3.2.1第1课时 函数的单调性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 学习目标 素养要求 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,会证明简单函数的单调性 逻辑推理 2.理解单调性的作用和实际意义,会用函数的单调性解答有关问题 直观想象 数学运算 | 自 学 导 引 | 增函数与减函数 设函数f(x)的定义域为I, 区间D⊆I,∀x1,x2∈D f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,就称它是增(减)函数. 在增函数与减函数的定义中,能否把“∀”改为“∃”? 【提示】不能,如图所示,虽然 f(-1)<f(2),但原函数在[-1,2]上不是单调递增. 微思考 【预习自测】 函数的单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上_,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 单调递增或单调递减 单调性 【预习自测】 (1)函数f(x)=x2+2x-3的单调递减区间是_. (2)函数y=|x|在区间[-2,-1]上 ( ) A.递减 B.递增 C.先减后增 D.先增后减 【答案】(1)(-∞,-1] (2)A 【解析】(1)二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-1,故其单调递减区间是(-∞,-1]. (2)函数y=|x|的单调减区间是(-∞,0),又因为[-2,-1]⊆(-∞,0),所以函数y=|x|在区间[-2,-1]上递减. | 课 堂 互 动 | 题型1 求函数的单调区间 (1)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,则函数的单调递减区间是_,_,在区间_,_上是单调递增的; (2)画出函数y=-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间. 【答案】(1)[-2,1] [3,5] [-5,-2] [1,3] 函数的大致图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1],(0,1],单调递减区间为(-1,0],(1,+∞). 函数单调区间的求法及表示方法 (1)定义法:即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解. (2)图象法:即先画出图象,根据图象求单调区间. (3)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 【答案】(-∞,1),(1,+∞) 利用定义证明函数单调性的步骤 题型3 用单调性解不等式 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,求满足不等式f(1-a)<f(2a-1)的a的取值范围. 利用函数的单调性解不等式的方法 当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. 题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,求实数a的取值范围. 解:由于二次函数图象的开口向上,对称轴为x=a,故其增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a]. 而f(x)在区间[1,2]上具有单调性,所以[1,2]⊆[a,+∞)或[1,2]⊆(-∞,a],即a≤1或a≥2. 已知函数的单调性求参数的关注点 (1)视参数为已知数,依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知的单调区间比较求参数; (2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的函数值的大小关系. 易错警示 研究函数的单调性易忽视定义域 已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围为_. | 素 养 达 成 | 1.对函数单调性的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域不同的区间上可以有不同的单调性. (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1<x2;三是属于同一个单调区间. (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推,即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2) x1<x2(x1>x2). (4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间,则此函数在这个定义区间上不存在单调性. 2.单调性的判断方法 (1)定义法:利用定义严格判断(体现了逻辑推理核心素养). (2)图象法:作出函数的图象,用数形结合的方法确定函数的单调区间. 1.(题型1)下列函数在区间(0,+∞)上不单调递增的是 ( ) A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=3-x D.y=x2+2x+1 【答案】C 【解析】函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减. 【答案】B 3.(题型3)函数f(x)是定义域上的减函数,且图象过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的x的取值范围是_. 【答案】(-3,1) 【解析】∵f(x)是定义域上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,∴当x>-3时,f(x)<2;当x<1时,f(x)>-2,则当-3<x<1时,|f(x)|<2. 4.(题型1)若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是_. 【答案】(-∞,1]和(1,+∞) 【解析】由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞). 5.(题型2)求证:函数f(x)=-在其定义域上单调递减. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当a>0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向上;顶点坐标为,对称轴为直线x=-;当x<-时,y随着x的增大而减小;当x>-时,y随着x的增大而增大;当x=-时,函数取最小值y=. (2)当a<0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向下;顶点坐标为,对称轴为直线x=-;当x<-时,y随着x的增大而增大;当x>-时,y随着x的增大而减小;当x=-时,函数取最大值y=. 【解析】观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上单调递增,在区间[-2,1],[3,5]上单调递减. (2)解:y= 即y= 1.函数y=的单调递减区间是_. 【解析】y=的图象可由函数y=的图象向右平移一个单位长度得到,如图所示,其单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞). 题型2 证明函数的单调性 证明函数f(x)=x+在区间(2,+∞)上单调递增. 证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2) . 因为2<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)=x+在区间(2,+∞)上单调递增. 2.证明函数f(x)=在区间(-∞,0)上单调递增. 证明:设x1,x2是区间(-∞,0)上任意两个实数,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==. 因为x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1+x2<0,xx>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)=在区间(-∞,0)上单调递增. 解:由题知 解得0<a<,即所求a的取值范围是. 3.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围是_. 【答案】 【解析】由题意得 解得-1≤x<. 4.若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为_. 【答案】 【解析】要使f(x)在R上是减函数,需满足 解得≤a<. 错解: 易错防范:本题易忽视函数的定义域为[-1,1],直接利用单调性得到不等式x-2<1-x,从而得出x<的错误答案. 正解:由题意,得解得1≤x≤2. ① 因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x), 所以x-2<1-x,解得x<. ② 由①②得1≤x<, 所以x的取值范围为. 2.(题型4)(2021年武汉期末)若函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上单调递增,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【解析】∵函数f(x)=x2-(a-1)x+5图象的对称轴为x=,且f(x)在区间上单调递增,∴≤,即a≤2. 证明:f(x)=-的定义域为[0,+∞). 设0≤x1<x2,则x1-x2<0, 且f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=- ==. 因为x1-x2<0,+>0, 所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), 所以f(x)=-在其定义域[0,+∞)上单调递减. $$