2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件1-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 素养要求 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数零点与方程根的关系 逻辑推理 2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 直观想象 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 数学运算 | 自 学 导 引 | 1．关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解： 若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2)． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的两根． 　　　　一元二次不等式的概念 1．只含有________未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式： (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 一个　 2　 不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？ 【提示】此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 微思考 【预习自测】 　　　　一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的________． 解集　 类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2＞1的解集及其含义是什么？ 【提示】不等式x2＞1的解集为{x|x＜－1或x＞1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 微思考 【预习自测】 　　　　三个“二次”的关系 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤 求方程 f(x)＝0的解 有两个不等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 {x|x＜x1或x＞x2}　 R　 {x|x1＜x＜x2}　 ∅　 ∅　 若一元二次不等式ax2＋x－1＞0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 微思考 【预习自测】 | 课 堂 互 动 | (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实数根． 又因为二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R． 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)标准化：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实数根． (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图． (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． 1．解下列不等式： (1)2x2－3x－2＞0； (2)x2－4x＋4＞0； (3)－x2＋2x－3＜0； (4)－3x2＋5x－2＞0． 题型2　含参数的一元二次不等式的解法 　　　　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0． 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． 2．解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0． 解：Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ＜0时，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实数根，所以原不等式的解集为R． 题型3　三个“二次”之间的关系 　　　　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 题型4　一元二次不等式的实际应用 　　　　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式． (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解不等式应用题的步骤 4．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． 即(x－600)(x－100)≥0， 所以0＜x≤100或x≥600． x≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为{x|0＜x≤100}． 错解：不等式两边同乘x＋2得x－1≤2(x＋2)，解得x≥－5， 所以原不等式的解集为{x|x≥－5}． | 素 养 达 成 | 1．解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集(体现了直观想象核心素养)． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}； 若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”(体现了数学运算和逻辑推理核心素养)，讨论需从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0． (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2． 3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的零点及图象的开口方向． 【答案】B 【解析】因为2x＋3－x2＞0，所以x2－2x－3＜0，方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，所以不等式的解集为{x|－1＜x＜3}．故选B． 2．(题型4)用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形，设围成的矩形一边的长为x m，则x的取值范围为 (　　) A．{x|15＜x＜25} B．{x|20＜x＜30} C．{x|25＜x＜35} D．{x|30＜x＜40} 【答案】B 【解析】设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50．由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30． 4．(题型3)已知关于x的不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，则a＋b＝____________． 【答案】5 【解析】根据不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，知方程x2－5ax＋b＝0的两个根是1和4，则5a＝1＋4，b＝1×4，解得a＝1，b＝4，所以a＋b＝5． 5．(题型1)解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x－1)． 解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0， 因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0， 因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0， 所以方程x2－2x＋2＝0无实数根，而抛物线y＝x2－2x＋2开口向上， 所以原不等式的解集为R． 2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1＝，x2＝； (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－； (3)当Δ＜0时，方程没有实数根． 3．一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝，这一关系也被称为韦达定理． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤 画函数y＝f(x)图象的示意图 f(x) ＞0 _______________ ____________ _________ f(x)＜0 _______________ _______ ________ 　 【提示】结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1＞0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1＞0的解集为R． 题型1　不含参数的一元二次不等式的解法 　　　　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0． 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实数根x1＝－3，x2＝－． 又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为． (2)原不等式可化为4x2－18x＋≤0，由于Δ＝0，方程4x2－18x＋＝0有两根x1＝x2＝， 所以原不等式的解集为． 解：(1)因为Δ＞0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，所以不等式2x2－3x－2＞0的解集为． (2)因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， 所以不等式x2－4x＋4＞0的解集为{x|x≠2}． (3)原不等式可化为x2－2x＋3＞0， 由于Δ＜0，方程x2－2x＋3＝0无实数根， 所以不等式－x2＋2x－3＜0的解集为R． (4)原不等式可化为3x2－5x＋2＜0， 由于Δ＞0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1， 所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为． 解：当a＝0时，原不等式可化为x＞1． 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0． 当a＜0时，不等式可化为(x－1)＞0，因为＜1，所以x＜或x＞1． 当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0． 若＜1，即a＞1，则＜x＜1； 若＝1，即a＝1，则x∈∅； 若＞1，即0＜a＜1，则1＜x＜． 综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a＞1时，原不等式的解集为． ②当Δ≥0时，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)． 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}； 当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为 ； 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}． 解：方法一：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知＝－5，＝6． 由a＜0知c＜0，＝－， 故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0， 即x2－x＋＞0，解得x＜或x＞， 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为． 方法二：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a， 故不等式cx2＋bx＋a＜0，即6ax2－5ax＋a＜0， 即6a＜0， 故原不等式的解集为． 3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2． (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2＋bx－1＞0． 解：(1)因为方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2， 所以由根与系数的关系，得 解得a＝－2，b＝3． (2)由(1)知ax2＋bx－1＞0可化为－2x2＋3x－1＞0， 即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1， 所以不等式ax2＋bx－1＞0的解集为． 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当即 解不等式组，得0＜x＜． 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为． 解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m． 根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600， 易错警示　不等式变形前后不同解 　　　　解不等式：≤2． 易错防范：两边同乘x＋2，导致≤2与x－1≤2(x＋2)不同解．防范措施是运用不等式的性质对不等式变形时，首先看条件是否满足． 正解：原不等式可化为－2≤0⇒≥0，解得x≤－5或x＞－2， 所以原不等式的解集为{x|x≤－5或x＞－2}． 1．(题型1)不等式2x＋3－x2＞0的解集是 (　　) A．{x|－3＜x＜1} B．{x|－1＜x＜3} C．{x|1≤x＜3} D． 3．(题型2)设a＜－1，则关于x的不等式a(x－a)＜0的解集是____________． 【答案】 【解析】因为a＜－1，所以由a(x－a)＜0，得(x－a)＞0． 当a＜－1时，＞a，所以不等式的解集为． $$