用-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套课件PPT

新中考·核心专题集训6 [范围：圆的拓展应用] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题 1．如图，AB，AC分别切⊙O于B，C两点，若∠OBC＝26°，则∠A的度数为(　　) A．32°　　　　　　　　 B．52° C．64° D．72° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2．如图，在△ABC中，O为AC边上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆切AB于点B，若AB＝OC＝ ，则△ABC的面积为(　　) 【解析】 连结OB，过点B作BD⊥AC，垂足为D， ∵AB与半圆O相切于点B，∴∠ABO＝90°. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3．如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连结AC，BC.若∠P＝60°，∠MAC＝75°，AC＝ ＋1，则⊙O的半径是(　　) 【解析】 连结OA，OB，OC，AB，如图， ∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题 4．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结BC，若∠B＝28°，则∠P＝______°. 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5．[2023·杭州 ]如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则 ＝_______． 【解析】 如图所示，连结OA，OC，OE. ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴AC＝AE＝CE， ∴△ACE是⊙O的内接正三角形， ∵∠B＝120°，AB＝BC， 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6．小周同学在学习了折叠专题后，决定对扇形的折叠进行研究，首先他剪出一张扇形纸片，按如图1所示方法进行折叠，OA，OB为扇形半径， AO′，CB′为折痕，则tan ∠O＝______；然后小周又剪出了一个扇形进行不同的尝试，按如图2所示方法进行折叠后， 恰好与AO相切于点 F，DB′，GO′为折痕，则tan ∠O＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、解答题 7．[2021·湖州]如图，已知AB是⊙O的直径， ∠ACD是 所对的圆周角，∠ACD＝30°. (1)求∠DAB的度数． (2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F.若AB＝4，求DF的长． 解：(1)如图，连结BD， ∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8．[2023·绍兴]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E. (1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数． (2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长． 解：(1)∵AE⊥CD于点E， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACD＝∠AEC＋∠EAC＝90°＋25°＝115°. (2)∵CD是⊙O的切线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9．[2023·宁波]如图1，锐角三角形ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC. (1)求∠BGC的度数． (2)①求证：AF＝BC. ②若AG＝DF，求tan ∠GBC的值， (3)如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长． 解：(1)∵BC平分∠EBG，∴∠EBC＝∠CBG， ∵∠EBC＝∠EAC，∴∠CBG＝∠EAC. ∵AC⊥FC，∴∠AFC＋∠EAC＝90°， ∵∠BCG＝∠AFC，∴∠BCG＋∠CBG＝90°， ∴∠BGC＝90°. (2)①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC的中点， ∴GD＝CD，∴∠DGC＝∠DCG， ∵∠BCG＝∠AFC， ∴∠DGC＝∠AFC，∴CF＝CG. ∵∠ACF＝∠BGC＝90°， ∴△ACF≌△BGC(ASA)， ∴AF＝BC. ②如图1，过点C作CH⊥EG于点H， (3)如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N， ∵OB＝OC， ∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB， ∴OC∥BE. ∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN， ∴△EBD≌△NCD(ASA)， ∴BE＝CN， ∵OC∥BE， ∴∠GOC＝∠MBO， ∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB， ∴△COG≌△OBM(AAS)， ∴BM＝OG＝1， ∵OM⊥BE，∴CN＝BE＝2BM＝2， 设OB＝OC＝r， ∵OC∥BE， ∴△GON∽△GBE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10．[2023·丽水]如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D 是 的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H. (1)求证：AD∥HC. (2)若 ＝2，求tan ∠FAG的值． (3)连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5. 下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答． ①若OF＝ ，求BC的长． ②若AH＝ ，求△ANB的周长． ③若HF·AB＝88，求△BHC的面积． (2)如图1，连结AO， 设CG＝x，则FG＝x，OG＝5－x，OF＝5－2x， 由勾股定理得AG2＝AO2－OG2＝25－(5－x)2， AF2＝AG2＋FG2＝10x－x2＋x2＝10x， ∵AD∥HC，FG＝CG， 感谢聆听，再见！ A．1＋ B．1＋ C． D． ∵AB＝OC＝，∴AB＝OB＝， ∴∠A＝∠BOA＝45°，∴AO＝AB＝2， ∴AC＝AO＋OC＝2＋. 在Rt△ABD中，BD＝AB·sin 45°＝×＝1， ∴△ABC的面积＝AC·BD＝×(2＋)×1＝1＋. A． B． C． D． ∵∠P＝60°， ∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°. ∵∠MAC＝75°，∴∠OAC＝15°， ∴∠ACO＝15°，∴∠BCO＝∠CBO＝45°， ∴△OBC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°， ∴∠BAC＝45°. 过点B作BH⊥AC，垂足为点H. 则BH＝AH＝CH， ∴AC＝AH＋CH＝CH＋CH＝CH＝＋1， ∴CH＝1，∴BC＝2，∴OB＝. ∴∠BAC＝∠BCA＝(180°－∠B)＝30°. ∵∠CAE＝60°， ∴∠OAC＝∠OAE＝30°， ∴∠BAC＝∠OAC＝30°， 同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°. 又∵AC＝AC， ∴△BAC≌△OAC(ASA)， ∴S△BAC＝S△AOC， 由圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE， 由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE， 【解析】 由折叠的性质可知OB′＝O′B′＝BO′，∠AO′O＝90°.设OB′＝O′B′＝BO′＝m， ∴OA＝OB＝3m，OO′＝2m. 在Rt△AOO′中，AO′＝m， ∴tan ∠O＝＝. 过点F作FM⊥OA，交OB的延长线于点M，连结MG，FM，如图， 设BM＝x，O′B＝OB′＝O′B′＝a， 则有GO′＝a. ∵恰好与AO相切于点F， ∴点M即为所在圆的圆心， ∴FM＝B′M＝MG＝2a＋x. 在Rt△GO′M中， 由勾股定理得＋(a＋x)2＝(2a＋x)2， 解得x＝a，∴FM＝3a，OM＝4a. 在Rt△FOM中，由勾股定理可得OF＝a. ∴tan ∠O＝＝. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°－∠B＝60°. (2)∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AD＝AB＝2. ∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径， ∴EF＝DE＝AD sin 60°＝， ∴DF＝2DE＝2. ∴半径OC⊥DE， ∴∠OCD＝90°. 在Rt△OCD中， ∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB＋BD＝3， ∴CD＝＝. ∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE， ∴＝，∴＝，∴CE＝. 设AG＝DF＝2x， ∵△ACF≌△BGC， ∴AF＝BC＝2DG， ∴CD＝DG＝AG＋DF＝4x， ∵CF＝CG， ∴HG＝HF＝3x， ∴DH＝x，AH＝5x， ∴CH＝＝＝x， ∴tan ∠GBC＝tan ∠CAF＝＝， ∴tan ∠GBC的值为. ∴＝，∴＝， 解得r＝或r＝(舍去)， ∴AC＝BG＝BO＋OG＝r＋1＝. ∴AC的长为. 解：(1)证明：∵点C，D是的三等分点， ∴. 由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD， ∵HC是⊙O的切线， ∴HC⊥CE， ∴AD∥HC. ∵， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵CE⊥AD， ∴∠AGC＝∠AGF＝90°， ∴△CAG≌△FAG(ASA)， ∴CG＝FG. 设CG＝a，则FG＝a， ∵＝2， ∴OG＝2a，AO＝CO＝3a. 在Rt△AOG中，AO2＝AG2＋OG2， ∴(3a)2＝AG2＋(2a)2， ∴AG＝a， ∴tan ∠FAG＝＝. (3)①在图1中，∵OF＝，OC＝OA＝5， ∴CF＝，∴CG＝FG＝， ∴OG＝，∴AG＝＝. ∵CE⊥AD，∴AD＝2AG＝. ∵， ∴， ∴BC＝AD＝. ②如图2，连结CD， ∵AD∥HC，FG＝CG，∴AH＝AF. ∵∠HCF＝90°，∴AC＝AH＝AF＝. 设CG＝x，则FG＝x， OG＝5－x. 由勾股定理得AG2＝AO2－OG2＝AC2－CG2， 即25－(5－x)2＝10－x2， 解得x＝1， ∴AG＝3，AD＝6. ∵，∴∠DAC＝∠BCD， ∵∠CDN＝∠ADC，∴△CDN∽△ADC， ∴＝， ∴ND＝＝，AN＝. ∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC， ∴△ANB∽△ACD. 设l表示周长， 则l△ANB＝l△ACD×＝(6＋2)×＝＋. ③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝MB＝AB， ∴AH＝AF＝HF，∴AG＝HC， ∴AF·AM＝HF·AB＝HF·AB＝×88＝22. ∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM， ∴△AFG∽△OFM， ∴＝， ∴AF·FM＝OF·GF， ∴AF·AM＝AF·(AF＋FM)＝AF2＋AF·FM＝AF2＋OF·GF＝22， 可得方程10x＋x(5－2x)＝22， 解得x1＝2，x2＝5.5(舍去)， ∴CG＝FG＝2，∴OG＝3， ∴AG＝4，∴HC＝8，AH＝AF＝2， ∴S△CHA＝8. ∵AD∥HC， ∴∠CAD＝∠ACH， ∵＝， ∴∠B＝∠CAD， ∴∠B＝∠ACH. ∵∠H＝∠H， $$