第二章 一元二次函数、方程、不等式单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程、不等式 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 4．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 5．（2024·湖北·模拟预测）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元）分别为，且，在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·北京延庆·期末）函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 8．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 11、（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列命题中正确的是（ ） A．若已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．函数（）的最大值为1． C．已知不等式的解集是，且不等式的解集为，且，则 D．命题，，，，若命题和有且只有一个为假，则实数取值区间为． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 13．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 16．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知，命题p：，；命题q：，． (1)若命题p为假命题，求a的取值范围； (2)若p和q均为真命题，求a的取值范围． 17．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 18．（2024·宁夏固原·一模）已知函数． (1)解不等式； (2)记（1）中不等式的解集为中的最大整数值为，若正实数满足，求的最小值． 19．（23-24高一上·河北石家庄·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程、不等式 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】因为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 4．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知非负实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为非负实数满足， 显然，则，所以， 则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 5．（2024·湖北·模拟预测）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元）分别为，且，在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合选项，通过作差法比较大小即可． 【详解】由，得， ， 故， ， 故； ， 故， 故最低的总费用为， 故选：A． 6．（22-23高二下·北京延庆·期末）函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【答案】D 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式即可求出答案. 【详解】函数， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 故选：D. 7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【详解】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 8．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 10．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用1的变换，即可判断B；变形，根据的范围，即可判断C；利用平方，以及A选项的判断结果，即可判断D. 【详解】对于A，，即，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8，故A错误； 对于B，由得，， 当时，结合，即时等号成立，故B正确； 对于C，由，得， 由，且，得，所以，故C错误； 对于D，由，两边平方后得，即，由A知， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 11、（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列命题中正确的是（ ） A．若已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．函数（）的最大值为1． C．已知不等式的解集是，且不等式的解集为，且，则 D．命题，，，，若命题和有且只有一个为假，则实数取值区间为． 【答案】BCD 【分析】对于A，先求出集合，然后根据求解即可，对于B，对函数变形后利用基本不等式可求得结果，对于C，由题意可得，，则，求出不等式的解集，从而结合可求出，对于D，分别求出命题为真命题时的取值范围，再由命题和一真一假时可求得结果》 【详解】对于A，，因为，所以， 当时，满足，此时，当时，， 由可得或，得或， 所以实数的集合为，所以A错误， 对于B，因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确， 对于C，因为不等式的解集是，所以，， 所以由有解，可得，得，所以， 因为，所以，得，所以C正确， 对于D，命题，，当时，不等式恒成立， 当时，不等式不恒成立， 当时，由题意可得，解得或， 所以当或时，命题为真命题， 由，，得，解得或， 所以当或时，命题为真命题， 当为真命题，为假命题时，则，解得， 当为假命题，为真命题时，则，解得， 综上，命题和有且只有一个为假时，或，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 13．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为； （3）不等式， 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 16．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知，命题p：，；命题q：，． (1)若命题p为假命题，求a的取值范围； (2)若p和q均为真命题，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列出不等式求出命题，再求出即可. （2）分离参数，利用基本不等式求出最小值，即得命题，结合（1）的信息即可得解. 【详解】（1）由命题p：，，得，解得或， 由命题p为假命题，得， 所以a的取值范围是. （2）命题q：，，即，， 而当时，，， 当且仅当，即时取等号，因此， 由（1）知命题p是真命题时，或， 所以p和q均为真命题，a的取值范围是或. 17．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，而， 故，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 18．（2024·宁夏固原·一模）已知函数． (1)解不等式； (2)记（1）中不等式的解集为中的最大整数值为，若正实数满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数写成分段函数，分段解不等式，再求各个解集的并集即得； （2）由（1）得，运用常值代换法，将配凑成，利用基本不等式即可求得. 【详解】（1）由 当时，由可得，则得，故； 当时，由可得，则得，故； 当时，由可得，则得，故. 综上可得：的解集为. （2）由（1）可得，依题，，即，则因， 由，当且仅当时取等号， 由可得，即当，时，取得最小值为. 19．（23-24高一上·河北石家庄·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)已知函数（，）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定于判断即可证明； （2）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明，是方程的两个同号且不等的实数根，转化求解的最大值. 【详解】（1）因为在区间上单调递增， 又，， 所以的值域为， 所以区间是的一个“优美区间”. （2）设是已知函数定义域的子集， 因为的定义域为，则或， 而函数在上单调递增， 若是已知函数的“优美区间”，则， 所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根， 因为， 所以，同号，只需， 解得或， 因为， 所以当时，取得最大值. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是将转化为方程的两个同号且不等的实数根，再结合，代入计算即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$