专题11 圆-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题11 圆-（原卷版） 圆 1．（2024·河北邯郸·三模）如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 3．（2024·河南周口·三模）如图，四边形内接于圆O，连接，图中与相等的角是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 5．（2024·河南南阳·三模）如图，A，B，C为上的三个点．，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西咸阳·三模）如图，四边形内接于，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江嘉兴·三模）已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 8．（2024·辽宁大连·三模）下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川绵阳·三模）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（    ）      A．4 B． C． D． 11．（2024·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽安庆·三模）如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（   ）    A．5 B．10 C． D． 14．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，过点C作的切线，切点为E，作于点D，连结，下列结论正确的是（    ） A．B是中点 B． C． D．平分 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 16．（2024·吉林长春·三模）如图，两条直线相交于点O，所夹锐角为，以点O为图心，任意长为半径作图，与两条直线分别交于点A、B、C、D，下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 17．（2024·山西阳泉·三模）如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 18．（2024·湖南长沙·三模）如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 19．（2024·江苏泰州·三模）如图，是半圆O的直径，点 C（不与点 O 重合）在上．过点 C 作 交半圆O 于点 D，连接，，．过点 C 作 于点 E．设，，则图中长度一定等于的线段是（   ）    A． B． C． D． 20．（2024·四川南充·三模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　） A． B． C．12 D．16 21．（2024·吉林长春·三模）如图，四边形内接于，为对角线，经过圆心．若，则的度数为 ． 22．（2024·河南周口·三模）如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．    23．（2024·辽宁大连·三模）一个圆锥的底面直径为4，侧面表面积为，则母线长为 ． 24．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧长，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ． 25．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 26．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 27．（2024·陕西榆林·三模）如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是 （用表示）    28．（2024·山东济南·三模）如图，图是等边三角形铁丝框，按图方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），若所得扇形的面积是，则的面积为 ． 29．（2024·广东清远·三模）如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．    30．（2024·广东清远·三模）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ． 31．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 32．（2024·江苏盐城·三模）如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为 ． 33．（2024·江西景德镇·三模）如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ． 34．（2024·河南郑州·三模）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为 ； ②面积的最大值为 ； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． 若，则线段长为 ． 35．（2024·山西太原·模拟预测）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿波罗尼斯圆 如图所示，点是平面上一动点，，是两定点．我发现只要点在如图所示的圆上运动，就始终有（为一定值）．我进一步查阅资料，得知这个圆被称之为阿波罗尼斯圆． 若，点是线段的内分点（点在线段上，且），点是线段的外分点（点在线段的延长线上，且），点是线段的中点，是的邻补角，则点就在以线段为直径的圆上，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆． 为什么点在圆上呢？基本的证明思路是先连接和，然后证明平分以及平分，如下所示． 证明：连接，，过点作交的延长线于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴，（依据） ，（依据） ∴，即证平分． …… ∵平分，平分， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∵点是线段的中点， ∴．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 即证点在以线段为直径的圆上． 任务： (1)材料中的依据1是指______，依据2是指______． (2)补全材料中证明平分的过程． (3)如图，点是平面上一动点，、是两定点，，，请作出点所在的圆．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 36．（2024·江苏淮安·三模）小明同学在学习过《对称图形-圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成． 问题背景：已知点 是四边形中边上一点． (1)请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点，不写作法，但需保留作图痕迹．． 问题1．如图1，，； 问题2．如图2，，； 问题3．如图3，，． (2)在问题3的基础上，若，，，则 ． 37．（2024·安徽六安·三模）如图，的顶点坐标分别为：，，． (1)的外接圆圆心M的坐标为 ． (2)以点M为位似中心，画出，使它与位似，且位似比为． 38．（2024·黑龙江绥化·三模）如图，点，，分别在的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，与相切于点经过圆心，为半径，连接，且，垂足为． (1)求证：； (2)若求的长． 40．（2024·湖北黄石·三模） 如图，为的外接圆，经过点B作直线，连接使，直径的延长线交直线于点E． (1)求证：为的切线； (2)若点C是弧的中点，，求的长． 41．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接． (1)求证：为的切线 (2)求证：； (3)若，，则直接写出_______． 42．（2024·江苏扬州·三模）如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若平分，，，求的长． 43．（2024·上海·模拟预测）如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，．    (1)求平行四边形的边的长； (2)延长线段交于点，求点到的距离． 44．（2024·河北邯郸·三模）如图，以点为圆心，为半径作优弧，使点在点右下方，且，，在优弧上任取一点，过点作直线的垂线，交直线于点，连接．    (1)若优弧上一段的长为，求的度数及的值； (2)①点有可能落在圆上吗？请判断并说明理由； ②当点在上方时，求的最大值，并指出此时直线与所在圆的位置关系． 45．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P． (1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）； (2)若正方形的边长为4，求长． 46．（2024·山东东营·三模）如图，等腰中，以为直径的与的延长线分别交于点，垂直于． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 47．（2024·江苏徐州·三模）已知，在平面直角坐标系中，点，以为圆心，为半径的半圆与轴的另一个交点是，一次函数（为实数）的图象为直线，分别交轴，轴于，两点，    (1)点坐标是_______（用含的代数式表示），____________ (2)若点是直线与半圆的一个公共点（两个公共点时，为右侧一点），过点 作的切线交轴于点，如图． ①是否存在这样的的值，使得是直角三角形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②过点作于点，当 时，求线段的长度以及此时的值． 48．（2024·山东潍坊·三模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 49．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1和图2，中，，，，点D在射线上，过点B的切于点D，交直线于另一点E，连接，设．    (1)如图1，当圆心O在边上时，求的大小以及的长度； (2)如图2，当D在线段延长线上，且时，求x的值； (3)当点D不与点B重合时： ①求圆心O到直线的距离h（用含x的式子表示）； ②当时，直接写出x的值． 50．（2024·山东日照·三模）探究与推理 如图1，在矩形中，，，连接，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连接交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有t的式子表示． (2)当t为何值时，点E恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 51．（2024·陕西榆林·三模）问题提出 （1）如图①，在矩形中，，，是矩形内部一点，连接、、，若，求的最小值； 问题解决 （2）如图②是海边沙滩排球赛的比赛场地一角，是临海沙滩边缘，已知，，．工作人员计划在沙滩上用隔离带、、 圈出比赛场地，在右侧，是的中点，长为，，为节省材料，隔离带需尽可能短，举办方赛前准备了长的隔离带，请你判断隔离带是否够用？并说明理由．（，） 52．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）内接于半径为的，且． (1)如图，求证：； (2)如图，在弧上，，交延长线于，求证：； (3)如图，在（）的条件下，延长交延长线于，若，，求的长． 圆 命题点1 圆 试卷第18页，共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆-（解析版） 圆 1．（2024·河北邯郸·三模）如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的内切圆的定义与性质、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、三角形内角和定理等知识，由点是的内心，得，，则，而，所以，求得，则，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：点是的内心，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：C． 2．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【详解】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 3．（2024·河南周口·三模）如图，四边形内接于圆O，连接，图中与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即得出与相等的角是，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故选：A． 4．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 5．（2024·河南南阳·三模）如图，A，B，C为上的三个点．，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，求得，再利用题中信息得到，即可解答，熟练运用圆周角定理进行角度转换是解题的关键． 【详解】解：由题意， ， ， ， 故选：B． 6．（2024·陕西咸阳·三模）如图，四边形内接于，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，多边形内角和，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理和圆周角定理解答即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故选：A． 7．（2024·浙江嘉兴·三模）已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：B． 8．（2024·辽宁大连·三模）下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据平行线公理，余角的性质，圆的基本概念，逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ②同角的余角相等，原命题是真命题； ③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； ④只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧，原命题是假命题； ∴真命题有1个， 故选：A． 9．（2024·山西阳泉·三模）荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故选：B 10．（2024·四川绵阳·三模）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（    ）      A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆的圆周角定理，相似三角形的判定及性质，证明是解此题的关键．证明，得到，根据，，求出，即可求出． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 11．（2024·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质与判定是解题的关键．连接，先判定是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾股定理、直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积． 【详解】解：如图，连接， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为中点， ∴， ∴， 故选：D． 12．（2024·安徽安庆·三模）如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：作直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选A. 13．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理，延长交于点E，连接，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接，    则， 又∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径， 故选A． 14．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，过点C作的切线，切点为E，作于点D，连结，下列结论正确的是（    ） A．B是中点 B． C． D．平分 【答案】D 【分析】证明是等腰三角形，可判断A；运用反证法可证明可判断B；无法证明和相似，故可判断C；证明即可判断D． 【详解】解：连接如图， ∴ ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ，不一定等于， ∴不一定成立，即点不一定是中点，故选项A错误，不符合题意； 假设，则有 ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 而 ∴，故选项B错误，不符合题意； 在和中， 是直角三角形，是钝角三角形， 故和不相似，则， ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴平分，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质相似三角形的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，有圆周角定理得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，证明是等边三角形，得出，最后再由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．（2024·吉林长春·三模）如图，两条直线相交于点O，所夹锐角为，以点O为图心，任意长为半径作图，与两条直线分别交于点A、B、C、D，下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题意可得，逐一判断即可，正确运用相关的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且为圆的直径， ，故B正确； ，故C正确； ， ， ， 为直角三角形的斜边， ，故A错误； ， ，故D正确， 故选：A． 17．（2024·山西阳泉·三模）如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握相关定理是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，根据是的切线得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， ， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：D． 18．（2024·湖南长沙·三模）如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂径定理，可知的长度，根据圆周角定理，可以知道的度数，从而推出，再利用求得半径． 【详解】是的直径，弦，垂足为点E， 则的半径为4． 故选：B． 19．（2024·江苏泰州·三模）如图，是半圆O的直径，点 C（不与点 O 重合）在上．过点 C 作 交半圆O 于点 D，连接，，．过点 C 作 于点 E．设，，则图中长度一定等于的线段是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定和性质．利用圆周角定理证明，得到，进而得到，，再证明，利用相似三角形性质即可解题． 【详解】解：是半圆O的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 20．（2024·四川南充·三模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】A 【分析】连接，过点作轴于点，延长交于点，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得为等腰直角三角形，四边形为正方形，四边形为矩形，求出点的坐标即可． 【详解】解：连接，过点作轴于点，延长交于点， 则：， ∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点， ∴轴，轴， ∴轴， ∴， ∴四边形为正方形； ∵， ∴， ∴，； ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵C为优弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查求反比例函数的值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形．本题的综合性较强，难度较大． 21．（2024·吉林长春·三模）如图，四边形内接于，为对角线，经过圆心．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2024·河南周口·三模）如图，在 中， ，半径为2的圆O与的各边均相切，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，三角形内切圆的相关知识，设圆O与切于点E，连接，由已知条件可知平分，平分，求出，根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：设圆O与切于点E，连接，    ∵半径为2的圆O与的各边均相切， ∴平分，平分， 则 ∴阴影部分的面积为 故答案为：． 23．（2024·辽宁大连·三模）一个圆锥的底面直径为4，侧面表面积为，则母线长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥侧面积，熟练掌握侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥底面圆的直径可得半径，然后根据侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为4， ∴圆锥的底面半径为2， ∵侧面表面积为， 设母线长为l ∴， 解得． ∴母线长为4． 故答案为：4． 24．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧长，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．由图可知：图案的面积半圆的面积的面积扇形的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积． 【详解】解：在中，，， ， ，，； 所以阴影面积， 故答案为：2． 25．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握圆周角的相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，易知，进而可得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 26．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 27．（2024·陕西榆林·三模）如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是 （用表示）    【答案】 【分析】本题考查扇形的面积计算，正六边形的性质以及解直角三角形的应用，设正六边形的中心为点O，连接，，过点O作，先求出一块墙体的面积，再乘以5即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点O，连接，，过点O作，    ∵该多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴打掉的墙体面积为， 故答案为： 28．（2024·山东济南·三模）如图，图是等边三角形铁丝框，按图方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），若所得扇形的面积是，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式列方程求得的边长，进而利用解直角三角形求得高即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： ， ∴（负值舍去）， 设的上的高为， 则,即， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，解直角三角形，等边三角形的性质，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 29．（2024·广东清远·三模）如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．    【答案】/70度 【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据题意得出，再由多边形内角和得出，最后利用圆周角定理即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 30．（2024·广东清远·三模）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，由折叠可知， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵的长为， ∴阴影部分的周长为：． 31．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：∵是正五边形， ∴， 设底面圆的半径为r，则 ， 解得， 故答案为：． 32．（2024·江苏盐城·三模）如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且，则即，从而把转化为，过点C作于点H，结合，设，则，得到，继而得到，即，把的最大值转化为的最大值，根据圆的性质解答即可． 【详解】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且， 则即， ∴， 过点C作于点H， ∵，设，则， ∴， ∴， 即， ∵直径是圆中最大的弦， ∴经过圆心O时，的值是最大的， ∵直线与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，直径是圆中最大的弦，解直角三角形的应用计算，切线性质，熟练掌握直径是圆中最大的弦，解直角三角形的应用计算，切线性质是解题的关键． 33．（2024·江西景德镇·三模）如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ． 【答案】2或或4 【分析】判断得出点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，而是定长， ∴点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，当点在边上时，如图， ∵， ∴于点E， ∴； 当点F在边上时，有两种情况， 当E、F在如图的的位置时，作， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 当E、F在如图的的位置时（与A重合）， ∴； 若F在边上时，此时对应的E点不在上，此情况不存在， 综上，的长为1或或4． 故答案为：2或或4． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 34．（2024·河南郑州·三模）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为 ； ②面积的最大值为 ； (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． 若，则线段长为 ． 【答案】(1)① 2；② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①设为圆心，连接，，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径； ②过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长，交圆于点，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）根据，和推出点在的平分线上，从而找到点的位置，过点作，垂足为，解直角三角形即可求出． 【详解】（1）①设为圆心，连接，， ， ，又， 是等边三角形， ，即半径为； ②以为底边，， 当点到的距离最大时，的面积最大， 如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， ，， ， ， 的最大面积为； （2）如图，延长，交圆于点，连接， 点在圆上， ， ， ， ，即； （3），， ∴， ∵， 中边上的高等于中边上的高， 即点到的距离和点到的距离相等，即点在的平分线上，如图， 过点作，垂足为， 平分， ， 为等腰直角三角形，又， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹． 35．（2024·山西太原·模拟预测）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿波罗尼斯圆 如图所示，点是平面上一动点，，是两定点．我发现只要点在如图所示的圆上运动，就始终有（为一定值）．我进一步查阅资料，得知这个圆被称之为阿波罗尼斯圆． 若，点是线段的内分点（点在线段上，且），点是线段的外分点（点在线段的延长线上，且），点是线段的中点，是的邻补角，则点就在以线段为直径的圆上，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆． 为什么点在圆上呢？基本的证明思路是先连接和，然后证明平分以及平分，如下所示． 证明：连接，，过点作交的延长线于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴，（依据） ，（依据） ∴，即证平分． …… ∵平分，平分， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∵点是线段的中点， ∴．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 即证点在以线段为直径的圆上． 任务： (1)材料中的依据1是指______，依据2是指______． (2)补全材料中证明平分的过程． (3)如图，点是平面上一动点，、是两定点，，，请作出点所在的圆．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质即可得解； （2）由平行线分线段成比例得．从而证明，．进而利用平行线的性质及角平分线的定义即可得证． （3）分别作和的外角平分线交直线于点、，再作线段的中点，以为圆心，的长为半径作圆即可． 【详解】（1）解：连接，，过点作交的延长线于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ，（两直线平行，内错角相等） ∴，即证平分． 故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； （2）证明：连接，，过点作交的延长线于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ，（两直线平行，内错角相等） ∴，即证平分． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ，（两直线平行，内错角相等） ∴，即证平分． ∵平分，平分， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∵点是线段的中点， ∴．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 即证点在以线段为直径的圆上． （3）解：如图，即为所求， 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线、作垂线，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理、平行线的性质以是解题的关键． 36．（2024·江苏淮安·三模）小明同学在学习过《对称图形-圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成． 问题背景：已知点 是四边形中边上一点． (1)请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点，不写作法，但需保留作图痕迹．． 问题1．如图1，，； 问题2．如图2，，； 问题3．如图3，，． (2)在问题3的基础上，若，，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）问题1，作点关于直线的对称点，连接交于，连接，于是得到； 问题2作的垂直平分线交于，以点为圆心，为半径作圆，交于点，于是得到； 问题3以为斜边，作等腰，以为半径作圆，与的交点即为所求作的点． （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】（1）问题1．如图1，点即为所求． 问题2．如图2，点即为所求． 问题3．如图3，点即为所求． （2）∵ ∴ ∵，， ∴ 解得：或 故答案为：，． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 37．（2024·安徽六安·三模）如图，的顶点坐标分别为：，，． (1)的外接圆圆心M的坐标为 ． (2)以点M为位似中心，画出，使它与位似，且位似比为． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形的外心，以及位似图形的作图，理解三角形外心的定义以及作位似图形的方法是解题关键． （1）根据三角形的外接圆圆心是三边中垂线的交点，则可画出三边中垂线交于M点，得出坐标即可； （2）①连接并反向延长至，使得，同理构造和，顺次连接、、，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，分别作三边的中垂线，交于M点，坐标为； （2）①如图，连接并反向延长至，使得， 同理构造出、，顺次连接、、，则即为所求 38．（2024·黑龙江绥化·三模）如图，点，，分别在的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的综合运用，涉及圆的相关性质，切线的判定，并结合相似与三角函数，熟练掌握圆的性质、相似和三角函数是解题关键． （1）连接交于点，证即可； （2）连接，利用判定； （3）分别求得，，最后利用，得求解． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 39．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，与相切于点经过圆心，为半径，连接，且，垂足为． (1)求证：； (2)若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质，正切的意义； （1）连接，根据切线的性质可得，根据已知可得，根据半径相等可得，等量代换即可得证； （2）设与交于点，连接，连接，根据题可得，证明，得出，设，则，，则，先求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点经过圆心，为半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴； （2）解：如图所示，设与交于点，连接，连接， ∵为直径 ∴ ∵ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵是直径， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴，则， 即 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ 40．（2024·湖北黄石·三模） 如图，为的外接圆，经过点B作直线，连接使，直径的延长线交直线于点E． (1)求证：为的切线； (2)若点C是弧的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得出，得出，根据等腰三角形性质得出，根据，得出，求出，证明，即可证明结论； （2）设交于点F，连接，根据垂径定理的推论得出，，根据设，则，，根据勾股定理得出，根据勾股定理得出，求出，得出，，，，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：设交于点F，连接，如图所示： ∵点C是的中点， ∴，， ∵， ∴ 设，则，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，垂径定理的推论，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 41．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接． (1)求证：为的切线 (2)求证：； (3)若，，则直接写出_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图：连接，可知进而证得，再根据圆周角定理可得，可推出，从而证得结论； （2）如图连接，利用圆周角定理即可证明； （3）由已知易证，于是；再结合已知条件可得，再根勾股定理列方程求得， ；由，然后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）证明：如图：连接， ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ， ∵； ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，能够灵活运用相关知识是解题的关键． 42．（2024·江苏扬州·三模）如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，由是的直径，，得，则，所以，则，推导出，即可证明是的切线； （2）由，得，求得，则，由，且，，证明，则，而，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 是的直径，， ， ， 点为的中点， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 43．（2024·上海·模拟预测）如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，．    (1)求平行四边形的边的长； (2)延长线段交于点，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，连接，由题意知，，由，可得，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）如图2，连接，作于，则为点到的距离，证明，则，即，可求，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，             图1 由题意知，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为； （2）解：如图2，连接，作于，则为点到的距离，          图2 ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点到的距离为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 44．（2024·河北邯郸·三模）如图，以点为圆心，为半径作优弧，使点在点右下方，且，，在优弧上任取一点，过点作直线的垂线，交直线于点，连接．    (1)若优弧上一段的长为，求的度数及的值； (2)①点有可能落在圆上吗？请判断并说明理由； ②当点在上方时，求的最大值，并指出此时直线与所在圆的位置关系． 【答案】(1)，； (2)可能落在圆上，理由见解析；的最大值，直线与所在圆相切． 【分析】（）设，根据，解得：，则，解直角三角形即可求解； （）当垂直平分时，根据垂直平分线的性质得出即可； 根据切线的性质得到，解直角三角形即可求解； 本题考查了切线的判定与性质，垂直平分线的性质，弧长计算公式，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，设，交于点，    ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）可能落在圆上，理由： 如图， 当垂直平分时， ∴， ∴点在圆上； 如图，当点位于直线与圆的交点处时最大，    ∴， ∵，是圆半径， ∴此时直线与所在圆相切， 在中，． 45．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P． (1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）； (2)若正方形的边长为4，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，即为弦的中点，利用正方形性质、平行线性质、垂径定理即可证明为弦的中点； （2）连接，，利用平行线分线段成比例得到，设，利用勾股定理表示出，，，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作交于点， 即为弦的中点， 证明如下： 四边形为正方形， ， ， ，即， ， 即为弦的中点； （2）解：连接，， 正方形的边长为4， ，， 与相切于点P． ， ， ， ， ， 设， 则，，， 为的直径， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了正方形性质、平行线性质、垂径定理、平行线分线段成比例、勾股定理、圆周角定理，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题的关键． 46．（2024·山东东营·三模）如图，等腰中，以为直径的与的延长线分别交于点，垂直于． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线； （2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴，， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 47．（2024·江苏徐州·三模）已知，在平面直角坐标系中，点，以为圆心，为半径的半圆与轴的另一个交点是，一次函数（为实数）的图象为直线，分别交轴，轴于，两点，    (1)点坐标是_______（用含的代数式表示），____________ (2)若点是直线与半圆的一个公共点（两个公共点时，为右侧一点），过点 作的切线交轴于点，如图． ①是否存在这样的的值，使得是直角三角形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②过点作于点，当 时，求线段的长度以及此时的值． 【答案】(1)， (2)①存在，或；②， 【分析】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识； （1）首先求出直线与轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出的度数； （2）①分别利用和，结合切线的性质得出的值； ②首先求出：：，再得出，再利用相似三角形的性质，进而得出的值． 【详解】（1）解：当，则， 解得： 故点坐标是， 一次函数与轴交于点（，）， ， ； 故答案为：，； （2）①如图1，    假设存在这样的的值，使得是直角三角形．连接 若， 是的切线， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 若， 是的切线， ， 点、、三点共线，即点与点重合， ， 综上可知，或； ②如图②，连接，过点作，于，过点作，于，    则， ， ，，， ：：， ：：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴． 48．（2024·山东潍坊·三模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由得，进而得，又由得，即可由得到，据此即可求证； （）由得，即可得，得到，进而得，，，连接，证明，得到，据此即可求解； 此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1和图2，中，，，，点D在射线上，过点B的切于点D，交直线于另一点E，连接，设．    (1)如图1，当圆心O在边上时，求的大小以及的长度； (2)如图2，当D在线段延长线上，且时，求x的值； (3)当点D不与点B重合时： ①求圆心O到直线的距离h（用含x的式子表示）； ②当时，直接写出x的值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；② 【分析】（1）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得是等边三角形，证得，求得，然后解直角三角形即可求得的长度； （2）作于点，利用切线的性质结合垂径定理求得，再利用三角函数的定义即可求解； （3）①分当D在线段延长线上和D在线段上时，两种情况讨论，同（2）求得，利用正切函数的定义即可求解； ②由，得，推出，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：连接，    ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接，，作于点，    ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：①当D在线段延长线上时，由（2）得， ∴， ∵，，，，， ∴， ∵圆心O到直线的距离h， ∴， ∴， ∴； 当D在线段上时，    同理， ∴， ∵，，，，， ∴， ∵圆心O到直线的距离h， ∴， ∴， ∴； 综上，圆心O到直线的距离或； ②∵， ∴，      由（2）得， ∴， ∴， ∵，，，，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等角的余角相等，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 50．（2024·山东日照·三模）探究与推理 如图1，在矩形中，，，连接，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连接交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有t的式子表示． (2)当t为何值时，点E恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或，理由见解析 【分析】本题属于圆综合题，主要考查了解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识是解题的关键． （1）根据矩形和折叠的性质以及勾股定理，可求出，再由，可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得垂直平分，从而得到，再由，即可求解； （3）连接，先求出，，然后分两种情况：当与边相切于时，当与边相切于时，即可求解． 【详解】（1）依题可知，由折叠可知． 在矩形中，，，， ， ， 又， ， ． ， （2）由折叠可知垂直平分， ， ， 点恰好落在线段上， ， ， ； （3）当或时，与矩形的边相切，理由如下： 连接， 依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为， ， 在矩形中，， 又，，， ， ，， ①当与边相切于时，如图①所示， 连接， ， 又， 、、三点共线， 过作于， 四边形为矩形， ， ， 解得； ②当与边相切于时，如图②所示． 连接，并延长交于， ，， 四边形为矩形， ，， 又，， 四边形为矩形， ， ， 解得； 综上所述，或． 51．（2024·陕西榆林·三模）问题提出 （1）如图①，在矩形中，，，是矩形内部一点，连接、、，若，求的最小值； 问题解决 （2）如图②是海边沙滩排球赛的比赛场地一角，是临海沙滩边缘，已知，，．工作人员计划在沙滩上用隔离带、、 圈出比赛场地，在右侧，是的中点，长为，，为节省材料，隔离带需尽可能短，举办方赛前准备了长的隔离带，请你判断隔离带是否够用？并说明理由．（，） 【答案】（1）；（2）够用，理由见解析 【分析】（1）以为直径作圆，圆心为，连接交于点，则，根据得点在矩形内部的半圆上运动，据此得当点与点重合时，为最小，最小值为的长，最后根据勾股定理求出的即可； （2）连接，作交于，先证明和，作出所在的，任取优弧上任取一点，连接，，将点水平向左平移得到点，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接，将点往右平移得到点，连接，作交于点，作交的延长线于点，根据圆的内接四边形对角互补，可以知道，从而推出，结合勾股定理，算得的长度，分别证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在利用勾股定理求得和的长度，结合和关于对称，，当与重合，、、三点共线，取最小值，此时，，最后在中利用勾股定理求得，从而求得的长度，得到的最小值，最后与350米进行比较即可． 【详解】（1）以为直径作圆，圆心为，连接交于点，如图所示： ，即 点在矩形内部的半圆上运动 那么当点与点重合时，为最小，最小值为的长 在中，， 的最小值为． （2）连接，作交于，如图 ， ， 又 又 ， 作出所在的，任取优弧上任取一点，连接，，将点水平向左平移得到点，作点关于的对称点，连接、，连接交于点，连接交于点，交于点，连接，将点往右平移得到点，连接，作交于点，作交的延长线于点，如图所示： ， 四边形是平行四边形 和关于对称 ，， 当与重合，、、三点共线，取最小值，此时， 当最小时，最小值为 是的中点， ， ， 四边形圆的内接四边形， ， 又， 四边形是矩形 ， ，， ， 四边形是平行四边形 ， ， 最小值为 ， 隔离带够用． 【点睛】本题考查了圆周角定理及推论，圆的内接四边形，勾股定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，解直角三角形，点的平移，熟练掌握以上知识点，画出合理的辅助线是解题的关键． 52．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）内接于半径为的，且． (1)如图，求证：； (2)如图，在弧上，，交延长线于，求证：； (3)如图，在（）的条件下，延长交延长线于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理，得出，，利用勾股定理证明即可； （2）连接、、，由（1）得，，根据等边对等角，三角形内角和定理，求出，利用证明，得出，推出，设，根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据垂径定理，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质，得出，推出，即可证明； （3）在（）的条件和证明过程下，在上取点，使得，过点作交延长线于点，过点作于点，推出，根据等角对等边，得出，利用证明，推出，结合，推出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，根据勾股定理计算，根据，计算，求出，根据，计算得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵内接于半径为的，且， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，连接、、， ∵由（1）得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵交延长线于， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在（）的条件和证明过程下，在上取点，使得，过点作交延长线于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵由（2）得，，， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、垂径定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键． 圆 命题点1 圆 试卷第2页，共13页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$