专题05 分式方程（2大命题点）-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题05 分式方程-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）（解析版） 命题点1 分式方程的定义和解 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．（2024·河南周口·三模）分式方程 去分母可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握去分母法则是解题关键． 在方程两边同时乘以最简公分母，约分后即可得解． 【详解】解： 去分母，得 故选：D． 3．（2024·辽宁抚顺·三模）将方程 去分母，两边同乘后的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，根据等式的性质方程两边乘得出，问题即可作答． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 故选：D． 4．（2024·四川南充·三模）近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】根据题意，设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元， 根据题意，得， 故选D． 5．（2024·甘肃武威·三模）若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解并掌握增根的实际意义．找出分式方程的最简公分母并确定出x的值，即为增根． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 去分母得：， 整理得， 由分式方程有增根，得到，即或， 把代入得：，解得， 则它的增根可以是1． 把代入得：，无解， 则它的增根不可以是． 故选：B． 6．（2024·四川南充·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 先解含有的分式方程，再根据已知条件列出关于的不等式，解不等式，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的分式方程的解是非负数， ， ∴， ， ， 解得：， 的取值范围是：且， 故选：C． 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程．将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是非负数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程的解为非负数，且分母不等于0， ∴，， ∴，且， 故选：D． 8．（2024·山东日照·三模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得． ∵x为正数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：C． 9．（2024·四川德阳·三模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得， ∵x为正数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：D． 10．（2024·江苏无锡·三模）方程的解为 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 经检验，是原方程的的解， 故答案为：． 11．（2024·山东菏泽·三模）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解． 【详解】解： 当时，即时，原分式方程无解； 当时， ∵原分式方程无解 ∴ 解得 综上，或 故答案为：1或2． 12．（2024·北京·三模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，进行计算求解并检验即可得到答案． 【详解】解：去分母得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 13．（2024·山东滨州·三模）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件． 先把分式方程化为，再根据分式方程无解求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得得：， 当，即时，原方程无解， ∴代入得， ∴， 故答案为：4． 14．（2024·山东聊城·三模）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 15．（2024·重庆·三模）若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、分式方程的解的定义是解决本题的关键．先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∵只有两个偶数解， 即为， ∴， 解得， 解方程得，且， ∵是整数， ∴的值为，0，， ∴满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 16．（2024·重庆九龙坡·三模）若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和一元一次不等式组的整数解，掌握分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义是关键．根据分式方程的解的步骤和一元一次不等式组的整数解的定义进行解答． 【详解】解：解不等式组， 可得， 不等式组至少有3个整数解， ， ， 解分式方程， 解得， 又分式方程有非正整数解， ，且， 且， 且， 满足条件的整数的值为：，，，0，2， 满足条件的整数的值为：． 故答案为：． 17．（2024·辽宁丹东·三模）计算 (1)解方程： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可． (2) 先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式． 本题考查了分式方程的解法，分式的化简，熟练掌握解分式方程的基本步骤，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】（1）∵， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． （2） ． 18．（2024·江苏徐州·三模）（1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 系数化为一得：， 经检验：是原方程的解． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集是：． 19．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是；问题三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 问题一：①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 问题二：根据解分式方程的方法解方程即可； 问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可． 【详解】解：问题一： ①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：A； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2 问题二： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 问题三： 除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验． 命题点2 分式方程的应用 20．（2024·山东东营·三模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 21．（2024·甘肃定西·三模）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了列分式方程，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．设现在每天生产x台，则原来可生产台．根据现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天，列出方程即可. 【详解】解：设现在每天生产x台，则原来可生产台． 根据题意： 故选：A． 22．（2024·山西运城·三模）随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（    ） A．32亩 B．45亩 C．60亩 D．75亩 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键. 设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可. 【详解】解：设一个人平均每小时喷洒农药x亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 故选C 23．（2024·山西晋中·三模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 24．（2024·浙江金华·三模）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分钟比小季多跳下，设小季每分钟跳下，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．如果设小季每分钟跳下，那么小范每分钟跳，根据：“相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下”，据此可列出方程． 【详解】解：设小季每分钟跳下，那么小范每分钟跳， 根据题意得：， 故选：B． 25．（2024·山西晋城·三模）医用75%酒精消毒液，可杀灭肠道致病杆菌、化脓性球菌、白色念珠菌，适用于人体手及各种皮肤消毒和一般物体表面消毒．在一次实验中，要将浓度为的酒精，稀释为的酒精．设需要加水．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设需要加水．根据题意列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设需要加水．根据题意得， 故选：C． 26．（2024·黑龙江绥化·三模）《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用慢马运送到里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为里/天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出代数式并找出等式是解题关键．设慢马的速度为里/天，则分别可列出两马运送里所需天数，再根据用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天即可列式． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 则快马的速度为里/天， 则慢马运送里需要天，快马送里需要天， 由用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天， 可得， 故选：A． 27．（2024·辽宁辽阳·三模）全长360千米的吉图晖铁路客运专线被誉为东北最美高铁线，它不仅串起了一道道美丽的风景，更是丰富了时下“说走就走”的旅行新常态．该专线上，高铁运行时速约为普快列车（俗称“绿皮车”）的2倍；若中途均不停车，高铁列车全程运行时间比普快列车缩短1.5小时，求普快列车的运行时速．若设普快列车的运行时速是x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意得普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合高铁列车全程运行时间比普快列车缩短1.5小时，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：根据题意得普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为千米/小时，根据题意得： 故选：A． 28．（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键；根据还原法求解即可； 【详解】方程，如果设， 则， ， 故答案为：； 29．（2024·山西晋城·三模）某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检，A型机器人巡检所用时间与B型机器人巡检所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路 km． 【答案】15 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，设A型机器人每小时巡检线路，A型机器人巡检所用时间与B型机器人巡检所用时间相等，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设A型机器人每小时巡检线路，， 解得 经检验是原分式方程的根， 故答案为：15． 30．（2024·安徽淮北·三模）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为 ．    【答案】300步 【分析】本题考查了分式方程的应用，正方形性质，相似三角形的性质和判定，设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设正方形城池的边长为步， 由题知，步，步， 步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得， 经检验是方程的解， 故答案为：步． 31．（2024·山东青岛·三模）某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程． 【详解】设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是， 依题意，得：， 故答案为：． 32．（2024·江苏徐州·三模）3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆，求树苗基地每捆A种树苗的价格．（用方程解决问题） 【答案】树苗基地每捆A种树苗的价格为元 【分析】本题考查分式方程的应用，设树苗基地每捆A种树苗的价格为元，根据用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设树苗基地每捆A种树苗的价格为元，则：市场上每捆A种树苗的价格为元， 由题意，得：， 解得：； 经检验是原方程的解； 答：树苗基地每捆A种树苗的价格为元． 33．（2024·云南楚雄·三模）为了有效落实《教育部关于加强和改进中小学实验教学的意见》，某中学计划购买A，B两种品牌的科学实验套装，已知1盒B品牌科学实验套装比1盒A品牌科学实验套装贵20元，且用6400元购买A品牌科学实验套装的数量和用8000元购买B品牌科学实验套装的数量相同．求1盒A品牌科学实验套装和1盒B品牌科学实验套装的价格分别为多少元？ 【答案】1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元 【分析】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意列方程求解即可． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元． 34．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）为迎接亚冬会，区教育局组织骑行大赛，并为参赛的部分优秀学生选手购买骑行帽，按原价用计划的2400元可购买这种骑行帽若干个，商场老板决定给予八折优惠，结果教育局用这计划的2400元购买的骑行帽数量比按原价购买多4个． (1)求这种骑行帽原价多少元一个． (2)由于参赛同学增多，教育局准备再购买这种骑行帽和防霾口罩共200个，用于奖励参赛学生．骑行帽仍可按八折购买，防霾口罩进价10元/个，商场老板与教育局协商后将防霾口罩按利润率的价格出售，若教育局用于再购买骑行帽和防霾口罩的钱数少于10000元，则教育局用这笔钱数最多可购买多少个骑行帽？ 【答案】(1)这种骑行帽原价150元一个 (2)教育局用这笔钱数最多可购买70个骑行帽 【分析】本题考查了分式方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设这种骑行帽原价x元一个，根据用计划的2400元购买的骑行帽数量比按原价购买多4个，建立分式方程，求解并检验即可； （2）先计算出骑行帽和防霾口罩的售价，设购买m个骑行帽，根据购买骑行帽和防霾口罩的钱数少于10000元，建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设这种骑行帽原价x元一个， ，解得 经检验，是原分式方程的解 答：这种骑行帽原价150元一个； （2）解：（元/个），（元/个） 设购买m个骑行帽， 解得 为整数， 的最大整数为70， 答：教育局用这笔钱数最多可购买70个骑行帽． 35．（2024·黑龙江佳木斯·三模）某体育用品专卖店准备购进两种类型的羽毛球拍，每副A型羽毛球拍比B型羽毛球拍的进价少10元，用6000元购进A型羽毛球拍的副数是用3500元购进B型羽毛球拍副数的2倍． (1)求两种型号的羽毛球拍每副进价各是多少元； (2)若该商场购进B型羽毛球拍的副数比A型羽毛球拍的2倍还多5副，且A型羽毛球拍不少于18副，购进两种型号羽毛球拍的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案； (3)若A型羽毛球拍售价为70元/副，B型羽毛球拍售价为85元/副，该商场在（2）中获得最大利润的条件下，为促进销售，商场推出每购买一副羽毛球拍可抽奖一次，中奖顾客赠送同款羽毛球一盒，两款羽毛球的进价每盒分别是30元、35元．如果两款羽毛球拍全部售出，除去奖品的费用后仍获利675元，那么两款羽毛球共赠送多少盒？请直接写出答案． 【答案】(1)种型号的羽毛球拍每副进价40元，种型号的羽毛球拍每副进价50元 (2)有12种进货方式 (3)两款羽毛球共赠送或或盒 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，熟练得到相应的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设每副“型球拍”的价格为元，则每副“型球拍”的价格为元，根据“用6000元购进“型球拍”是用3500元购进“型球拍”的数量的两倍”列出方程，解方程即可； （2）设商场购进“A型球拍”副，则购进“B型球拍”副，根据A型羽毛球拍不少于18副，购进两种型号羽毛球拍的总费用不超过4350元，列出不等式组，即可解答； （3）设设款羽毛球赠送a盒, 款羽毛球赠送b盒,根据题意列出方程，再根据条件得到的解，即可解答． 【详解】（1）解：设每副“型球拍”的价格为元，则每副“型球拍”的价格为元， 可得方程， 解得， 经检验，可得是原方程的解， 元， 答：种型号的羽毛球拍每副进价40元，种型号的羽毛球拍每副进价50元． （2）解：设商场购进“A型球拍”副，则购进“B型球拍”副， 可得， 解得， 为正整数，可得， 故有12种进货方式． （3）解：获得最大利润时，购进“型球拍”29副，购进“B型球拍”63副， “型球拍”的利润为元/副；“B型球拍”的利润为元/副， 设款羽毛球赠送a盒, 款羽毛球赠送b盒, 可得， 可得， ， 可得，此时； ，此时； ，此时， 答：两款羽毛球共赠送或或盒． 36．（2024·云南昆明·三模）云南多地中小学开展清明祭英烈活动，悼念革命先烈，传承红色基因，他们通过献花、默哀等方式，表达对革命先烈的崇高敬意和无限哀思．某中学准备一次性购买若干束A款鲜花和B款鲜花，其中用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束，且A款鲜花的单价是B款鲜花单价的1.5倍．求一束A款鲜花和一束B款鲜花的售价分别是多少元？ 【答案】一束A款鲜花的售价为60元，一束B款鲜花的售价为40元 【分析】本题考查了分式方程的应用，利用“用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束”，列方程，即可解答，正确列出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设一束B款鲜花的售价x元，则一束A款鲜花的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：一束A款鲜花的售价为60元，一束B款鲜花的售价为40元． 37．（2024·山西太原·三模）在国家深化改革、扩大开放，以经济建设为中心，全面建设小康社会的大背景下，“建设新农村，提高农民的收入，提升农民的幸福感”，成为了某乡镇政府的核心任务，今年，本乡镇主要有两种经济作物，总产量分别如下表： 类别 小麦 大豆 总产量（万公斤） 1440 270 通过统计与计算发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，种植小麦的田亩数比种植大豆的田数多5000亩． (1)求种植小麦的田亩数． (2)为加大经济作物种的田亩数，乡镇政府决定再从种植小麦的土地中，拨出一定的土地种植经济价值较高的蔬菜，但不得超过剩余种植小麦土地的四分之一．求可以最多种植蔬菜多少亩． 【答案】(1)小麦的种植面积为20000亩 (2)改种蔬菜的最大面积为4000亩 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用等知识，根据题意准确列出式子是解题关键． （1）设小麦的种植面积为x亩，根据“小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍”列出分式方程，解分式方程即可求解； （2）设改种蔬菜的面积为y亩，根据“改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一”列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设小麦的种植面积为x亩， 由题意得， 解得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 答：小麦的种植面积为20000亩； （2）解：设改种蔬菜的面积为y亩， 根据题意得， 解得． 答：改种蔬菜的最大面积为4000亩． 38．（2024·吉林长春·三模）为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标，已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍，求乙队独立完成此项工程需要多少天？ 【答案】10天 【分析】设乙队独立完成此项工程需要天，则甲队独立完成此项工程需要天，利用工作效率工作总量工作时间，结合乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】解：设乙队独立完成此项工程需要天，则甲队独立完成此项工程需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：乙队独立完成此项工程需要10天． 分式方程 命题点1 分式方程的定义和解 命题点2 分式方程的应用 试卷第4页，共24页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式方程-（原卷版） 命题点1 分式方程的定义和解 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（2024·河南周口·三模）分式方程 去分母可得（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁抚顺·三模）将方程 去分母，两边同乘后的式子为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·三模）近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃武威·三模）若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 6．（2024·四川南充·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．（2024·山东日照·三模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（2024·四川德阳·三模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．（2024·江苏无锡·三模）方程的解为 11．（2024·山东菏泽·三模）若关于的分式方程无解，则 ． 12．（2024·北京·三模）方程的解为 ． 13．（2024·山东滨州·三模）关于的分式方程无解，则的值为 ． 14．（2024·山东聊城·三模）分式方程的解为 ． 15．（2024·重庆·三模）若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 16．（2024·重庆九龙坡·三模）若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 17．（2024·辽宁丹东·三模）计算 (1)解方程： (2)化简： 18．（2024·江苏徐州·三模）（1）解方程： （2）解不等式组： 19．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 命题点2 分式方程的应用 20．（2024·山东东营·三模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 21．（2024·甘肃定西·三模）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山西运城·三模）随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（    ） A．32亩 B．45亩 C．60亩 D．75亩 23．（2024·山西晋中·三模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江金华·三模）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分钟比小季多跳下，设小季每分钟跳下，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·山西晋城·三模）医用75%酒精消毒液，可杀灭肠道致病杆菌、化脓性球菌、白色念珠菌，适用于人体手及各种皮肤消毒和一般物体表面消毒．在一次实验中，要将浓度为的酒精，稀释为的酒精．设需要加水．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·黑龙江绥化·三模）《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用慢马运送到里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为里/天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·辽宁辽阳·三模）全长360千米的吉图晖铁路客运专线被誉为东北最美高铁线，它不仅串起了一道道美丽的风景，更是丰富了时下“说走就走”的旅行新常态．该专线上，高铁运行时速约为普快列车（俗称“绿皮车”）的2倍；若中途均不停车，高铁列车全程运行时间比普快列车缩短1.5小时，求普快列车的运行时速．若设普快列车的运行时速是x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 28．（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 29．（2024·山西晋城·三模）某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检，A型机器人巡检所用时间与B型机器人巡检所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路 km． 30．（2024·安徽淮北·三模）《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为 ．    31．（2024·山东青岛·三模）某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为 ． 32．（2024·江苏徐州·三模）3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆，求树苗基地每捆A种树苗的价格．（用方程解决问题） 33．（2024·云南楚雄·三模）为了有效落实《教育部关于加强和改进中小学实验教学的意见》，某中学计划购买A，B两种品牌的科学实验套装，已知1盒B品牌科学实验套装比1盒A品牌科学实验套装贵20元，且用6400元购买A品牌科学实验套装的数量和用8000元购买B品牌科学实验套装的数量相同．求1盒A品牌科学实验套装和1盒B品牌科学实验套装的价格分别为多少元？ 34．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）为迎接亚冬会，区教育局组织骑行大赛，并为参赛的部分优秀学生选手购买骑行帽，按原价用计划的2400元可购买这种骑行帽若干个，商场老板决定给予八折优惠，结果教育局用这计划的2400元购买的骑行帽数量比按原价购买多4个． (1)求这种骑行帽原价多少元一个． (2)由于参赛同学增多，教育局准备再购买这种骑行帽和防霾口罩共200个，用于奖励参赛学生．骑行帽仍可按八折购买，防霾口罩进价10元/个，商场老板与教育局协商后将防霾口罩按利润率的价格出售，若教育局用于再购买骑行帽和防霾口罩的钱数少于10000元，则教育局用这笔钱数最多可购买多少个骑行帽？ 35．（2024·黑龙江佳木斯·三模）某体育用品专卖店准备购进两种类型的羽毛球拍，每副A型羽毛球拍比B型羽毛球拍的进价少10元，用6000元购进A型羽毛球拍的副数是用3500元购进B型羽毛球拍副数的2倍． (1)求两种型号的羽毛球拍每副进价各是多少元； (2)若该商场购进B型羽毛球拍的副数比A型羽毛球拍的2倍还多5副，且A型羽毛球拍不少于18副，购进两种型号羽毛球拍的总费用不超过4350元，请你求出该商场有哪几种进货方案； (3)若A型羽毛球拍售价为70元/副，B型羽毛球拍售价为85元/副，该商场在（2）中获得最大利润的条件下，为促进销售，商场推出每购买一副羽毛球拍可抽奖一次，中奖顾客赠送同款羽毛球一盒，两款羽毛球的进价每盒分别是30元、35元．如果两款羽毛球拍全部售出，除去奖品的费用后仍获利675元，那么两款羽毛球共赠送多少盒？请直接写出答案． 36．（2024·云南昆明·三模）云南多地中小学开展清明祭英烈活动，悼念革命先烈，传承红色基因，他们通过献花、默哀等方式，表达对革命先烈的崇高敬意和无限哀思．某中学准备一次性购买若干束A款鲜花和B款鲜花，其中用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束，且A款鲜花的单价是B款鲜花单价的1.5倍．求一束A款鲜花和一束B款鲜花的售价分别是多少元？ 37．（2024·山西太原·三模）在国家深化改革、扩大开放，以经济建设为中心，全面建设小康社会的大背景下，“建设新农村，提高农民的收入，提升农民的幸福感”，成为了某乡镇政府的核心任务，今年，本乡镇主要有两种经济作物，总产量分别如下表： 类别 小麦 大豆 总产量（万公斤） 1440 270 通过统计与计算发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，种植小麦的田亩数比种植大豆的田数多5000亩． (1)求种植小麦的田亩数． (2)为加大经济作物种的田亩数，乡镇政府决定再从种植小麦的土地中，拨出一定的土地种植经济价值较高的蔬菜，但不得超过剩余种植小麦土地的四分之一．求可以最多种植蔬菜多少亩． 38．（2024·吉林长春·三模）为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标，已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍，求乙队独立完成此项工程需要多少天？ 分式方程 命题点1 分式方程的定义和解 命题点2 分式方程的应用 试卷第4页，共8页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$