第03讲 正方形的性质与判定-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第03讲 正方形的性质与判定 【北师大版】 ·模块一 正方形的性质 ·模块二 正方形的判定 ·模块三 正方形的性质与判定综合 ·模块四 课后作业 模块一 正方形的性质 1．定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形 2．性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质． 性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等． 性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角． 性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线． 另外，由正方形的性质可以得出： （1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形． （2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半． 【考点1 由正方形的性质解角度问题】 【例1.1】（2024·浙江杭州·三模）如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合正方形的性质以及等边三角形的性质，可以知道，以及和为等腰三角形，利用三角形内角和求得和，最后利用周角求得的度数． 【详解】四边形是正方形 ， 为等边三角形 ， ，， 同理 故选：B． 【变式1.1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据正方形的性质可得出，进而得出，则，进而求出． 【详解】解：连接，如图所示：   四边形是正方形， ，，， ， ，而， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 【变式1.2】（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，则，根据等边对等角得到，设，则，则可推出，，则由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式1.3】（2024·重庆·三模）如图，在正方形中，、分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点，且点为中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；过点作于点，证明，，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∵平分交于点，且点为中点． ∴，， ∴ 又∵ 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 【考点2 由正方形的性质解线段长度问题】 【例2】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理．过点作，连接，证明，，得出，，设，则，，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点作，连接， 为中点， ， 四边形是正方形， ， 是角平分线， ， ， ， 同理可得， ， 设，则，， ， 解得， ． 故选：C． 【变式2.1】（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上点处，则的长度为（ 　　）      A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键，属于中档题． 由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处， ，， ，则， ， 设， 则，， ， 解得． 故选：D． 【变式2.2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用． 过作于，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过作于， 四边形是正方形， ， 平分交于点， ， 正方形的边长为1， ， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 【变式2.3】（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与相交于点为上一点，，为的中点，则四边形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，利用三角形中位线定理求出，求出，，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵在正方形中，对角线与相交于点O， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ， ∵，， ， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴四边形的周长为． 故答案为： 【变式2.4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，取中点，取中点，连接，与交于点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明得出，从而求出，作于，证明，得出，利用三角形面积公式结合勾股定理计算出得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 为中点，为中点， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 如图，作于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， 垂直平分， 故答案为：． 【考点3 由正方形的性质解面积问题】 【例3】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在边长为的正方形的外侧，作．若为边上的一点，当的面积是面积的倍时， （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质，过点作的垂线，交于点，先求得，进而可求得和的数值，根据即可求得答案． 【详解】如图所示，过点作的垂线，交于点． ∵，， ∴． 在中 ． ∴． ∵的面积是面积的倍， ∴． ∴，即 ． ∴． ∴． 故答案为： 【变式3.1】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质与三角形全等的性质与判定，解题的关键是得到．连接，，根据正方形性质可得，，，即可得到，即可得到，即可得到一个图形重叠的面积，即可得到答案； 【详解】解：连接，， ∵正方形的边上为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为：， 故答案为：． 【变式3.2】（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，正方形的对角线、相交于点，平分交于点过点作，交于点，若四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由面积公式可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积为， ， ， 故选：． 【变式3.3】（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为．则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理； 勾股定理求得，进而可得，过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】解：∵中，，，． ∴， ∴，                                            过F作于D，连接， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 由可得：， ∴， ∵，即，且，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故选：C． 【考点4 根据正方形的性质证明】 【例4】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接． (1)问题探究：如图1，作，交于点，求证：； (2)问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键． （1）过点作于，利用证明，得； （2）连接，，设正方形的边长为，由勾股定理得，，解方程可得的值，利用勾股定理求出，再根据（1）知，，从而解决问题． 【详解】（1）解：证明：过点作于， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）（2）连接，， 由折叠的性质得到：，， 设正方形的边长为， 由勾股定理得，， ， 解得：， ， ， 由勾股定理得， ， 是的垂直平分线， 由（1）知，， ． 【变式4.1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、． ①依题意补全图形； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②4 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）根据正方形的性质可得，，然后利用证明即可得出结论； （2）①根据题中步骤作图即可； ②证明，可得，，求出，利用勾股定理可得． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图： ②∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4.2】（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知正方形的边长为12，E、F分别为边上两点． (1)如图1，若，可知与的数量关系为______． (2)如图2，若，作于H，求证：． (3)如图3，若，，点G在边上满足，则长度为______（直接写出答案）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)10或2． 【分析】（1）“”可证，根据全等三角形的性质得出； （2）由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由直角三角形斜边上的中线性质可得结论； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和平行三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：； （2）证明：如图（2），延长交的延长线于N， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵于H， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图（3），当点G离点B较近时，交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图（4），当点G离点A较近时， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为10或2， 故答案为：10或2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 模块二 正方形的判定 判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法： （1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直． （2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等． 【考点1 添一个条件使四边形是正方形】 【例1.1】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 【详解】解：根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 【变式1.1】（22-23八年级下·河南开封·期中）平行四边形的对角线交于点O，有五个条件：①，②，③，④，⑤，则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形进行判断作答即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式1.2】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理：有一个角为直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形逐一判断即可． 【详解】解：①若，根据对角线相等的菱形是正方形即可得菱形是正方形，①符合要求； ②是菱形具有的性质，不能得出菱形是正方形，②不符合要求； ③，则，根据有一个角为直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，③符合要求； ④若菱形是正方形，则，由，可得，故不能得出菱形是正方形，④不符合要求； 故符合要求的为①③， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理以及正方形与菱形的关系，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【变式1.3】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．    【答案】且 【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形． 【详解】应满足的条件是：且， 理由：、、、分别是、、、的中点， 在中，是的中位线， ，， 同理，， 同理，， 则且， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形为正方形， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式1.4】（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 【答案】 ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一） 【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形； 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形； ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形． ,∠BAC＝90°， 故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 【考点2 证明四边形是正方形】 【例2】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作线段，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，请给添加一个条件，使四边形为正方形（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据正方形的判定定理得到结论． 本题考查了正方形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：添加， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形． 【变式2.1】（2023·山东青岛·二模）如图，在中，G、H分别是、的中点，E、O、F是的四等分点，顺次连接G、E、H、F． (1)求证：； (2)已知，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，从而有，再由中点可得，由四等分点得，利用可判定； （2）连接，，证明G，O，H在同一直线上，根据，，得出四边形为平行四边形，证明，得出四边形为矩形，证明，得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵G、H分别是，的中点， ∴， ∵E、O、F是对角线的四等分点， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：连接，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵G、H分别是，的中点，E、O、F是对角线的四等分点， ∴点O是的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、O、H三点共线， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴，， ∴为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正方形的判定，平行线的性质，解答的关键是明确对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． 【变式2.2】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，是边上一动点，过点作的平行线，交的平分线于点，交外角的平分线于点． (1)求证：； (2)连接，，当点沿移动到的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由． (3)若点是边的中点，四边形是否能成为正方形？如果能，对有什么要求？ 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)为直角三角形，且，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，得出，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论； （3）由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，则当矩形对角线互相垂直时，四边形是正方形，即，由，可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形；理由如下： ∵当点O运动到的中点时，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． （3）解：为直角三角形，且，理由如下： 由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ∵， ， 是直角三角形，且． 【点睛】本题考查了正方形，平行四边形，矩形的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2.3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，点 O 是边 上一个动点，过 O 作直线 ，设 交 的平分线于点 E，交 的外角平分线于点 F． (1)求证：； (2)当点 O 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由． (3)若 边上存在点 O，使四边形 是正方形，猜想 的形状并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)当点 O 在边 上运动到中点时，四边形 是矩形．见解析； (3)是直角三角形，理由见解析． 【分析】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案； （2）根据，可得四边形平行四边形，再证明利用矩形的判定得出即可； （3）利用正方形的性质得出，再利用平行线的性质得出，即可得出答案； 【详解】（1）∵ 交的平分线于点 E，交的外角平分线于点 F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （2）当点 O 在边 上运动到中点时，四边形是矩形． 证明：当 O 为的中点时，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴平行四边形 是矩形． （3）是直角三角形， 理由：∵四边形 是正方形， ∴，故， ∵， ∴， ∴， ∴ 是直角三角形． 模块三 正方形的性质与判定综合 【考点1 正方形的性质与判定综合应用】 【例1】（22-23九年级上·全国·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若F恰为的中点，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)6； (3)． 【分析】（1）作于M，于N，通过证明，得到，即可求证； （2）通过证明得到，即，求解即可； （3）连接，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作于M，于N． ∵四边形是正方形， ∴， ∵于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法与性质，做辅助线，构造出全等三角形． 【变式1.1】（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，其中边交于H，交于I．连接． (1)求证：； (2)求证：矩形是正方形； (3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值是定值，定值为4． 【分析】（1）根据正方形的性质以及边角边的关系证明即可得到结论； （2）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可证明矩形是正方形； （3）判断出得到，即可求解． 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 【详解】（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点， ∴，，， ∴， ∴； （2）证明：如图，作， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ∴矩形是正方形； （3）解：的值是定值，定值为4． 理由：∵四边形、都是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 【变式1.2】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质和正方形的判定即可得证； （2）过点A作交于点M，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，设，根据勾股定理列方程，求出的长度，进一步可得的长度，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）过点A作交于点M，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握相关性质和定理． 【变式1.3】（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②试说明，若，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，②72 【分析】（1）由两个平角的和为减去，剩下，再由角平分线求出，利用三角形的内角和即可求解； （2）①作于G，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； ②延长至H，使，利用证明，可得，再证明，则有，进而可得，设，根据，再代入化简即可求解． 【详解】（1）解： 平分，平分 故答案为：； （2）①证明：作于G，如图所示 ， ， 四边形是矩形， 平分，平分 在和中， ， 同理可证明：， ， 四边形是正方形； 解：②延长至H，使，如图所示： 在和中， ， 由（1）可知， 又 ， 即， 在和中， ， ， 设， ， ， 即， 化简得： ， ； 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识是解题的关键． 模块四 课后作业 1．（22-23九年级上·辽宁辽阳·期中）有下列四个条件：①；②；③；④；从中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：A．因为四边形是平行四边形， 当②时，平行四边形是菱形， 当①时，菱形是正方形， 故A不符合题意； B．因为四边形是平行四边形， 当①时，平行四边形是矩形， 当③时，矩形是正方形， 故B不符合题意； C．因为四边形是平行四边形， 当②时，平行四边形是菱形， 当③时，菱形还是菱形， 故C符合题意； D．因为四边形是平行四边形， 当②时，平行四边形是菱形， 当④时，菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质．利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B． 3．（2024·广东肇庆·二模）如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，实数的运算，过点作于点，证明得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 4．（22-23八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点在对角线上，连接、，延长交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质可证得和全等，即可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（23-24八年级下·云南保山·期中）如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，，交于点G，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，，得到，，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故③正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， 延长交的延长线于H， ∵点E是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴．故③正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 6．（2024·江苏苏州·二模）如图，在正方形中，E，F在对角线上且，若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，利用旋转性质求解是解答的关键．将绕点B逆时针旋转，即，连接，求出，证明，得到即可． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，即，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，，，， ∴，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，．以为边向右侧作正方形，过作交于点，连接，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定方法和性质． 过点A作于点H，则四边形为矩形，通过证明，推出，进而得出，，再证明，得出，最后根据的周长，即可解答． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：8． 8．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积．连接，证明，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形的面积的关系求得结果． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形是正方形， ，，，， 为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，为的中点，连接，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 由已知及正方形的性质可求，证明后可得，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果． 【详解】解：正方形， ，， ，分别为，的中点， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 10．（2024·河南南阳·二模）正方形中，，点E在边上，且，点F在边上，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理．利用等腰三角形的性质和正方形的性质分类讨论：先利用勾股定理求得，①当时，利用勾股定理求解即可；②当时，利用勾股定理求出的长；③当时，设，则，利用勾股定理列式，进行计算即可求解． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图， 由勾股定理得； ②当时， 由勾股定理得，不符合题意，舍去； ③当时，如图， 设，则， ， ， 解得：， ； 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 11．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，先证明，即有，，根据，可得，问题随之得证； （2）过E点作，交于点M，交于点N，证明，即可． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过E点作，交于点M，交于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行的性质等知识，灵活运用菱形的性质，是解答本题的关键． 12．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，E是边上一动点（E不与C、D重合），连接交对角线于点F，连接，过点P作交在边于点G． (1)求证：； (2)连接，求出的度数； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合正方形的性质证明即可得到结论； （2）如图，连接，证明，结合，可得，，可得，再进一步可得答案； （3）先求解，结合是等腰直角三角形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ， （2）解：如图，连接， FG⊥AE， ， 四边形是正方形， ， 又 ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：∵，，正方形， ∴，， ∴， 又，而， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键． 13．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）正方形，点分别在上，与相交于点． (1)如图1，，求证：； (2)如图2，平移图1中线段使点与点重合点在延长线上，连接，取的中点，连接，试探究线段和的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）作于，则，证明四边形为矩形，得出，从而得出，证明，即可得出结论； （2）在上截取，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，证明，结合，得出为的中位线，即，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，作于，则， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴, ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，在上截取， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2)，四边形是正方形.见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，熟记平行四边形，矩形，正方形的判定方法是解本题的关键. （1）根据平分，，可知，可得，同理：，可得，且，可证四边形是平行四边形，由对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）当时，四边形是正方形，由正方形的判定可证矩形是正方形． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵点P是的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：如图，当时，四边形是正方形；    理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形. 15．（2024八年级下·全国·专题练习）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，进而得到，则点F与C重合，根据（1）中正方形的性质可求解； （3）分①当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【详解】（1）证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：如图2， 在中．， ∵， ∴， ∴点F与C重合， ∵四边形是正方形， ∴； （3）解：①当与的夹角为时，点F在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 正方形的性质与判定 【北师大版】 ·模块一 正方形的性质 ·模块二 正方形的判定 ·模块三 正方形的性质与判定综合 ·模块四 课后作业 模块一 正方形的性质 1．定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形 2．性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质． 性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等． 性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角． 性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线． 另外，由正方形的性质可以得出： （1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形． （2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半． 【考点1 由正方形的性质解角度问题】 【例1.1】（2024·浙江杭州·三模）如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2024·重庆·三模）如图，在正方形中，、分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点，且点为中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点2 由正方形的性质解线段长度问题】 【例2】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，已知正方形的边长为1，点为边上一点，连接，作的平分线交于点，若为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上点处，则的长度为（ 　　）      A．1 B． C． D．2 【变式2.2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与相交于点为上一点，，为的中点，则四边形的周长为 ． 【变式2.4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，取中点，取中点，连接，与交于点，连接，则 ． 【考点3 由正方形的性质解面积问题】 【例3】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在边长为的正方形的外侧，作．若为边上的一点，当的面积是面积的倍时， （结果保留根号）． 【变式3.1】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 【变式3.2】（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，正方形的对角线、相交于点，平分交于点过点作，交于点，若四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为．则等于(    ) A． B． C． D． 【考点4 根据正方形的性质证明】 【例4】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接． (1)问题探究：如图1，作，交于点，求证：； (2)问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长． 【变式4.1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)过点E作交于点F，延长至点G，使得，连接、． ①依题意补全图形； ②若，求的长． 【变式4.2】（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知正方形的边长为12，E、F分别为边上两点． (1)如图1，若，可知与的数量关系为______． (2)如图2，若，作于H，求证：． (3)如图3，若，，点G在边上满足，则长度为______（直接写出答案）． 模块二 正方形的判定 判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法： （1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直． （2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等． 【考点1 添一个条件使四边形是正方形】 【例1.1】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【变式1.1】（22-23八年级下·河南开封·期中）平行四边形的对角线交于点O，有五个条件：①，②，③，④，⑤，则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．④⑤ 【变式1.2】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1.3】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是 ．    【变式1.4】（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 【考点2 证明四边形是正方形】 【例2】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作线段，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，请给添加一个条件，使四边形为正方形（不需说明理由）． 【变式2.1】（2023·山东青岛·二模）如图，在中，G、H分别是、的中点，E、O、F是的四等分点，顺次连接G、E、H、F． (1)求证：； (2)已知，，求证：四边形是正方形． 【变式2.2】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，是边上一动点，过点作的平行线，交的平分线于点，交外角的平分线于点． (1)求证：； (2)连接，，当点沿移动到的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由． (3)若点是边的中点，四边形是否能成为正方形？如果能，对有什么要求？ 【变式2.3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，点 O 是边 上一个动点，过 O 作直线 ，设 交 的平分线于点 E，交 的外角平分线于点 F． (1)求证：； (2)当点 O 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由． (3)若 边上存在点 O，使四边形 是正方形，猜想 的形状并证明你的结论． 模块三 正方形的性质与判定综合 【考点1 正方形的性质与判定综合应用】 【例1】（22-23九年级上·全国·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若F恰为的中点，求正方形的面积． 【变式1.1】（22-23八年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，其中边交于H，交于I．连接． (1)求证：； (2)求证：矩形是正方形； (3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【变式1.2】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 【变式1.3】（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②试说明，若，求的值． 模块四 课后作业 1．（22-23九年级上·辽宁辽阳·期中）有下列四个条件：①；②；③；④；从中选两个作为补充条件，使平行四边形为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 3．（2024·广东肇庆·二模）如图，为正方形内的一点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．7 4．（22-23八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点在对角线上，连接、，延长交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·云南保山·期中）如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，，交于点G，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2024·江苏苏州·二模）如图，在正方形中，E，F在对角线上且，若，，则 ．    7．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，．以为边向右侧作正方形，过作交于点，连接，则的周长是 ． 8．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，为的中点，连接，若，则的长度为 ． 10．（2024·河南南阳·二模）正方形中，，点E在边上，且，点F在边上，当为等腰三角形时，的长为 ． 11．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 12．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，E是边上一动点（E不与C、D重合），连接交对角线于点F，连接，过点P作交在边于点G． (1)求证：； (2)连接，求出的度数； (3)若，，请直接写出的长． 13．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）正方形，点分别在上，与相交于点． (1)如图1，，求证：； (2)如图2，平移图1中线段使点与点重合点在延长线上，连接，取的中点，连接，试探究线段和的数量关系并证明你的结论． 14．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，请说明理由． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$