海南省儋州黄冈实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

儋州黄冈实验学校2023-2024学年度第二学期高二年级数学期中考试试题 数学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集为R，集合，，则（       ） A． B． C． D． 2．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 3．已知等比数列中，，则（       ） A． B． C．1 D．2 4．某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（       ） A．0.09 B．0.12 C．0.18 D．0.27 5．随机变量X的分布列如下：若，则的值是（       ） X 0 1 P a A． B．5 C． D． 6．已知数列的前项和为．若，，则（       ） A． B． C． D． 7．直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（       ） A． B． C． D． 8．已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9.已知向量，，其中，下列说法正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影为 10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球．，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（       ） A．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为 B．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为 C．若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为 D．若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为 11．下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 12．已知曲线：，则下列说法正确的是（       ） A．若曲线表示双曲线，则 B．若曲线表示椭圆，则且 C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则 D．若曲线与椭圆有公共焦点，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．若随机变量，，则______． 14．二项式的展开式中当且仅当第4项的二项式系数最大，则________，展开式中含的项的系数为________． 15．已知点在直线上，当，时，的最小值为___________． 16．已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面四边形中，，，，. (1)求的值； (2)求边的值. 18．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且. (1)求与； (2)证明：. 19.如图所示，曲线，曲线，过点作直线交曲线于点A，交曲线于点B，若点C在曲线的准线上． (1)求； (2)若存在直线使点B为中点，求A点横坐标（用p表示）及斜率的范围． 20．如图，在四校锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA= AB =2，AD=3，BC =1，E是PB的中点. (1)证明：PB⊥平面ADE； (2)求直线AP与平面AEC所成角的正弦值. 21．某公同为调查某产品的市场满意度，对市场进行调研测评，测评方式知下：从全体消费者中随机抽取1000人给该商品评分，得分在60分以下视为“不满意”，得分在区间视为“基本满意”，得分在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给该商品的评分分组：，得到如下频率分布直方图： (1)对评分为“基本满意”与“非常满意”的消费者进行跟踪调查，根据上述的统计数据补全列联表，并判断是否有99.5%的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关． 基本满意 非常满意 总计 年龄 350 年龄 110 总计 800 附：． (2)从评分为“基本满意”和“非常满意”的消费者中用分层抽样的方法抽取8人，进行二次调查，对产品提出改进意见，并进行评比．最终有3人获奖（8人中每人是否获奖视为等可能的），求获奖消费者中评分为“基本满意”的人数X的分布列及数学期望． 22．已知函数． (1)若时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处取极小值，求a的取值范围 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 儋州黄冈实验学校2023-2024学年度第二学期高二年级数学期中考试试题参考答案 1．D 【详解】 解：因为，，故集合不存在包含关系，故A,B选项错误； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，，故D选项正确. 2．D 【详解】 ，因为命题“，”为真命题， 所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出， 由不一定能推出，由一定能推出， 3．C. 【详解】 设等比数列的公比为，由，得，解得，. 4．D 【详解】 先从3个位置中选1个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的9个数字中选一个数字放入（两个位置数字相同），有种方法，所以所求概率． 5．B 【详解】 由题可得，∴，∴， ∴，又因为，所以. 6．C 【详解】 当时，由①，可得：②，两式相减得：，所以，， 当时，，故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列， 所以，所以 7．A 【详解】 由题意，棱柱底面三角形中，底面外接圆半径， 又为直三棱柱且，所以其外接球半径，故球体表面积为. 8．D 【详解】 因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 作出在上的图象，如图： 由图可知要使有3个不同的实根，则. 9．ABD 【详解】 对于A选项，若，则，解得，A对； 对于B选项，若，则，所以，，B对； 对于C选项，若与的夹角为钝角，则，可得， 且与不共线，则，故当与的夹角为钝角，则且，C错； 对于D选项，若，则，所以，向量在方向上的投影为，D对. 10．BCD 【详解】 对于A，第一次摸到红球的概率为，故A错误； 对于B，不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为，故B正确； 对于C，有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为，故C正确； 对于D，有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为，故D正确. 11．BD 【详解】 对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误； 对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确； 对选项C：若，则，所以选项C错误； 对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确， 12． BCD 【详解】 解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误； 对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确； 对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则， 所以，则，解得，故C正确； 对于D：椭圆的焦点为， 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）； 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确； 13．0.4## 【详解】 由正太分布的对称性可知： 14．     6     【详解】 第4项的二项式系数为且最大，根据组合数的性质得，，令，所以，则展开式中含的项的系数为. 15．9 【详解】 由题意得，，，则， 当且仅当且，即，，时取等号，此时的最小值9． 16． 【详解】 解：函数的导数为， 设与直线平行的直线与曲线相切， 设切点为，则， 所以，所以，所以，所以， 所以切线方程为， 可得的最小值为， 17．(1)由题设，，故， 又，则. (2) 由，，故， 所以，故. 18．(1)设数列的公差为d，因为，所以，解得或（舍）， 故，. (2)因为，所以.故， 因为，所以，所以，所以，即. 19．(1)由题意，曲线的准线方程为，则. (2)由题意，，，设，因为点B为线段AC的中点，则，代入曲线得，则点A的横坐标. 因为，所以， 易知，由对勾函数的性质可知，，所以，于是. 20．(1)因AD⊥平面ABP，平面ABP，则AD⊥PB，又PA= AB =2，E是PB的中点， 则有AE⊥PB，而，平面ADE， 所以PB⊥平面ADE. (2) 因AD⊥平面ABP，∠PAB=90°，则直线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 令平面AEC的一个法向量为，则，令，得， 令直线AP与平面AEC所成角的大小为，则， 所以直线AP与平面AEC所成角的正弦值是. 21．(1)解：基本满意的总人数为人，非常满意的总人数为人， 列联表如下， 基本满意 非常满意 总计 年龄 350 90 440 年龄 250 110 360 总计 600 200 800 ， 有的把握认为消费者对该商品的满意度与年龄有关； (2)解：依题意从“基本满意”中抽取人， “非常满意”中抽取人， 所以的可能取值为，，， 所以，，， 所以的概率分布列为： 1 2 3 ． 22．(1)当时，，， ，， 故曲线在处的切线方程为： (2) ，定义域为， ，， 令， 则， 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极小值，则满足题意； 当时，则在上单调递增， 又 若，即， 由于， 则存在，使得， 当时，，单调递减， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 此时是极大值点，不合题意，舍去 若，即 由于时，， 则存在，使得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又， 故时，，单调递减 时，，单调递增， 此时是极小值点，满足题意 综上：a的取值范围是 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 儋州黄冈实验学校2023-2024学年度第二学期高二年级数学期中考试试题 数学答题卡 贴条形码区 由考生本人负责粘贴 姓 名： 座位号： 准考证号 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考人员贴条形码并用2B铅笔填涂缺考标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 选择题 (须用2B铅笔填涂) 填涂样例： 正确填涂 一.单项选择题（每题5分，共40分） 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、多项选择题（每题5分，共20分） 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 非选择题 （须用0.5毫米的黑色签字笔书写） 三、填空 13. 14. 15. 16. 四、解答题 17. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 数学 第1页 共6页 数学 第2页 共6页 数学 第3页 共6页 17题后续 18.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 19.（12分） 21.（12分） 20.（12分） 22.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 数学 第4页 共6页 数学 第5页 共6页 数学 第6页 共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$