2.4 单摆(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中物理选择性必修第一册（人教版2019）

第4节　单摆 （见学生用书P46） 　　[学习目标]1.知道单摆这一理想化模型，能通过理论推导单摆小角度振动时的运动特点（物理观念）.2.通过实验探究单摆周期与摆长、重力加速度的关系（科学探究）.3.会利用单摆周期公式分析有关问题（科学思维）. 知识点 1　单摆的回复力 1.单摆模型 细线悬挂小球，如果细线的　长度　不可改变，细线的　质量　与小球相比可以忽略，球的　直径　与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆.在单摆模型里，悬线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点，可见，单摆是实际摆的　理想化　模型. 注意：研究单摆时还有一个条件，空气等对它的阻力与小球受到的重力及绳的拉力相比可以忽略.为了更好地满足这个条件，实验时要尽量选择质量　大　、体积　小　的球和尽量　细　的线. 2.单摆的回复力 （1）回复力的来源：摆球的重力沿圆弧　切线　方向的分力. （2）回复力的特点：在　摆角　很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成　正比　，方向总指向　平衡位置　，即F＝－x.从回复力特点可知，单摆做　简谐　运动. 注意：单摆的摆动不一定是简谐运动，只有单摆做小角度摆动时才认为是简谐运动. 知识点 2　单摆的周期 1.探究影响单摆周期的因素 （1）探究方法：　控制变量　法. （2）实验结论 ①单摆振动的周期与摆球质量　无关　. ②振幅较小时周期与振幅　无关　. ③摆长越长，周期　越大　；摆长越短，周期　越小　. 2.周期公式 （1）提出：周期公式是荷兰物理学家　惠更斯　首先提出的. （2）公式：T＝　2π　　　　，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成　正　比，与重力加速度g的二次方根成　反　比，而与振幅、摆球质量　无关　. 1.判断下列说法的正误. （1）单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.（　×　） （2）单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力.（　√　） （3）单摆经过平衡位置时受到的合力为零.（　×　） （4）单摆的振幅越小，周期越小.（　×　） 2.一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为　2T　. 考点 1　单摆及单摆的回复力 【情境导学】如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放.请问：什么力提供回复力？ 答案：重力沿切线方向的分力提供小球摆动的回复力. 1.单摆的回复力 如图所示，摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力. 2.单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x（式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动. 【例题1】（多选）如图所示为一单摆的振动图像，则（　　） A. t1和t3时刻摆线的拉力等大 B. t2和t3时刻摆球速度相等 C. t3时刻摆球速度正在减小 D. t4时刻摆线的拉力正在减小 思维导引：细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力；重力沿圆弧切线方向的分力提供小球振动的回复力. 答案：AD　 解析：由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆运动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，选项A正确；t2时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，选项B错误；t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，选项C错误；t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆球拉力也减小，选项D正确. 关于单摆模型的两点提醒 1.所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡的位置.实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡. 2.回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力与摆线拉力的合力. 【变式1】 如图所示，图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　） A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力作用 B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零 C.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大 答案：D　 解析：回复力、向心力是效果力，摆球受到重力和拉力作用，选项A错误；摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零；在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，选项D正确，B、C错误. 考点 2　单摆的周期公式 【情境导学】如图所示，摆球质量相同，摆长不同的单摆，摆动周期不同；摆长相同而摆球质量不同或振幅不同的单摆振动周期却相同，这说明什么？ 答案：这说明单摆的周期与摆长有关而与摆球质量及振幅无关. 1.摆长 严格来讲，摆长l等于摆球球心（质量均匀）到摆动圆弧的圆心的距离.常见计算摆长的情况如表所示. 图示 等效摆长 运动情况 l等效＝lsin α 垂直纸面的小角度摆动 l等效＝lsin α＋l 垂直纸面摆动 l等效＝l 纸面内摆动 左侧：l等效＝l 右侧：l等效＝l 纸面内摆动T＝π＋π 2.重力加速度 （1）公式中的g由单摆所处的空间位置决定：若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化.另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值，不同地点g的取值不同. （2）公式中的g还由单摆系统的运动状态决定：如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g'＝g＋a. （3）公式中的g还由单摆所处的物理环境决定：如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有加速度等效值的问题. 【例题2】如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是（下列皆指小角度摆动）（　　） A.让小球在纸面内摆动，周期T＝2π B.让小球垂直纸面摆动，周期T＝2π C.让小球在纸面内摆动，周期T＝2π D.让小球垂直纸面摆动，周期T＝2π 思维导引：单摆周期公式中的摆长是指摆球做小角度摆动时摆球球心（质量均匀）到摆动圆弧圆心的距离. 答案：A　 解析：让小球在纸面内摆动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，则周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，则周期T'＝2π，选项A正确，B、C、D错误. 【变式2】（多选）甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定（　　） A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4 B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2 C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3 D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4 答案：BCD　 解析：根据题图可知，单摆振动的周期关系T甲＝T乙，所以周期之比为＝，所以频率之比＝，选项B、C正确；若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则重力加速度相同，根据周期公式T＝2π，可得摆长之比为4∶9，选项A错误；若甲、乙两单摆在不同地点摆动，摆长相同，根据T＝2π得，重力加速度之比为9∶4，选项D正确. 1.（对单摆的理解）（多选）关于单摆，下列说法正确的是（　　） A.摆球受到的回复力是它所受的合力 B.摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C.只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 D.摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 答案：BC　 解析：摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，选项A错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，选项B正确；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力；在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，选项C正确，D错误. 2.（对单摆的理解）（多选）关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　） A.摆球受重力、摆线的拉力作用 B.摆球受重力、摆线的拉力、回复力作用 C.摆球的回复力为零时，向心力最大 D.摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大 答案：AC　 解析：单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，重力沿圆弧切线的分力提供回复力，选项A正确，B错误；在平衡位置，回复力为零，速度最大，向心力F向＝最大，选项C正确；当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力等于重力沿半径方向的分力，即拉力小于重力，选项D错误. 3.（单摆周期公式的应用）（多选）发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大（　　） A.增大摆球质量 B.增加摆长 C.减小单摆振幅 D.将单摆由山下移到山顶 答案：BD　 解析：由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或l增大时周期会变大. 4.周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2. 解析：根据周期公式T＝2π可得l＝， 代入数据解得l＝ m≈0.99 m， 秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为＝， 它在月球上做50次全振动所用的时间为t＝50T'＝50T＝50×2× s≈247.5 s. 答案：0.99 m　247.5 s 学科网（北京）股份有限公司 $$