4.2 第1课时 指数函数的概念、图象及性质 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章　指数函数与对数函数 4.2　指数函数 第1课时　指数函数的概念、图象及性质 学习目标 素养要求 1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 数学抽象 2．能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象 | 自 学 导 引 | 　　　　指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(______________)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R． a＞0，且a≠1　 【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数． (　　) (2)函数y＝2x＋1是指数函数． (　　) (3)函数y＝(－3)x是指数函数． (　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)× 【解析】(1)因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数； (2)因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数； (3)因为底数小于0，所以函数y＝(－3)x不是指数函数． 　　　　指数函数的图象及性质 a的取值 a＞1 0＜a＜1 图 象 a的取值 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义域：____________ 值域：______________ 过点________，即x＝______时，y＝_____ 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，_________ 当x＞0时，_________； 当x＜0时，y＞1 在R上是____________ 在R上是____________ R　 (0，＋∞)　 (0，1)　 0　 1　 0＜y＜1　 0＜y＜1　 增函数　 减函数　 【预习自测】 (1)函数y＝2－x的图象是 (　　) 　　　　A　　　　　　B　　　　　C　　　　　D (2)函数f(x)＝ax＋1－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点____________． 【答案】(1)B　(2)(－1，－1) | 课 堂 互 动 | 题型1　指数函数的概念及应用 　　　　(1)给出下列函数： ①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x．其中，指数函数的个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】(1)B　(2)125 【解析】(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． 判断一个函数是不是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 1．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则 (　　) A．a＝1或a＝－1 B．a＝1 C．a＝－1　 D．a＞0，且a≠1 【答案】C 题型2　指数函数图象的应用 　　　　(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是____________． 【答案】(1)(－1，－1) 【解析】因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1)． 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．(1)函数y＝2|x|的图象是 (　　) 　　　　 A　　　　 　B　　　　 　C　　　 　　D 　 A　　　　　　 　B　　　　　　 　C　　　 　　　　D 【答案】(1)B　(2)B 指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，t＝f(x)． ②求t＝f(x)的定义域为x∈D． ③求t＝f(x)的值域为t∈M． ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 易错警示　用函数图象解题时作图不准 　　　　 求函数f(x)＝x2的图象与直线f(x)＝2x的交点个数． 错解：两个． 易错防范：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响．防范措施是在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案． 正解：作图可得在区间(－1，0)上有一个交点，在区间(2，4)，(4，16)上各有1个交点，共三个． | 素 养 达 成 | 1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1． 2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1，0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的(体现了数学抽象核心素养)． 3．由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同． 4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的关键是求f(x)的值域． 【答案】A 【答案】A 3．(题型2)已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为 (　　) 　　 　　　 　　 【答案】B 【答案】D 【解析】(1)y＝2－x＝是(－∞，＋∞)上的减函数．故选B． (2)令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝a0－2＝－1，则f(x)的图象恒过点(－1，－1)． (2)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________． (2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由f＝a－＝5－，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125． 【解析】由条件知解得a＝－1． (2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？请画出相应图象． (2)解：y＝＋2＝3－(x＋1)＋2． 　　作函数y＝3x的图象关于y轴对称的图象，得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋1＋2的图象，如图所示． (2)函数y＝x＋a与y＝，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一平面直角坐标系中有可能是 (　　) 　　　　　　 【解析】(1)y＝2|x|＝故选B． (2)由函数y＝x＋a，可得函数y＝x＋a在R上单调递增，排除A和C；若a＞1，则0＜＜1，函数y＝在R上单调递减，且过点(0，1)，函数y＝x＋a的图象与y轴的交点在点(0，1)的上方，故B符合；若0＜a＜1，则＞1，函数y＝在R上单调递增，故D不符合． 题型3　指数型函数的定义域、值域问题 　　　　(1)函数f(x)＝＋的定义域为 (　　) A．(－3，0] B．(－3，1] C．(－∞，－3)∪(－3，0] D．(－∞，－3)∪(－3，1] (2)函数f(x)＝－1，x∈[－1，2]的值域为____________． (3)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为____________． 【答案】(1)A　(2)　(3)(1，＋∞) 【解析】(1)由题意得自变量x应满足解得－3＜x≤0． (2)因为－1≤x≤2，所以≤≤3，所以－≤－1≤2，所以值域为． (3)函数的定义域为R，又由y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2×2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x＞0，故y＞1，即函数的值域为(1，＋∞)． 3．求函数y＝的定义域和值域． 解：因为y＝，故1－2x≥0，解得x≤0，故定义域为{x|x≤0}．因为0＜2x≤1，故0≤1－2x＜1，即0≤＜1，故值域为{y|0≤y＜1}． 1．(题型1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝ (　　) A．()x B．2x C． D． 【解析】由题意，设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x． 2．(题型3)当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是 (　　) A． B． C． D． 【解析】y＝3－x－1在x∈[－2，2)上单调递减，所以3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8． 　　　　　　　 　 A　　　　　 　 B　　　　　　 　C　　　　　　　D 【解析】f(1－x)＝21－x＝－1是减函数，故排除选项C，D．又当x＝0时，＝2，排除A．故选B． 4．(题型2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数的图象也必定经过点 (　　) A． B． C．(1，2) D． 【解析】设f(x)＝ax，将(－1，2)代入，解得a＝，所以f(x)＝，对比选项可知函数图象过点． 5．(题型1)已知函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)满足f(1)－f(2)＝． (1)求a的值； (2)解不等式f(x)＜0． 解：(1)∵f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)， ∴f(1)－f(2)＝(a－1)－(a2－1)＝a－a2． 由a－a2＝，解得a＝， ∴a的值为． (2)不等式f(x)＜0即－1＜0， ∴＜1，即＜． ∵y＝在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴x＞0． ∴不等式f(x)＜0的解集为(0，＋∞)． $$