新中考 核心专题12 数学文化-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套课件PPT

新中考 核心专题12　数学文化 目录 CONTENTS 命题脉络 01 02 考向分析 熟悉命题意图 研习典例 探究命题解法 例题研析 01 命题脉络 考向分析 熟悉命题意图 02 例题研析 研习典例 探究命题解法 视角一　数与代数 例1 2023·绍兴《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y 斛，则可列方程组是(　　) B 视角一　数与代数 思考：(1)你能根据哪些语句确定等量关系？ (2)你能列出哪些等量关系？ 视角一　数与代数 变式 2023·丽水古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两).今 有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为_________斤． 视角一　数与代数 思考：(1)30斤生丝干燥成一定量的干丝，其比例会发生变化吗？ (2)你能根据题意找出等量关系吗？ 视角二　空间与形状 类型1　弦图 例2 2023·杭州第二十四届国际数学家大会会徽的设计基 础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图， 在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连结BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2β，则n＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 C 视角二　空间与形状 思考：(1)根据全等的直角三角形这个条件，哪些量之间存在等量关系？ (2)通过解直角三角形能写出AE与DE之间的数量关系吗？ 视角二　空间与形状 变式2023·温州图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H.当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为(　　) C 视角二　空间与形状 思考：(1)根据菱形的性质，可得哪些线段的长度？ (2)△BHE与△BAO存在什么关系？如何证明？ 视角二　空间与形状 视角二　空间与形状 类型2　七巧板 例3 2021·丽水小丽在“红色研学”活动中深受革命 先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧 板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之 间的距离是__________． 视角二　空间与形状 思考：(1)你能求出每一块纸片的各边长度吗？ (2)AB，CD之间的距离能转化为哪些线段求解？ 视角二　空间与形状 视角二　空间与形状 变式 2023·温州图1是4×4方格绘成的七巧板图 案，每个小方格的边长为 ，现将它剪拼成一 个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF 作为题字区域(点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为_____．若点A，N，M在同一直线上， AB∥PN，DE＝ EF，则题字区域的面积为_________． 5 视角二　空间与形状 思考：(1)如何确定圆的圆心？ (2)能否利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径？ (3)题字区域的面积可表示为DE·EF，能否利用勾股定理求得线段呢？ 视角二　空间与形状 则OH＝r－KH＝r－2.在Rt△OHQ中，由勾股定理，得 OH2＋QH2＝QO2，即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.连结OE，取ED的中点T，连结OT，交AB于点S，连结PB，AM， ∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB. ∵点A，N，M在同一直线上，∴MN＝AN. 又∵NB＝NA＝MN，∴∠A＝∠ABN，∠NMB＝∠NBM. ∵∠A＋∠ABN＋∠NMB＋∠NBM＝180°，∴∠ABN＋∠NBM＝90°， 视角二　空间与形状 视角三　原理与探索 例4 2021·绍兴圭表(如图1)是我国古代 一种通过测量正午日影长度来推定节 气的天文仪器，它包括一根直立的标 竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固 定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表 视角三　原理与探索 平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米． (1)求∠BAD的度数． 视角三　原理与探索 思考：(1)你能根据已知条件写出相应的锐角三角函数吗？ (2)∠ADC和∠ABC的正切值有什么等量关系？ 视角三　原理与探索 感谢聆听，再见！ A． B． C．D． 【解析】 ∵大容器5个、小容器1个，总容量为3斛， ∴5x＋y＝3；∵大容器1个、小容器5个，总容量为2斛， ∴x＋5y＝2.∴所列方程组为 【解析】 设原有生丝为x斤，则x∶12＝30∶(30－3)， 解得x＝，故原有生丝为斤． 【解析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tan α＝，tan β＝，tan α＝tan2β，∴＝， ∴(b－a)2＝ab，∴a2＋b2＝3ab.∵a2＋b2＝AD2＝S正方形ABCD，(b－a)2＝S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝ab∶3ab＝1∶3. ∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝1∶n，∴n＝3. A． B． C． D． 【解析】 ∵四边形CDEF是菱形，DE＝2， ∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF. ∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝4， OE＝DE＝2，∴CO＝CD＋DO＝6， ∴AB＝BC＝CO＝3，OB＝BC＝3. ∵∠A＝90°，∴AO＝＝＝3. ∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BOC＝30°， ∴BE＝EF＝. ∵EH⊥AB，∴EH∥OA，∴△BHE∽△BAO， ∴＝，即＝，∴EH＝. 【解析】 如图，过点E作EI⊥FK于I，过点M作MJ⊥FK于J. 由题意，得△ABM，△EFK都是等腰直角三角形， AB＝BM＝2，EK＝EF＝2， FK＝4，FK与CD之间的距离为1. ∵EI⊥FK，∴KI＝IF， ∴EI＝FK＝2. ∵MJ∥EI，∴＝＝，∴MJ＝.∵AB∥CD， ∴AB与CD之间的距离为2＋＋1＝. 【解析】 如图所示，依题意每一个小方格的边长为， ∴利用勾股定理可得GH＝2＝GQ， ∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4， 且NK⊥QL，∴圆心O一定在KN上．连结OQ， 则OQ为⊙O半径． 设圆O的半径为r， 即∠ABM＝90°. ∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝PB＝2. ∵KH＋HN＝2＋4＝6，∴ON＝6－5＝1，∴OS＝3. ∵DE＝EF.设EF＝ST＝a，则ET＝DE＝a. 在Rt△OET中，由勾股定理，得OE2＝OT2＋TE2，即52＝(3＋a)2＋(a)2，整理得5a2＋12a－32＝0，即(a＋4)(5a－8)＝0，解得a＝或a＝－4(不符合题意，舍去)，∴题字区域的面积为a2＝×()2＝. (2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米). (参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈，tan 84°≈) 解：(1)∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°， ∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝47°， 答：∠BAD的度数是47°. (2)在Rt△ABC中，tan 37°＝，∴BC＝. 同理，在Rt△ADC中，DC＝. ∵BD＝4，∴BC－DC＝－＝BD＝4. ∴AC－AC≈4，∴AC≈3.3(米). 答：表AC的长约是3.3米． $$