专题09 三角形-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题09 三角形-（原卷版） 全等三角形 1．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 2．（2024·河南周口·三模）如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（   ） A．4 B． C．8 D． 3．（2024·河南·三模）尺规作图，要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（     ） A．图--，图--，图--Ⅰ，图-- B．图--，图--，图--，图--Ⅰ C．图--，图--，图--，图--Ⅰ D．图--，图--Ⅰ，图--，图-- 4．（2024·辽宁大连·三模）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．具有对称性的图形是抛物线 B．对顶角相等； C．全等三角形的三组内角分别相等 D．与轴有两个交点的抛物线判别式一定等于0． 5．（2024·辽宁大连·三模）如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024·江苏徐州·三模）如图，在四边形中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，交于点O，．若点O是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 7．（11-12七年级下·浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 8．（2024·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，，平分，点E在边上且，连接，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接，则下列结论：①；②；③若，，则；④；⑤图中相似三角形只有6对．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②③④⑤ 10．（2024·安徽六安·三模）如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角， 分别交 、于 点 、， 为线段上一动点，为线段上一动点，且， 以下个结论：①；②；③；④当的值最小时， ． 正确的个数为(      ) A．4个 B．3   个 C．2 个 D．1   个 11．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 12．（2024·山东日照·三模）如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为．若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2024·辽宁大连·三模）如图，已知在梯形中，，，为等腰直角三角形，落在上，若，则的长为 ．    14．（2024·河南南阳·三模）如图，在矩形中，，连接，，点E是上一点，，点M是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为 15．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ． 16．（2024·上海浦东新·三模）如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 17．（2024·陕西榆林·三模）如图，已知为等边外一点，且位于所在直线异侧，连接，，，若，，当最大时，的长为 ． 18．（2024·浙江温州·三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，．（1）四边形的面积为 ；（2）连结，则的值为 ． 19．（2024·湖北黄石·三模）如图，在四边形中，，，对角线于点O， (1)求证： (2)求证：四边形是菱形； 20．（2024·云南·二模）如图，为线段上一点，，，．求证：． 21．（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    22．（2024·浙江温州·三模）如图，已知圆内接，点D为圆上一点且，连接交于点E． (1)求证：； (2)设，． ①求证：； ②若，求的值．（用含m、k的代数式表示） 23．（2024·山东济南·三模）如图，菱形中，F是上一动点，过F作交于点G，垂足为E，连结，．求证：． 24．（2024·湖南娄底·三模）综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 相似三角形 25．（2024·广东深圳·三模）下列命题中，真命题有（    ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点C是AB的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④方程没有实数解． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．（2024·广西·三模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．50 27．（2024·四川绵阳·三模）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（    ）      A．4 B． C． D． 28．（2024·陕西榆林·三模）如图，在中，平分，过点作交于点，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 29．（2024·辽宁鞍山·三模）在中，D、E在边上， ，满足关系式，则下列关系中错误的是（　　） A． B． C． D． 30．（2024·河北邯郸·三模）如图，以的三边为边分别向外作正方形、连结交于点，作交于点，连结交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，△ABC中，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F、G为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D，分别以点B、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 32．（2024·江苏盐城·三模）如图，在梯形中，，，，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接．则的最小值为 ． 33．（2024·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 34．（2024·湖南娄底·三模）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 35．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    36．（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为 ． 37．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    38．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形中，点E、G分别为边、上一点，连接、．若，， ，则的长    39．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为 ． 40．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    41．（2024·广东清远·三模）若，则 ． 42．（2024·广东深圳·三模）（1）【问题发现】如图，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，连接． ①线段与的数量关系为__________；②直线与所夹锐角的度数为__________； （2）【类比探究】如图，将矩形绕点逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说理． （3）【知识迁移】如图，当矩形的边时，点为线段上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长__________． （4）【拓展应用】如图，在矩形中，，，点时直线上一动点，连接、，直接写出的取值范围__________．（用含有、的代数式表示，可以不化简） 三角形 命题点1 全等三角形 命题点2 相似三角形 试卷第4页，共13页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角形-（解析版） 全等三角形 1．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得是的角平分线，，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由题可知，是的角平分线， 点P到和的距离相等， ，， ， 点D到的距离为的长，即点D到的距离为3， ∴点D到的距离为3． 故选：C． 2．（2024·河南周口·三模）如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、函数图象的动点问题，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象得出，结合当时，；得出然后运用锐角三角函数得出，继而求出、，最后根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵设的垂直平分线分别交，于点M和N， 连接，如图： 当，且 ∴当时， ∴， ∵当时，； ∴则点P先从点C运动到点N，接着又从点N运动到点M， 则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴的面积为 故选：A． 3．（2024·河南·三模）尺规作图，要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（     ） A．图--，图--，图--Ⅰ，图-- B．图--，图--，图--，图--Ⅰ C．图--，图--，图--，图--Ⅰ D．图--，图--Ⅰ，图--，图-- 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案． 【详解】解：图是作角平分线，对应Ⅳ 图2是过直线外一点作这条直线的垂线，对应Ⅰ， 图3是作线段的垂直平分线，对应Ⅱ， 图4是过直线上一点作这条直线的垂线，对应Ⅲ， 故选：D． 4．（2024·辽宁大连·三模）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．具有对称性的图形是抛物线 B．对顶角相等； C．全等三角形的三组内角分别相等 D．与轴有两个交点的抛物线判别式一定等于0． 【答案】A 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假，先写出逆命题，再根据抛物线的性质、对顶角、全等三角形逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题：抛物线是具有对称性的图形，该命题是真命题，符合题意； B、逆命题：相等的角是对顶角，该命题是假命题，不符合题意； C、逆命题：三组内角分别相等的三角形是全等三角形，该命题是假命题，不符合题意； D、判别式等于0的抛物线一定与轴有两个交点，该命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 5．（2024·辽宁大连·三模）如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∵， ∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5． ∴的最大值是5． 故选：B． 6．（2024·江苏徐州·三模）如图，在四边形中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，交于点O，．若点O是的中点，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出．再根据证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，    由题可得，点和点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图，平行线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定垂直平分是解决问题的关键． 7．（11-12七年级下·浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图，    三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 8．（2024·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，，平分，点E在边上且，连接，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据得，证明和全等得，，设，则，再证明得，然后根据得，得，再根据，得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 即， ，得：， ∴． 故选：B． 9．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接，则下列结论：①；②；③若，，则；④；⑤图中相似三角形只有6对．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】延长和交点H，利用可证得，则有和，结合中点可得，根据等腰三角形的性质得，可证得，则①正确；由垂直得，则有，则②正确；证得，有，利用勾股定理求得，可得，即可判断③正确；根据，有，结合和，即可判定④正确；利用，，可得到，即可判定⑤正确． 【详解】解：延长和交点H，如图， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵E是矩形的边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则点D为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵E是矩形的边的中点， ∴ ∴，解得，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴图中相似三角形只有6对，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线和熟练掌握相似三角形的性质． 10．（2024·安徽六安·三模）如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角， 分别交 、于 点 、， 为线段上一动点，为线段上一动点，且， 以下个结论：①；②；③；④当的值最小时， ． 正确的个数为(      ) A．4个 B．3   个 C．2 个 D．1   个 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等要直角三角形的性质，全等三角形的判定，线段的最值问题，根据等边与等腰直角中，可得，，则，得①正确；在中证明，得到②正确；在上取，连接证明进而得是等边三角形，从而证明③正确；过作，使，连接，证明可得，求最小就是求最小，此时根据证明是等腰三角形，结合已知及作图可得，即可证明，则④正确． 【详解】解：在等边与等腰直角中， ，，，， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 如图：在上取，连接， 又，， ， ， 在中，， 是等边三角形， ， ，故③正确； 过作，使，连接， 在与中， ， ， ， ， 当最小时即最小， 延长至使，则与关于对称，连接交于， 连接则点为最小值的位置， 此时最小， 即最小， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，故④正确， ①②③④都正确， 故选：A． 11．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的．作添加恰当辅助线构造全等三角是解题关键．在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接，可证四边形是正方形，可得，，通过证明，，可得，，由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质求出． 【详解】解：在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接， 四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：D． 12．（2024·山东日照·三模）如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为．若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练运用相关知识，运用特殊值法与反证法是解决本题的关键．过点作于点，证明即可判断①；采用特殊值法判断②，若点是的中点，则，又，得到，从而，故②错误；过点作，交于点，交于点，证得，得到，，根据正方形的性质与得到，进而有，从而可证得，有，因此，故③正确；利用反证法证明④，假设成立，则，根据同角的余角相等推出，即，而是定值，随着点的变化而变化，故不成立，从而不成立，故④错误． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 在正方形中，， 四边形是矩形， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故①正确； 如图，若点是的中点，则， 设正方形的边长为，即， ， 在中，， 点是的中点， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， 在矩形中，， 在正方形中，， ， ， ，故②错误； 过点作，交于点，交于点， ，， 点是的中点， ， ， ，， 在正方形中，平分， ， ， ， ， ， ， 由①知，， ， ， ，即， 由①得，四边形是矩形， ， ， ，， ， ，， ， ， ，故③正确； 对于④，假设成立，则， ， ， ， ， ， 是定值，随着点的变化而变化， 不成立， 不成立．故④错误． 综上所述，结论正确的有2个． 故选：B 13．（2024·辽宁大连·三模）如图，已知在梯形中，，，为等腰直角三角形，落在上，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，作于，于，延长、交于点，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，得出，，，证明，得出，求出，再由等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，于，延长、交于点，    ∵，，，， ∴，， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 14．（2024·河南南阳·三模）如图，在矩形中，，连接，，点E是上一点，，点M是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为 【答案】6 【分析】先利用勾股定理计算出，则，再利用等腰直角三角形的性质得到，，，则根据圆周角定理可判断点A、P在以为直径的圆上，所以，，从而可判断平分，当于P点，利用垂线段最短得到的值最小，然后证明得到，从而得到． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴点A、P在以为直径的圆上， 连接， ∴，， ∴平分， 即点P的轨迹在的平分线上， 当于P点，此时的值最小， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了矩形的性质：矩形的四个角都是直角．也考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题的关键． 15．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义以及和性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等边三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等边三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等边三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等边三角形边的中点，， ∴，， ∴，即， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（2024·上海浦东新·三模）如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据点H在射线上，，有以下两种情况：①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，则，过点D作于M，证四边形为矩形得，证，推出，再证，由此可得的值；②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，同理可得的值． 【详解】解：∵点H在射线上，， ∴有以下两种情况： ①当点H在线段上时，过点A作交延长线于F，过点D作于M，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点H在的延长线上时，过点A作交延长线于F，如图2所示： 则， 同理可证：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 17．（2024·陕西榆林·三模）如图，已知为等边外一点，且位于所在直线异侧，连接，，，若，，当最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接，再证明，结合三角形三边的关系可得，当点E、D、B三点共线时取等号，问题随之得解． 【详解】以为边作等边，连接，如图， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，当点E、D、B三点共线时取等号， ∵，，， ∴， ∴的最大值为5， 如图，点E、D、B三点共线，过点A作于点F， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴，， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系等知识，作出合理的辅助线，构造是解答本题的关键． 18．（2024·浙江温州·三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，．（1）四边形的面积为 ；（2）连结，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理以及锐角三角形函数，首先证明，求出正方形的边长，得出再求出正方形的边长为6，根据求出，由梯形面积公式可得四边形的面积；连接，延长，过点作交的延长线于点，证明求出，求出从而可得结论 【详解】解：根据题意知，四边形是正方形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又， ∴， ∴四边形的面积为； 连接，延长，过点作交的延长线于点， 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， ∵，且， ∴ ∴ 故答案为： 19．（2024·湖北黄石·三模）如图，在四边形中，，，对角线于点O， (1)求证： (2)求证：四边形是菱形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质 （1）根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）证明： 四边形为平行四边形 ∴四边形为菱形 20．（2024·云南·二模）如图，为线段上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，根据得到，结合，，即可得到即可得到证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 22．（2024·浙江温州·三模）如图，已知圆内接，点D为圆上一点且，连接交于点E． (1)求证：； (2)设，． ①求证：； ②若，求的值．（用含m、k的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析   ② 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，，然后利用三角形的外角即可解题； （2）①过点作于点，过点作于点，证明，即可得到，然后根据即可得到结论； ②先证明，得到，即可求出，然后证明，即可得到解题即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴； （2）①证明：过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴． 23．（2024·山东济南·三模）如图，菱形中，F是上一动点，过F作交于点G，垂足为E，连结，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，，全等三角形的性质，垂直平分线的性质， 根据菱形的性质可得，进而结合已知条件证明得出则是的垂直平分线，进而即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴是的垂直平分线， ∴． 24．（2024·湖南娄底·三模）综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）证明见解析  （2）    （3）或 【分析】（1）利用正方形性质和垂线的定义证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）根据题意证明点，点E，点B，点F四点共圆，利用圆周角定理得到，进而得到，再证明，利用相似三角形性质即可得到的值； （3）由（2）知，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，根据E为直线上的动点，当是直角三角形，分以下情况讨论，当在线段上时，当或时，点不存在，当在延长线上时，设，则，结合勾股定理建立方程求解，即可解题； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； （2）解：，， ， 点，点E，点B，点F四点共圆， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）知：， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 由（2）知， ， ， 又是直角三角形， ， ， 当在线段上时， 设，则， ，， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点不存在， 当在延长线上时，设，则， ，， ， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形性质和判定，四点共圆，圆周角定理，相似三角形性质和判定，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 相似三角形 25．（2024·广东深圳·三模）下列命题中，真命题有（    ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点C是AB的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④方程没有实数解． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．角可以是等腰三角形的顶角或底角，可判断①是假命题；由黄金分割相关概念可判断②是真命题；根据三角形中位线定理及菱形的性质可判断③是假命题；求出，可判断④是真命题；从而可得答案． 【详解】解：角可以是等腰三角形的顶角或底角， 两个含角的等腰三角形不一定相似，故①是假命题； 线段，点是的黄金分割点， ，故②是真命题； 顺次连接一个四边形各边中点得到一个菱形，则这个四边形的对角线一定相等；故③是假命题； 方程的判别式， 方程没有实数解，故④是真命题； 正确的有2个； 故选：C． 26．（2024·广西·三模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则，再根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， ∵周长为8， ∴的周长为20． 故选C． 27．（2024·四川绵阳·三模）如图，A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，，，则的长为（    ）      A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆的圆周角定理，相似三角形的判定及性质，证明是解此题的关键．证明，得到，根据，，求出，即可求出． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 28．（2024·陕西榆林·三模）如图，在中，平分，过点作交于点，若，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了相似的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线判定相似是解题的关键．先利用角平分线和平行模型判定，再判定，利用对应边比相等计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 29．（2024·辽宁鞍山·三模）在中，D、E在边上， ，满足关系式，则下列关系中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，成比例的性质等，根据，可得，进而设，，通过分式运算可证选项C，D正确，再证，可证选项A正确． 【详解】解：，满足关系式， ， 设，， ，， 故选项C，D正确； ， ， 又， ， ， ， 故选项A正确； 故选项B错误， 故选B． 30．（2024·河北邯郸·三模）如图，以的三边为边分别向外作正方形、连结交于点，作交于点，连结交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，与的延长线交于点，利用正方形的性质得到，设，则，则利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论． 【详解】解：延长，与的延长线交于点，如图， 若，四边形与四边形为正方形， ， 设，则， ． 四边形为正方形， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ，． ， ，， ，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质勾股定理，平行线的性质，通过构造恰当的辅助线得到型图，从而利用相似三角形的判定与性质解答是解题的关键． 31．（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，△ABC中，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F、G为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D，分别以点B、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】A 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，C正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，B正确；根据三角形三边的关系得到，则，A错误；易证，得到，设，则，代入即可求得，D正确． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故C结论正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵，， ∴，即，故A结论错误，符合题意； ∵，， ∴， ∴， 即， 设，则， ∴， 解得（舍去），， ∴，故D结论正确，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 32．（2024·江苏盐城·三模）如图，在梯形中，，，，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】构造等腰直角三角形，即可证明，得到，，再证明，得到，，求出，最后根据得到的最小值． 【详解】连接，过作，取，连接，，过作于N，如图； ∵，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值，且最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的性质，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．（2024·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进行讨论． 【详解】解：与的位似比是， 当点在第三象限时，， 当点在第一象限时，， 故点的坐标为或， 故选：C． 34．（2024·湖南娄底·三模）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 35．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平分的面积，得到点D是的中点，结合，得到从而得到，继而得到是的中位线，得到，故的最小值取决于的最小值，根据抛物线，得到的最小值为，解答即可． 【详解】解：∵平分的面积， ∴点D是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故的最小值取决于的最小值， ∵抛物线， ∴的最小值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，二次函数的最值，熟练掌握三角形中位线定理，二次函数的最值是解题的关键． 36．（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质．由相似三角形的性质得出，进而求出，设，则，由二次函数的性质可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设， 时，的最大值为． 故答案为：． 37．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，正方形的性质．过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，利用相似三角形的性质求得，求最大值，即求的最大值，点在上，当的延长线经过点时，有最大值，据此计算即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，      ∵， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴求最大值，即求的最大值， ∵，， ∴， ∴点在上， 当的延长线经过点时，有最大值， ∵，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形中，点E、G分别为边、上一点，连接、．若，， ，则的长    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、相交于F，先根据求得，，从而求得，再证明，，得到，即可求得，，然后证明，得到，即可求得，，即可由求解． 【详解】解：延长、相交于F，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 39．（2024·广东深圳·三模）如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作 于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，， 平分， ， ， 四边形是正方形， 设，则， ， ， ，即， 解得：， ， 由勾股定理得：， 故答案为：． 40．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究： （1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【分析】（1）连接，根据为的中点，可得，，则，根据，，易得四点在同一个圆上，根据圆周角定理，则有； （2）过点分别作于点，作于点 ，易证，可得 ，即 ，根据，有， ，即；根据，得到 ，即，可得，即有 ，即． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四点在同一个圆上， ∴；    （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ，    则有： ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴ 又∵， ∴，则有 ，即． ∵， ∴，即， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和，平角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 41．（2024·广东清远·三模）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的基本性质，由题意得到，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 42．（2024·广东深圳·三模）（1）【问题发现】如图，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，连接． ①线段与的数量关系为__________；②直线与所夹锐角的度数为__________； （2）【类比探究】如图，将矩形绕点逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说理． （3）【知识迁移】如图，当矩形的边时，点为线段上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长__________． （4）【拓展应用】如图，在矩形中，，，点时直线上一动点，连接、，直接写出的取值范围__________．（用含有、的代数式表示，可以不化简） 【答案】（1），；（2）成立，过程见详解；（3）；（4）的取值范围为： 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． (1)延长交于H，连接，易得点，，三点共线，由，得到；即可得出结论； (2) 连接AC，AF，证明，即可得出结论； (3) 连接，，根据题意易得为正方形，证明，即可得出结论； (4)根据题意，找临界点分别位于，两点，求的取值范围即可． 【详解】解： （1）【问题发现】如图，延长交于；②直线与所夹锐角的度数为．矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，易证，，三点共线． ， 在中， ， 故答案为：，． （2）【拓展探究】结论不变．连接AC，AF， 理由： 矩形与矩形相似， ，， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， （3）如图，连接，， 在矩形中， 为正方形， ， 为正方形，点为正方形的中心， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， （4）如图所示， 当时直线BC上一动点,运动零界点为, 两点， 当点运动到时，达到最大值，此时， 则 当点运动到时，达到最小值，此时， 则 故的取值范围为： 三角形 命题点1 全等三角形 命题点2 相似三角形 试卷第2页，共61页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$