专题06 一元二次方程-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题06 一元二次方程-（解析版） 命题点1 一元二次方程的概念和解 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的解，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，分3为底边长或腰长两种情况讨论是解题的关键．分3为底边长或腰长两种情况求解即可． 【详解】解：当3为腰时，此时或， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， 解得，； 当3为底时，此时，， 解得， 此时方程为， 解得； 综上所述，m的值为4或5． 故选C． 2．（2024·浙江·三模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式与根的关系．根据一元二次方程的定义得的系数不为0，根据一元二次方程有实数根，可得，列出不等式，求这两个不等式的公共解集即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∵原方程有实数根， ∴， 解得， ∴实数的取值范围是且， 故选：C ． 3．（2024·云南昆明·三模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 4．（2024·山东菏泽·三模）已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A．，且 B．，且 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，满足题意； 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：． 综上可知，． 故选C． 5．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程 得 解得： 故答案为：． 6．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入，得，即， ， 故答案为6． 7．（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 8．（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案． 【详解】解： 是方程的两个根， ，， ， ． 故答案为：2024． 9．（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式为正，求得m的取值范围，根据范围即可求得最小整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则m可以取到的整数值是不小于2的整数， 但，即． 故m可以取到的最小整数值是3． 故答案为：3． 11．（2024·天津·三模）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 12．（2024·江苏淮安·三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 13．（2024·河南安阳·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值不可以是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义、一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程的根的判别式大于零时，该方程有两个不相等的实数根成为解题关键． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列不等式求解求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：且， ∴只有C选项符合题意． 故选：C． 14．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 15．（2024·广东深圳·三模）已知，． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，一元二次方程的解； （1）通分，化成同分母，进行计算即可； （2）把代入方程，得到，整体代入（1）中结果进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵a是方程的一个根， ∴， ∴． 16．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【答案】B 【分析】把代入，转化为m的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 设另一个根为， 根据题意，得， 故选：B． 17．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 18．（2024·福建厦门·模拟预测）已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是 ．    【答案】小正方形的边长 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及一元二次方程的相关概念，结合图形可知小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，问题随之得解． 【详解】结合图形可知大正方形的面积为， ∵长方形的面积为， ∴四个长方形的面积总和为， 结合图形可知：小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：， 故答案为：小正方形的边长． 19．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．分和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：对于关于的方程， 当时，可有，解得； 当时，该方程为一元二次方程， 则有， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 20．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查方程解，根的判别式，根据倒方程的定义，结合方程的解以及根的判别式逐一进行判断即可． 【详解】解：的倒方程为：， 把代入，得： ，解得：；故①正确； ∵无解， ∴， ∴， ∵的倒方程为，也是一元二次方程， ∴， ∴没有实数根，故②正确； ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当，时，满足要求， 此时的倒方程为一元一次方程，故③错误； 故答案为：①②． 命题点2 一元二次方程的应用 21．（2024·河南南阳·三模）2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，列方程为， 故选A． 22．（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该药品经过两次降价后的价格=原价（每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为 ， 故选：D． 23．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 24．（2024·山西吕梁·模拟预测）某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块的长为多少米，设矩形地块长为x米．根据题意列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，结合图形，根据图形面积的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得， 整理得：， 故选：B． 25．（2024·山西晋城·三模）2024年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户”．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设行车通道的宽度为． 根据题意，得． 故选：D． 26．（2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人拥抱应该只算一次并据此列出方程是解题的关键． 因为每位同学都要与除自己之外的名同学拥抱一次，所以共拥抱次，由于每次拥抱都是两人，应该算一次，所以共拥抱次，即可列方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 27．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 28．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 29．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，根据题干中给出的信息即可得出答案，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题干中给出的信息可知，所用的思想为数形结合思想， 故选：B． 30．（2024·重庆·三模）电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每天的增长率是，列方程为， 故答案为：． 31．（2024·河南商丘·三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，用x表示4月 13 日的营业额即可得解． 【详解】解：依题意得4月 13 日的营业额， ∴． 故答案为：． 32．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得月份租车量为次，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 33．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交线段于点．若，，那么正方形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的相关计算、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、一元二次方程的应用等知识，证明，正确求得的值是解题关键．设，根据题意，可得，，证明，由相似三角形的性质解得，代入数值并求得的值，进而可得，然后计算正方形的面积即可． 【详解】解：如下图，设， 根据题意，可得，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴， ∴正方形的面积． 故答案为：． 34．（2024·广东汕头·三模）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①见解析 ② 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，与图形有关的一元二次方程的应用． （1）根据正方体展开图的几种形状即可判断； （2）根据正方体展开图即可判断； （3）①按照要求画出图形即可； ②设正方形的边长为，根据纸盒底面积为，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由正方体展开图的几种形状知，只有C中形状可以折叠围成无盖正方体，其它均不能； 故选：C； （2）解：与“小”字相对的字是“士”，与“保”字相对的字是“卫”； 答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②设正方形的边长为， 则， 解得，（不合题意舍去）， 此时纸盒的体积为； 答：要剪去的小正方形的边长为，这个纸盒的体积为． 35．（2024·甘肃天水·三模） 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． (1)若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ (2)要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ (3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)最大值元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质， （1）利用每件新款春装的销售利润为：盈利减去增加销量的一半，即可得； （2）设每件新款春装应降x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：，进行计算即可得； （3）设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， ，利用二次函数的性质即可得； 理解题意，掌握一元二次方程，二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）． （2）解：设每件新款春装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得：，， ∵要尽量减少库存， ． （3）解：设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， 即最大值元， 答．平均每天销售这款春装盈利的最大值是元． 36．（2024·甘肃武威·三模）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键， 设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，   得：， 解得：，（舍）， ∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为． 37．（2024·甘肃武威·三模）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【答案】一样大 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设甲、乙两种药品成本的年平均下降率为x、y，利用方程求解即可． 【详解】设甲种药品成本的年平均下降率为x， 根据题意得：， 解之得：（舍去），， 所以甲种药品成本的年平均下降率约为； 设乙种药品成本的年平均下降率为y， 根据题意得： 解之得：（舍去）， 所以乙种药品成本的年平均下降率约为； 答：甲乙两种药品成本的年平均下降率一样大． 38．（2024·甘肃天水·三模）商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． (1)若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每套吉祥物的售价应定为32元； (2)销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和函数是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列方程，解方程即可得到答案； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列出二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）设每套吉祥物的售价为x元，根据题意得 ， 化简得：， 解得，， 为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为32元． （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，则有 ， ∵，且， ∴， ∵对称轴为直线，且该二次函数图象开口向下， ∴函数的最大值为， 销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 39．（2024·山西大同·三模）山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的知名度和美誉度．某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为60元时，每个月可销售100件，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售，根据销售统计，每件的销售价每降低1元，每个月的销售量将增加10件．设该商品每件降价x元，每个月的销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知每件汾酒的成本为42元，商家想要每月获利1920元，则这款汾酒每件可以降价多少元？ 【答案】(1)； (2)这款汾酒每件可以降价2元或6元，每月获利1920元． 【分析】本题一元二次方程的应用和一次函数的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设该商品每件降价x元，则销售量将增加件，依题意可得y与x的函数关系式； （2）每件汾酒的成本为42元，初始售价为60元，则降价后每件的利润为，依题意得：，求解即可． 【详解】（1）解：设该商品每件降价x元，则销售量将增加件，且售价为60元时，每个月可销售100件，依题意可得： ． （2）解：每件汾酒的成本为42元，初始售价为60元，则降价后每件的利润为，依题意得： ， ∴， 解得：或， ∴这款汾酒每件可以降价2元或6元，每月获利1920元． 40．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 一元二次方程 命题点1 一元二次方程的概念和解 命题点2 一元二次方程的应用 试卷第6页，共24页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程-（原卷版） 命题点1 一元二次方程的概念和解 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 2．（2024·浙江·三模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 3．（2024·云南昆明·三模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 4．（2024·山东菏泽·三模）已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A．，且 B．，且 C． D． 5．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 6．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 7．（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 8．（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 9．（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 10．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 11．（2024·天津·三模）方程的根是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏淮安·三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 13．（2024·河南安阳·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值不可以是（    ） A．2 B． C．0 D． 14．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（2024·广东深圳·三模）已知，． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 16．（2024·河南周口·三模）已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-2 17．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 18．（2024·福建厦门·模拟预测）已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是 ．    19．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 20．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 命题点2 一元二次方程的应用 21．（2024·河南南阳·三模）2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·山西吕梁·模拟预测）某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块的长为多少米，设矩形地块长为x米．根据题意列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 25．（2024·山西晋城·三模）2024年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户”．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 28．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 29．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 30．（2024·重庆·三模）电视剧《与风行》播出第一天网上播放量达到1.5亿次，以后每天的播放量按照相同的增长率增长，第三天播放量当日达到2.535亿次，设平均每天的增长率是，根据题意，可列方程为 ． 31．（2024·河南商丘·三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 32．（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 33．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交线段于点．若，，那么正方形的面积为 ． 34．（2024·广东汕头·三模）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 35．（2024·甘肃天水·三模） 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． (1)若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ (2)要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ (3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 36．（2024·甘肃武威·三模）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 37．（2024·甘肃武威·三模）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 38．（2024·甘肃天水·三模）商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． (1)若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 39．（2024·山西大同·三模）山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的知名度和美誉度．某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为60元时，每个月可销售100件，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售，根据销售统计，每件的销售价每降低1元，每个月的销售量将增加10件．设该商品每件降价x元，每个月的销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知每件汾酒的成本为42元，商家想要每月获利1920元，则这款汾酒每件可以降价多少元？ 40．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 一元二次方程 命题点1 一元二次方程的概念和解 命题点2 一元二次方程的应用 试卷第4页，共7页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$