指数复合型函数的对称性讲义-2025届高三数学一轮复习

指数复合型函数的对称性 核心结论： 证明思路：设f(x)的对称中心为（m,n)，则f(m-x)+f(m+x)=2n. 记忆方法：横下对，纵半分（横坐标是使分母取对数的值，纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半） 【例1】函数 衍生结论1： 推导思路：先分离常数， 则 然后利用图象的平移关系，得到 【例2】已知，则 ． 衍生结论2： 推导思路：先分离常数， 则 然后利用图象的平移变换关系，得到 【例3】 跟踪训练 1．已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数，则下列结论正确的为（    ） A．若为奇函数，则 B．时，在R单调递增，且值域为 C．无论a取何值，均有对称中心 D．已知时，和交于,则 3. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则 . 4. 已知函数，，则在区间上的最大值与最小值之和为 . 5. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 6. 已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数复合型函数的对称性 核心结论： 证明思路：设f(x)的对称中心为（m,n)，则f(m-x)+f(m+x)=2n. 记忆方法：横下对，纵半分（横坐标是使分母取对数的值，纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半） 【例1】函数 【解析】观察解析式，利用结论可知函数图象关于（2，）中心对称，验证 衍生结论1： 推导思路：先分离常数， 则 然后利用图象的平移关系，得到 【例2】已知，则 ． 【解析】观察解析式，可知函数图象关于（，2中心对称，则，注意到，由此即可进一步求解. 因为 ， 又， 所以 . 衍生结论2： 推导思路：先分离常数， 则 然后利用图象的平移变换关系，得到 【例3】 【解析】观察解析式，由结论可知函数图象关于（2，）中心对称， 所以M+N=4039 跟踪训练 1．已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一方面由题意有， 另一方面若有成立， 结合以上两方面有， 且注意到， 所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增， 若，则只能， 因此当且仅当； 又已知， 所以，即， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（多选）已知函数，则下列结论正确的为（    ） A．若为奇函数，则 B．时，在R单调递增，且值域为 C．无论a取何值，均有对称中心 D．已知时，和交于,则 【答案】BCD 【分析】对于A：举例说明即可；对于B：整理得，根据单调性的性质结合不等式性质分析判断；对于C：分类讨论a的符号，根据对称性的定义分析判断；对于D：若，由选项C可知的定义域为，且为的对称中心，令，可知和交点横坐标即为的零点，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则的定义域为， 且， 所以为奇函数，故A错误； 对于选项B：因为， 若，则，可知的定义域为， 因为在R单调递增，则在R单调递减，所以在R单调递增； 由可得， 由，则，可得； 综上所述：在R单调递增，且值域为，故B正确； 对于选项C：若，的定义域为，则为的对称中心； 若，则的定义域为， 且 ； 可知：为的对称中心； 若，则的定义域为， 且 ； 可知：为的对称中心； 综上所述：无论a取何值，均有对称中心，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为， 且，可知为的对称中心， 若，由选项C可知的定义域为，且为的对称中心， 令， 可知的定义域为，且为的对称中心， 不妨设，可知和交点横坐标即为的零点， 当时，，可知在内单调递减， 则在内单调递减，且， 可知在内存在唯一零点， 根据对称性可知：在内存在唯一零点， 且，故D正确； 故选：BCD. 3. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【详解】由题意为奇函数， 所以，则， 所以， 所以恒成立， 故或，所以. 故答案为： 4. 已知函数，，则在区间上的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 在上函数满足： 奇函数在区间上的最大值与最小值互为相反数，其和为. 5. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知，可得, 即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即，由可得； 所以，利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 6. 已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 【详解】（1）证明：由于函数， 则， 所以. （2）由（1）可知，， 则，其中为正整数，， 即，且， 所以，其中为正整数，， 且， ，① 变化前项顺序后，可得：，② ①②得：， 因此. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$