第一章集合与常用逻辑用语章末素养提升1课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 章末素养提升 | 体 系 构 建 | | 核 心 归 纳 | 1．集合中元素的三个特性 特征 含义 示例 确定性 作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了 集合A＝{1，2，3}，则1∈A，4∉A 特征 含义 示例 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素 集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合{1，0}和{0，1}是同一个集合 2．集合描述法的两种形式 (1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般形式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不可省略，如大于1且小于4的实数构成的集合可以表示为{x∈R|1＜x＜4}．在不产生误解的情况下，x的取值集合可以省略不写，如在实数集R中取值，“∈R”常省略不写，于是上述集合可表示为{x|1＜x＜4}． (2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出来，并写在花括号内，如{x|x是参加平昌冬奥会的运动员}，但花括号内不能出现“所有”“全体”“全部”等字样． 3．条件关系判定的常用结论 4．全称量词命题和存在量词命题的否定 对含有全称(存在)量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词；第二步，将结论加以否定． 含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．例如： (1)“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”； (2)“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的否定为“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“所有的”． | 思 想 方 法 | (一)分类与整合思想 思想方法解读：当所给集合不确定时，往往需要对集合的种类和集合中的字母参数进行分类讨论，特别要注意空集的情况． 【答案】C 【点评】本题主要考查集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验． 　　　　已知集合A＝{x|2≤x≤9}，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【点评】考查描述法表示集合的概念，以及子集的定义，不要漏了B＝∅的情况． 1．已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|5＜2x－1＜17}． (1)求A∩B，(∁RB)∪A； (2)已知C＝{x|m＋2＜x≤2m}，若C∩B＝C，求实数m的取值范围． 解：(1)因为B＝{x|5＜2x－1＜17}＝{x|3＜x＜9}， 所以A∩B＝{x|3＜x＜7}， ∁RB＝{x|x≤3或x≥9}， 所以(∁RB)∪A＝{x|x＜7或x≥9}． (二)数形结合思想 思想方法解读：集合的运算时，对离散的数集间的运算，可借助Veen图实施，对连续的数集间的运算，常常利用数轴进行，这在本质上是数形结合思想的体现和运用． 　　　　某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为 (　　) A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】B 【解析】随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出Venn图如右， 所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70．故选B． 【点评】本题求阅读过《西游记》的学生人数，考查交集定义等基础知识、运用Venn图求解能力与数形结合思想，属于基础题． 2．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有多少名？ 解：如图，画三个圆分别代表参加数学、物理、化学竞赛的人数．因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科竞赛的有5名，只参加物、化两科竞赛的有3名，只参加数、化两科竞赛的有4名．分别填入图形中，又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛． 故单独参加数学的有8人、单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，故8＋13＋5＋5＋7＋4＋3＝45是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为48－45＝3． 　　　　已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∩Q＝ (　　) A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1} 【答案】A 【解析】在数轴上表示两个集合，如图，可得P∩Q＝{x|－1≤x＜3}． 【点评】当集合是用不等式表示时，涉及集合的基本运算，可运用数轴数形结合求解，对于端点处的取舍，可以单独检验． 3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∪B＝ (　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4} 【答案】D 【解析】在数轴上表示出集合A与B，如图所示． 则由并集的定义知，A∪B＝{x|－1≤x≤4}．故选D． (三)转化与化归思想 思想方法解读：应用集合的交、并、补集的运算求参数或确定另外的集合，关键是利用交、并、补集的定义将问题转化为元素与集合的关系，从而构造方程、不等式(组)来解答． 　　　　已知集合A＝{x|－a＜x＜2a－6}，B＝{x|(x＋1)(x－5)＜0}． (1)若a＝4，求A∩B； (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 解：(1)B＝{x|－1＜x＜5}，当a＝4时，A＝{x|－4＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}． 【点评】本题考查了描述法的定义，不等式的解法，交集、并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 4．已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}． (1)若a＝5，求A∪B； (2)若A∩B＝∅，求实a的取值范围． | 链 接 高 考 | 　　　　(2022年浙江)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝ (　　) A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6} 【答案】D 【解析】∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}．故选D． 【点评】本题考查了并集的运算，属基础题． 集合的并集、交集、补集及其运算 【答案】D 【点评】本题考查了交集的运算，属基础题． 　　　　(2022年北京)已知全集U＝{x|－3＜x＜3}，集合A＝{x|－2＜x≤1}，则∁UA＝ (　　) A．(－2，1] B．(－3，－2)∪[1，3) C．[－2，1) D．(－3，－2]∪(1，3) 【答案】D 【解析】因为全集U＝{x|－3＜x＜3}，集合A＝{x|－2＜x≤1}，所以∁UA＝{x|－3＜x≤－2或1＜x＜3}＝(－3，－2]∪(1，3)．故选D． 【点评】本题考查了补集的运算，属基础题． 　　　　(2022年乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则 (　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 【答案】A 【解析】因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．故选A． 【点评】本题考查了补集的运算，属基础题． 　　　　(2022年甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝ (　　) A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0} 【答案】D 交集、并集、补集的混合运算 【解析】∵B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，A＝{－1，2}，∴A∪B＝{－1，1，2，3}．又∵U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{－2，0}．故选D． 【点评】本题考查了并集、补集的运算，属基础题． 　　　　(2022年浙江)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 充分条件、必要条件的判断 【解析】∵sin2x＋cos2x＝1，当sin x＝1时，则cos x＝0，充分性成立；当cos x＝0时，则sin x＝±1，必要性不成立．∴“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件． 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判定，属基础题． 【答案】A 【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，不等式的性质等基础知识，运算求解能力，以及函数与方程思想，属于基础题． 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p且pq p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 　　　　已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则a＝ (　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 【解析】因为－3∈A，所以－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1或a＝－，所以当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去；当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足，所以a＝－．故选C． 解：因为B⊆A，所以当B＝∅时，m－1≥2m＋1，所以m≤－2； 当B≠∅时，即所以3≤m≤4． 综上可得，m≤－2或3≤m≤4． (2)因为C∩B＝C，所以C⊆B． 当C＝∅时，m＋2≥2m，解得m≤2； 当C≠∅时，解得2＜m＜． 综上可得，实数m的取值范围为． (2)因为A∪B＝B，所以A⊆B． 当A＝∅时，－a≥2a－6，解得a≤2； 当A≠∅时，解得a∈∅． 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤2}． 解：(1)若a＝5，则A＝{x|5≤x≤8}． 又因为B＝{x|x＜－2或x＞6}，所以A∪B＝{x|x＜－2或x≥5}． (2)因为A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}，A∩B＝∅， 所以解得－2≤a≤3， 所以实数a的取值范围是{a|－2≤a≤3}． 　　　　(2022年新高考Ⅰ)若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝ (　　) A．{x|0≤x＜2} B． C．{x|3≤x＜16} D． 【解析】由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}．由3x≥1，得x≥，∴N＝{x|3x≥1}＝，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩＝．故选D． 　　　　(2018年上海)已知a∈R，则“a＞1”是“ ＜1”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】a∈R，则a＞1⇒ ＜1， ＜1⇒a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“ ＜1”的充分不必要条件．故选A． $$