精品解析：湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2024年上学期高一期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步部分（人教A版2019）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A 1 B. C. D. 3. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A B. 1 C. 8 D. 5. 若向量，，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 8. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数虚部为 B. 若为虚数单位，则 C. 在复数集中，方程有两个解，依次为 D. 已知是虚数单位，若，则实数1 10. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ， B. ， C. ， D. ， 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（ ） A. 圆锥SO的高为8m B. 圆锥SO的侧面积为 C. 圆锥SO的外接球的表面积为 D. 圆锥SO外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中13题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则______ 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），中，内角，，的对边分别为，，，，，，则______，的面积＝______. 14. 已知正方形的边长为2，点满足，则__． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，，，，且， （1）求的长度； （2）求的面积； 16. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 17. 已知向量满足，，． （1）求与的夹角； （2）若，，求． 18. 在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a值； （II）求的值； （III）求的值． 19. 定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期高一期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步部分（人教A版2019）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，则，再求出其虚部即可. 【详解】由复数的几何意义得，从而，其虚部为. 故选：C 2 已知，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】，由得， 解得. 故选：A. 3. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理解三角形即可. 【详解】中，已知，，，由余弦定理， 得， 所以 故选：D. 4. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积. 【详解】 由直观图还原平面图形可知，在中，，， , 所以 故选：B． 5. 若向量，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正棱台的体积公式计算即可. 【详解】依题意，该正四棱台的体积. 故选：C 7. 已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线定理即可判断各项. 【详解】对于A，令，即，则有， 所以不存在t，使得， A错误； 对于B，令，即，则有， 所以不存n，使得，B错误 对于C，，令，即， 则有，所以不存在m，使得，C错误； 对于D，，所以，又直线MN，NQ有公共点N，故 ，，三点共线，D正确. 故选：D 8. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m 【答案】B 【解析】 【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解. 【详解】因为中，，，， 所以， 因为中，，， 所以， 由题意，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 若为虚数单位，则 C. 在复数集中，方程有两个解，依次为 D. 已知是虚数单位，若，则实数1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的乘法和复数相等的条件求出的值可判断D. 【详解】复数的虚部为，A选项错误； 若为虚数单位，则，B选项正确； ， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为，C选项正确； 已知是虚数单位，若，则，有， 解得，D选项错误. 故选：BC. 10. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底. 【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底． 故选：B 【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题. 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（ ） A. 圆锥SO的高为8m B. 圆锥SO的侧面积为 C. 圆锥SO的外接球的表面积为 D. 圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由母线长和底面半径利用勾股定理求出圆锥的高判断选项A；公式法求圆锥侧面积判断选项B；构造直角三角形求出外接球半径，计算表面积判断选项CD. 【详解】对A,母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B,圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对CD,设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，C选项错误，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中13题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直、向量四则运算和向量模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为平面向量，，， 所以，解得，即， 所以，， 故答案为： 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），中，内角，，的对边分别为，，，，，，则______，的面积＝______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一空根据余弦定理即可求出边；第二空根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】因为，，， 根据余弦定理得， 所以； 根据三角形面积公式得. 故答案为：；. 14. 已知正方形的边长为2，点满足，则__． 【答案】-1 【解析】 【分析】首先根据条件确定点位置，然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标，然后根据数量积的坐标运算进行求解即可. 【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2， 则，，，点满足， 所以，，，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，，，，且， （1）求的长度； （2）求的面积； 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再联立，即可求解； （2）先由余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又因为，，解得，，， 所以的长度为4. 【小问2详解】 由（1）知，，， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 故的面积为. 16. 已知复数． （1）求； （2）若，求； （3）若，且是纯虚数，求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据模的计算公式直接求解； （2）利用复数的除法进行计算； （3）设，根据条件列方程求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 设， 则，所以① ， 因为是纯虚数，所以② 由①②联立，解得 或 所以或． 17. 已知向量满足，，． （1）求与的夹角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的性质及运算规律即可求解； （2）由，再利用求模公式求解． 【小问1详解】 因为，，，设， 所以， 所以，因为， 所以，即与的夹角为； 【小问2详解】 因为， 则， 故． 18. 在，角所对边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 19. 定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边证明充分性，再举反例说明推不出即可； （2）①将代入，通过移项平方得出和的余弦值，进而得到正弦值，再利用三角形面积公式即可得到面积比； ②通过移项平方得到，再通过得出，同理可得出，，再根据满足三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边即可得出. 【小问1详解】 ，则，即， ∴，即， 同理可得，， 则成立， 取，则为等腰直角三角形的三边， 但，，不能为三角形的三边， 故推不出， ∴“”是“”的充分不必要条件． 【小问2详解】 ①，则， ∴， 又因为，∴， 而均为三角形内角，∴， 记， ∴； ②由， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 同理得，， ∴x，y，z可组成三角形，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$