专题1.1 集合的概念【九大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.1 集合的概念【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 2 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 3 【题型4 判断元素与集合的关系】 3 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 4 【题型6 集合中的元素个数问题】 4 【题型7 列举法表示集合】 5 【题型8 描述法表示集合】 6 【题型9 集合中的新定义问题】 7 【知识点1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【变式1-1】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【变式1-3】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） ①裕华中学高一所有个子高的学生    ②方程的实根 ③所有小于20的自然数    ④的近似值 A．②③ B．①② C．①④ D．③④ 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（23-24高一上·上海浦东新·期末）设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-2】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-3】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 【例3】（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【变式3-1】（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-3】（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【变式4-2】（23-24高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【变式5-3】（23-24高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（23-24高一上·广西·假期作业）已知关于的方程的解集只有一个元素，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．±2 D．2或3 【变式6-2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合中所有元素之和是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【变式6-3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（23-24高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1) (2)． 【变式7-1】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合 (1)以内非负偶数的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合． 【变式7-2】（23-24高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【变式7-3】（23-24高一上·海南三亚·阶段练习）用列举法表示下列集合： （1）小于的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）方程的所有实数根组成的集合． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【变式8-1】（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【变式8-2】（23-24高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)； (2)偶数集； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)． 【变式8-3】（23-24高一·江苏·课后作业）用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合 （1）所有能被3整除的自然数 （2）不等式的解集 （3）的解集 【题型9 集合中的新定义问题】 【例9】（2024·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【变式9-1】（23-24高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式9-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式9-3】（23-24高一上·天津南开·阶段练习）定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 3 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 5 【题型4 判断元素与集合的关系】 6 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 7 【题型6 集合中的元素个数问题】 9 【题型7 列举法表示集合】 11 【题型8 描述法表示集合】 12 【题型9 集合中的新定义问题】 13 【知识点1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【解题思路】根据集合的确定性逐项分析判断. 【解答过程】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据集合的定义判断即可. 【解答过程】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【解题思路】根据集合中元素的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合； 对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合； 对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合； 对于D，函数不存在最小值，可以组成空集； 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） ①裕华中学高一所有个子高的学生    ②方程的实根 ③所有小于20的自然数    ④的近似值 A．②③ B．①② C．①④ D．③④ 【解题思路】一些元素若能构成集合，则当且仅当满足：“确定性”，“互异性”，“无序性”，逐一判断每一个序号即可求解. 【解答过程】对于①：由于“裕华中学高一所有个子高的学生”高到什么程度，没有一个明确的界限，即不满足确定性，故“裕华中学高一所有个子高的学生”不能构成集合； 对于②：解方程得，，所以方程的实根显然可以构成集合； 对于③：所有小于20的自然数构成的集合可以由描述法表示为：； 对于④：由于没有指明“的近似值”具体精确到什么程度，即不满足确定性，故“的近似值”不能构成一个集合； 综上所述：能构成集合的是②③. 故选：A. 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【解答过程】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 【变式2-1】（23-24高一上·上海浦东新·期末）设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解题思路】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）. 【解答过程】对于（1），由，得，一一对应，则 对于（2），由，得，一一对应，则 对于（3），由，得，一一对应，则 对于（4），，但方程无解，则与不相同 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【解答过程】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【解答过程】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 【例3】（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【解题思路】根据集合的元素不重复可解得. 【解答过程】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【解题思路】根据集合元素的互异性，即可求解. 【解答过程】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可. 【解答过程】对A，当时，，，不满足题意； 对B，当时，，不满足题意； 对C，当时，，，满足题意； 对D，当时，，不满足题意； 故选：C. 【变式3-3】（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【解答过程】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系依次判断选项即得. 【解答过程】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【解题思路】由元素和集合的关系判断. 【解答过程】由解得， 因为，， 故，且， 故选：A. 【变式4-2】（23-24高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断. 【解答过程】对于①：因为为实数集，所以，正确； 对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误； 对于③：因为为自然数集，，正确； 所以正确的有3个. 故选：C. 【变式4-3】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【解答过程】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用元素与集合的关系，列式求解即得. 【解答过程】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【解答过程】由题意. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【解题思路】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【解答过程】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【解题思路】根据集合的定义求出集合后可得结论． 【解答过程】，， ①当时，， 时，，； 时，，满足条件； ②当时，，，满足条件； ③当时，，，满足条件； ④当时，，，满足条件． 从而得到， 所以集合中所有元素之和为． 故选：D． 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（23-24高三上·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可. 【解答过程】由题意，， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 【变式6-1】（23-24高一上·广西·假期作业）已知关于的方程的解集只有一个元素，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．±2 D．2或3 【解题思路】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可. 【解答过程】因为关于x的方程的解集只有一个元素， 所以，解得. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则集合中所有元素之和是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【解题思路】将集合中所有元素代入求得集合即可求解. 【解答过程】集合， ， 集合中所有元素之和为． 故选：A． 【变式6-3】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因集合是方程的解集，欲使集合至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对进行讨论求解即可． 【解答过程】解：集合至多有一个元素， 分类讨论： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，要至多有一个元素， 则必须方程：有两个相等的实数根或没有实数根， ，得：，， 综上所述：或． 故选：B． 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（23-24高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1) (2)． 【解题思路】根据题意，分别用列举法表述即可． 【解答过程】（1），∴或，； （2），，． 【变式7-1】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合 (1)以内非负偶数的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合． 【解题思路】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合. 【解答过程】（1）以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ， （2）的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ， （3）联立和，解得 ，所以两个函数图象的交点为 ，构成的集合为. 【变式7-2】（23-24高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解题思路】由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 【解答过程】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 【变式7-3】（23-24高一上·海南三亚·阶段练习）用列举法表示下列集合： （1）小于的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）方程的所有实数根组成的集合． 【解题思路】（1）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （2）解一元二次方程即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果． 【解答过程】（1）因为自然数包括0和正整数，所以； （2）因为方程的实数根为，所以； （3）因为方程的实数根为，所以方程所有实数根组成的集合． 【题型8 描述法表示集合】 【例8】（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【解题思路】（1）（2）根据描述法的书写格式作答即可. 【解答过程】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. 【变式8-1】（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解题思路】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【解答过程】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 【变式8-2】（23-24高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)； (2)偶数集； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)． 【解题思路】（1）、（2）、（3）、（4）根据描述法求得正确答案. 【解答过程】（1）原集合为， 则描述法表示为：且. （2）偶数集，用描述法表示为：. （3）被3除余2的正整数组成的集合， 用描述法表示为：. （4）原集合为， 用描述法表示为. 【变式8-3】（23-24高一·江苏·课后作业）用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合 （1）所有能被3整除的自然数 （2）不等式的解集 （3）的解集 【解题思路】根据集合的表示法求解． 【解答过程】（1），集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2），即，， 集合为，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为，列举法表示为． 【题型9 集合中的新定义问题】 【例9】（2024·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【解题思路】由集合的新定义计算即可. 【解答过程】由题设知， 所有元素之和为， 故选：A. 【变式9-1】（23-24高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【解题思路】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可. 【解答过程】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 【变式9-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【解题思路】根据定义结合已知条件，对分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解 【解答过程】（1）m，n都是正偶数时： m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法； ∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素； （2）m，n都为正奇数时： m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法； ∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素； （3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时： 当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素； ∴集合M的元素个数是3+4+2=9． 故选：B． 【变式9-3】（23-24高一上·天津南开·阶段练习）定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据定义，逐个分析的取值情况，由此得到的取值情况，从而集合可确定，则集合中所有元素的和可求. 【解答过程】当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以，所以中所有元素之和为， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$