专题1.2 集合间的基本关系【九大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.2 集合间的基本关系【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 子集、真子集的确定】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 2 【题型3 判断两个集合是否相等】 3 【题型4 根据两个集合相等求参数】 4 【题型5 空集的判断、性质及应用】 4 【题型6 Venn图表示集合的关系】 5 【题型7 集合间关系的判断】 6 【题型8 根据集合间的关系求参数】 6 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 8 【知识点1 子集与真子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2024·浙江绍兴·三模）已知集合满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【变式2-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-2】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式2-3】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合，则满足的集合的个数为（    ） A．16 B．14 C．8 D．2 【知识点2 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 【变式3-3】（2024高一·全国·专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知集合，，，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】（23-24高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知集合，，若图中的阴影部分为空集，则构成的集合为 A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【知识点3 集合间关系的性质】 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 集合间关系的判断】 【例7】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024高一下·海南·竞赛）已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 【变式7-2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【变式7-3】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【题型8 根据集合间的关系求参数】 【例8】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【变式8-1】（23-24高二下·江西新余·期末）已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式8-2】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【变式8-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 【例9】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【变式9-1】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式9-2】（23-24高一上·新疆·期中）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式9-3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 集合间的基本关系【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 子集、真子集的确定】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 3 【题型3 判断两个集合是否相等】 4 【题型4 根据两个集合相等求参数】 6 【题型5 空集的判断、性质及应用】 7 【题型6 Venn图表示集合的关系】 8 【题型7 集合间关系的判断】 10 【题型8 根据集合间的关系求参数】 12 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 14 【知识点1 子集与真子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若AB，且A≠B，则AB. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先化简集合，结合选项可得答案. 【解答过程】因为，所以的子集有，； 故选：D. 【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据真子集定义判断已知集合与各项集合的包含关系即可. 【解答过程】是自身的子集，A错； 、与没有包含关系，B、D错； ，C对； 故选：C. 【变式1-2】（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据真子集的定义进行求解即可. 【解答过程】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有， 故选：D. 【变式1-3】（2024·浙江绍兴·三模）已知集合满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得集合A可以是，. 【解答过程】 ， 集合A可以是，. 故选：D. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【解题思路】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【解答过程】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【解答过程】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）集合的非空真子集的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解题思路】根据集合中有个元素，从而可求解其非空真子集的个数，即可求解. 【解答过程】由题意知集合中有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为，故B项正确. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合，则满足的集合的个数为（    ） A．16 B．14 C．8 D．2 【解题思路】根据题意，得到，结合集合间的包含关系和子集个数的计算，即可求解. 【解答过程】由集合， 可得集合中元素有：，， 所以集合的任何一个子集，添加元素后都可以作为集合， 所以符合条件的集合共有个. 故选：A. 【知识点2 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【解答过程】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【解答过程】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 【解题思路】首先变形两个集合的形式，再根据特殊数集，进行比较，即可判断选项. 【解答过程】，， 因为，表示整数，，表示整数，所以两个集合元素相同，即. 故选：B. 【变式3-3】（2024高一·全国·专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出. 【解答过程】对A，，故A错误； 对B，中，解得，故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【解题思路】利用集合的确定性和互异性，翻译集合相等这一条件即可. 【解答过程】由题意可知，解得 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解. 【解答过程】因为，且集合中， 所以集合中的元素，解得， 又因为，所以，所以或， 若，解得或， 经检验，时，与集合中元素的互异性矛盾，时，满足题意， 若，由上述过程可知，不满足题意； 综上，所以， 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算得出的值. 【解答过程】因为，则或，解得或， 所以，. 故选：B. 【变式4-3】（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知集合，，，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【解题思路】由集合相等求解即可. 【解答过程】因为集合，，， 所以，即， 所以，因为，所以的值为. 故选：A . 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【解答过程】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空集的概念进行判断. 【解答过程】A选项，集合中显然有元素0，不是空集，A错误； B选项，在R上无解，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据空集的性质判断即可. 【解答过程】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可. 【解答过程】易知，显然，且互不包含. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知集合，，若图中的阴影部分为空集，则构成的集合为 A． B． C． D． 【解题思路】先化简集合，注意，由题意可知，，确定即可 【解答过程】 或，图中的阴影部分为空集， 或 ，即或 又，， 故选D. 【变式6-3】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求出，进而，结合韦恩图即可求解. 【解答过程】由，得，即， 所以，即. 故选：B. 【知识点3 集合间关系的性质】 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 集合间关系的判断】 【例7】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【解答过程】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【变式7-1】（2024高一下·海南·竞赛）已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 【解题思路】 分别求出集合 和 ，根据集合间的基本关系进行判断即可. 【解答过程】 由题意可知， 则，都有；而，且，故⫋. 故选：B. 【变式7-2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由，， 而为奇数，为整数，又， 所以⫋. 故选：B. 【变式7-3】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合中元素满足的特征即可求解. 【解答过程】∵集合 ∴， ， ∴， 故选：A. 【题型8 根据集合间的关系求参数】 【例8】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【解题思路】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可. 【解答过程】（1）因为集合，， 所以. （2）因为，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. （3）因为B⫋A，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. 【变式8-1】（23-24高二下·江西新余·期末）已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可. （2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围. 【解答过程】（1）解：时，，由图知，， 因为，所以， 所以. （2）当时，，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 【变式8-2】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【解题思路】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【解答过程】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【变式8-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【解答过程】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 【例9】（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【解题思路】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【解答过程】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 【变式9-1】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一上·新疆·期中）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【解题思路】利用自恋数的定义和子集的个数求解. 【解答过程】解：因为所以4是自恋数， 因为，所以26不是自恋数； 因为，所以81不是自恋数； 因为，所以153是自恋数； 因为，所以370是自恋数； 所以， 则子集个数为. 故选：B. 【变式9-3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】利用新定义可得关于的不等式化为，化为，通过对分类讨论即可得出． 【解答过程】解：由运算， 关于的不等式化为， 即， ①当时，其解集是， 由于其解集是，的子集， ，解得，． ②当时，其解集是， 由于其解集是，的子集， ，解得，． ③当时，其解集是， 由于其解集是，的子集，，解得 综上可知：．实数的取值范围是． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$