专题1.4 集合专题中的七个陷阱-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.4 集合专题中的七个陷阱 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 1 【陷阱2：集合中元素重复】 3 【陷阱3：隐含条件】 6 【陷阱4：代表元的变化】 8 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 10 【陷阱6：子集中的空集】 15 【陷阱7：新定义】 17 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合用列举法表示出来. 1．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 2．（2023-2024高一上·四川成都·期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】显然，A错误；，B错误，D正确；，C错误. 故选：D 3．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 4．（2024高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 5．（多选）（2024）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 6．（多选）（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确， 故选：ACD. 【陷阱2：集合中元素重复】 陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案. 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4， 故选：C． 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 3．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值. 【详解】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 5．（2024高一·全国·竞赛）集合，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合交集的运算确定，从而讨论，，检验集合是否符合题意即可得结论. 【详解】因为，所以，则 若，则，此时，所以，与已知矛盾，则； 若，则，此时，所以，符合题意； 综上可得，． 故答案为：. 6．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 7．（23-24高一上·浙江·期中）设集合，，且，则值是 ． 【答案】 【分析】根据，建立元素关系即可得到结论，注意验证集合中元素的互异性是否成立． 【详解】∵， ∴或， 即或， 即或， 当时，，与元素互异性矛盾，故舍去， 当时，，，且，满足条件． 故， 故答案为：． 【陷阱3：隐含条件】 陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2．（2024高二下·全国·专题练习）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，然后可求. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：A 3．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】先确定集合中的元素，再求其非空真子集个数. 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 4．（2024高三下·江苏苏州·阶段练习）已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求出集合，再由可求出集合，从而可求得答案. 【详解】由，得， 所以， 因为，， 所以，或，或，或， 所以集合的个数为4， 故选：D 5．（23-24高一下·上海金山·期末）已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 6．（2024·天津·三模）已知全集，集合，集合，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合运算法则，即可求解. 【详解】由全集， 集合，集合， 可得，则，. 故答案为：；. 【陷阱4：代表元的变化】 陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 1．（2024·河北·模拟预测）下列集合M与S表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析过程略 2．（2024高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 3．（多选）（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合中的元素分别为值域中的实数以及抛物线上的点，结合元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】∵集合， ∵集合B是由抛物线上的点组成的集合，∴A正确，B正确，C错误，D错误， 故选：AB． 4．（多选）（2024高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 【答案】AD 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答. 【详解】对于A，由，得或或，而， 因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确； 对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合， 所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确； 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确； 对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确. 故选：AD 5．（2024高一·全国·专题练习）下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． （1）它们各自的含义是什么？ （2）它们是不是相同的集合？ 【答案】（1）各个含义见解析；（2）不同的集合. 【分析】（1）可以看出①函数的自变量当元素，②的元素是该函数的因变量，而③的元素是，构成的点，从而得出这三个集合分别表示函数的定义域，值域，以及函数图象上的点集． （2）是不是相同的集合，就要看它们的元素是否完全相同，容易判断这三个集合的元素是否相同，从而可得结论. 【详解】解：（1）集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R， 所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R； 集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1， 所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}； 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1， 所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}． （2） 由（1）中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合． 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意分类讨论思想的应用. 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值． 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且A⊆B，求实数a的取值范围． 【答案】. 【详解】 解：若A＝∅，则Δ＝4－4a＜0，解得 a＞1； 若1∈A，由1－2＋a＝0得a＝1，此时A＝{1}，符合题意； 若2∈A，由4－4＋a＝0得a＝0，此时A＝{0，2}，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 【考查意图】 利用集合间的关系求参数的取值范围． 4．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 5．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求解出，然后根据交集运算求解出结果； （2）根据条件先判断出的关系，然后根据进行分类讨论，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， 所以 （2）若，则， ①当时，； ②，则，. 综上所述，或． 7．（2024高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）因为，所以，将代入，求出即可得出答案； （2）利用得到，分和四种情况讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 8．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 【陷阱6：子集中的空集】 陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【分析】先求出集合，再列出它的子集即可. 【详解】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 2．（2024高二上·河北张家口·阶段练习）写出集合的所有真子集 . 【答案】，，，，，， 【分析】先求解集合，再写出真子集即可. 【详解】， 其所有真子集有，，，，，，. 故答案为： ，，，，，，. 3．（2024高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【分析】 解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可. 【详解】 由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 4．（2024高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 5．（2024高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)或. 【分析】（1）把代入，求出值即得. （2）求出集合，进而求出其子集即得. （3）按值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的值为2. （2）当时，， 所以集合的所有子集是：. （3）当时，方程的根为，符合题意，因此； 当时，集合仅只一个元素，则，解得， 所以实数a的值或. 【陷阱7：新定义】 陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答. 1．（23-24高二下·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 2．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定，从而求出的值. 【详解】由题： 所以， 故选：A. 3．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 4．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 5．（多选）（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 6．（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可. 【详解】对于A,因为⊕，所以，， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为⊕，所以，， 即与是相同的，所以，B正确； 对于C,因为⊕，所以，， 所以，即C错误； 对于D由于 ， 而，故，即D错误． 故选：AB． 7．（多选）（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC. 8．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 集合专题中的七个陷阱 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 1 【陷阱2：集合中元素重复】 1 【陷阱3：隐含条件】 2 【陷阱4：代表元的变化】 3 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 4 【陷阱6：子集中的空集】 7 【陷阱7：新定义】 8 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合用列举法表示出来. 1．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023-2024高一上·四川成都·期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【陷阱2：集合中元素重复】 陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 3．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则 ． 5．（2024高一·全国·竞赛）集合，若，则实数 ． 6．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 7．（23-24高一上·浙江·期中）设集合，，且，则值是 ． 【陷阱3：隐含条件】 陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·全国·专题练习）集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 4．（2024高三下·江苏苏州·阶段练习）已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·上海金山·期末）已知集合，则 . 6．（2024·天津·三模）已知全集，集合，集合，则 ， ． 【陷阱4：代表元的变化】 陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 1．（2024·河北·模拟预测）下列集合M与S表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 5．（2024高一·全国·专题练习）下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． （1）它们各自的含义是什么？ （2）它们是不是相同的集合？ 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意分类讨论思想的应用. 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且A⊆B，求实数a的取值范围． 4．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 5．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 7．（2024高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 8．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【陷阱6：子集中的空集】 陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 2．（2024高二上·河北张家口·阶段练习）写出集合的所有真子集 . 3．（2024高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 4．（2024高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 5．（2024高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【陷阱7：新定义】 陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答. 1．（23-24高二下·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 2．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 4．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 5．（多选）（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 6．（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 7．（多选）（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 8．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$