专题08 二次函数和锐角三角函数-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题08 二次函数和锐角三角函数-（解析版） 二次函数 1．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，认真观学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 3．（2024·江苏徐州·三模）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，由此即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 故选：B． 4．（2024·辽宁大连·三模）直线与抛物线在第四象限内恰有一个交点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解题的关键是联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程，然后根据列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 整理得：， ∵只有一个交点， ∴， 解得，， 交点在第四象限内， 故选：C． 5．（2024·辽宁大连·三模）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．具有对称性的图形是抛物线 B．对顶角相等； C．全等三角形的三组内角分别相等 D．与轴有两个交点的抛物线判别式一定等于0． 【答案】A 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假，先写出逆命题，再根据抛物线的性质、对顶角、全等三角形逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题：抛物线是具有对称性的图形，该命题是真命题，符合题意； B、逆命题：相等的角是对顶角，该命题是假命题，不符合题意； C、逆命题：三组内角分别相等的三角形是全等三角形，该命题是假命题，不符合题意； D、判别式等于0的抛物线一定与轴有两个交点，该命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 6．（2024·山东青岛·三模）如图为二次函数．则下列结论正确的有①；②；③为任意实数，则；④；⑤若，且，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线开口方向向上，则． 抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即． 抛物线与轴交于轴负半轴，则， 所以．故①错误； ②抛物线对称轴为直线， ，即，故②正确； ③抛物线对称轴为直线， 函数的最小值为：， 为任意实数时，，即，故③正确； ④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ，故④正确； ⑤， ， ， ， 而， ，即， ， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个； 故选：C． 7．（2024·广东深圳·三模）如图1．中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（    ） A．54 B．52 C．50 D．48 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．根据勾股定理求出，再分别求出和时的，的长，再用三角形的面积公式写出与的函数解析式即可． 【详解】解，，， ， ①当时，点在边上，如图所示， 此时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ②当时，点在边上，如图所示， 此时， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 故选：B 8．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴，得出，可以判断①②，再根据抛物线判断③④． 【详解】解：∵抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴, 即， ∵当时，， ∴, ∴，故③错误； ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，则y随x的增大而减小， 故④错误． 故选：B． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置可判断①，根据特殊点可判断②；根据最值可判断③；根据对称性可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴负半轴相交， ∴，，， ∴，故①正确； 根据对称轴为直线得， 由图象可知，当时，， ∴，故②正确； 由图可知，当时，抛物线有最大值为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 由图可知，和满足， ∴和关于对称轴对称， ∴，，即， ∵， ∴，， 则， ∴， 解得，故④正确； 故选C． 10．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于，即可判断Ⅱ，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过、两点，， ∴对称轴在到之间，故结论Ⅰ不正确； ∵图象经过、两点，，对称轴为直线， ∴点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， ∴点满足条件的点有两个，故结论Ⅱ正确； 故选：． 11．（2024·吉林长春·三模）若抛物线（为常数）与轴有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与轴的交点情况用根的判别式进行判定的方法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线（为常数）与轴有两个公共点， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．（2024·吉林长春·三模）抛物线与轴有两个交点．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根据抛物线与轴有两个交点，得到对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式列出不等式进行求解即可． 【详解】抛物线与轴有两个交点， ， ； 故答案为：． 13．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出a的值． 【详解】∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2024·广西·三模）把二次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：把二次函数的图象向下平移2个单位长度， 平移后抛物线的解析式为． 故答案为：． 15．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 16．（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质．由相似三角形的性质得出，进而求出，设，则，由二次函数的性质可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设， 时，的最大值为． 故答案为：． 17．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平分的面积，得到点D是的中点，结合，得到从而得到，继而得到是的中位线，得到，故的最小值取决于的最小值，根据抛物线，得到的最小值为，解答即可． 【详解】解：∵平分的面积， ∴点D是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故的最小值取决于的最小值， ∵抛物线， ∴的最小值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，二次函数的最值，熟练掌握三角形中位线定理，二次函数的最值是解题的关键． 18．（2024·湖北黄石·三模）某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． (1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； (2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 【答案】(1) (2)第32天时利润最大，为4000元 (3)日销售利润不低于3510元的天数为22天 【分析】（1）门店销售方式每天的售价第20天的售价超过20天的天数； （2）时，电商销售的利润电商销售每件玩具的利润销售量，进而根据函数的增减性和自变量的取值范围可得对应天数及此范围内的最大利润；当时，门店销售的利润门店销售每件玩具的利润销售量，整理成顶点式，可得此范围内的对应的天数及最大利润，比较后可得最大利润及对应天数； （3）当时，令，求得的取值范围可得相应的天数；当时，令，求得的取值范围可得相应的天数，综合两种情况可得日销售利润不低于3510元的总天数． 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用．分电商销售和门店销售两种情况探讨函数的最大值及日销售利润不低于3510元的天数是解决本题的难点． 【详解】（1）解：依题意，∵前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元 ∴ ． （2）解：①当时， ． ， 随的增大而增大， 当时，最大．的最大值为：元； ②当时， ． ， 当时，有最大值4000元， ， 第32天时利润最大，为4000元． （3）解：由（2）知，当时， ， 解得：， 共有2天； 当时， ， ， ，共20天， 综上，日销售利润不低于3510元的天数为22天． 19．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可； （3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴对称轴为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 把点和点代入得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，则； 当时，，则； （3）解：∵， ∴抛物线的解析式为， 当时，即时，有最小值，即，解得； 当时，即时，有最小值，即，解得； 综上所述，a的值为或． 20．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线与x轴交于两点，与轴交于点． (1)若点的坐标为，求抛物线的解析式； (2)如图1，设抛物线的顶点为M，判断的形状，并求出的值； (3)如图2，在（1）条件下，点P为抛物线上一点，将绕点顺时针旋转到，记点Q为． 含b的式子表示a； ②若抛物线上有两点、，按（3）的变换方式得到点、且，连恰好过定点F，直接写出的值． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形， (3)①；② 【分析】（1）将点的坐标为代入，即可求得； （2）将进行配方，可得到顶点M为，过点M作，则，再设坐标，根据距离公式即可求得； （3）①由设点P为，分别过点P、点Q作垂直于直线，垂足分别为，可得，得到，，最后化简可得.②由①可知、必满足方程：，设直线为：，联立 可化简，由为此方程的两个不等根，得到. 【详解】（1）解：由题：       ∴         ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解∵ ∴顶点M为，过点M作，则 设坐标为、， 当时， ∵点关于过点所在直线对称， ∴点为的中点， ∴， 即点在以为圆心为直径的圆上， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ （3）解①∵，由（1）得：， ∴对称轴为：直线，设点P为 分别过点P、点Q作垂直于直线，垂足分别为 ∵绕点顺时针旋转到， ∴=， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴① ∴， ∴， ∴或， ∴② 将②代入①得： ②由①可知、必满足方程： ∵直线恰好过定点F ∴可设直线为： ∴ 联立 可化简为： ∴ ∴ ∴ ∵ 为此方程的两个不等根 ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键. 21．（2024·江苏扬州·三模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，，则称函数与互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求，的值； (3)关于的函数的图象顶点为，与轴的交点为、，当它的“回旋”函数的顶点为，与轴的交点为、，从右往左依次是、、、，若，是否存在使得为矩形？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，或，； (3)时，四边形为矩形． 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）求出新函数的表达式为：，得到时，，再分类求解即可； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：， 则，，， 则的“回旋”函数的解析式为：； （2）解：的“回旋”函数为：， 由知，其顶点坐标为：， 将该点代入得：， 解得：， 则函数的表达式为：， 即时，， 当时， 当时，， 解得：，则； 当时， 当时，， 解得：，则； 综上，，或，； （3）解：如下图： 设点、、、的横坐标分别为：，，，，， 则点的坐标为：且，，点的坐标为：且，， 则，， 则， 当四边形为矩形时，则，设左侧抛物线的对称轴交轴于点， 在中，， 则， 而，， 同理可得：， 则， 将代入上式得：（舍去）或6， 即时，四边形为矩形． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，解题的关键是掌握二次函数相关的性质，能熟练准确进行相关运算． 22．（2024·湖南长沙·三模）我们约定：若抛物线：（，且），抛物线：则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”，根据该约定，解答下列问题： (1)已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式； (2)若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”的图象上，试求出抛物线的图象经过的定点坐标； (3)已知抛物线：（m，n，t为实数且，）与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴交于点B（点A在点B的上方）．抛物线与的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足：时，抛物线与直线交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线过定点：； (3)或 【分析】（1）直接根据“湘一相依抛物线”的定义，进行求解即可； （2）求出的顶点坐标，根据“湘一相依抛物线”的定义，写出的解析式，将的顶点坐标代入，进行求解即可； （3）求出的解析式，进而求出，点的坐标，根据，，结合等腰三角形三线合一以及中点坐标公式，得到，进而得到，根据，求得的取值范围，联立，得到，设设的两个根为，利用根与系数的关系结合两点间的距离公式，得到，利用二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为； （2）∵， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为，且抛物线的顶点在的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴抛物线过定点：； （3）抛物线：的“湘一相依抛物线”的解析式为， 联立：，解得：， ∴， 对于：，当时，， ∴， 同理：， ∵点A在点B的上方， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵， ， ， ， 联立，整理，得：， 设的两个根为， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，则：， ∴当时，有最小值为，此时最小为， 当时，有最大值为，此时最大为， 当时，则：， ∴当时，有最小值为，此时最小为， 当时，有最大值为，此时最大为； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的最值，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握“湘一相依抛物线”的定义，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． 23．（2024·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3） ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标__________； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度__________． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)①；② 【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可． （3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标． ②设点是抛物线上的一点，且，；过点作轴，交于点，过点作轴于点，确定，计算得最大值，且最大值为，过点作于点，则． 【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为． 抛物线的对称轴为直线，， 的对称点为， ， 平移后， 设直线的解析式为，   ， 解得； ； 设直线的解析式为， ， 解得； ， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴； （3）解：①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵，   ， ， ， ． 故答案为：； ②抛物线的解析式为， 设点是抛物线上的一点，且，； 过点作轴，交于点， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵， ， 过点作轴于点， ∵轴， ，， ， ， ， ， ，， 时，取得最大值，且最大值为， 过点作于点， 则， 故的最大值为，    故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键． 锐角三角函数 24．（2024·浙江温州·三模）如图，为等腰直角三角形，，将其绕顶点C逆时针旋转，得到，连接、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，设，则，则，然后过点C作于点E，得到，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， 又∵，逆时针旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 过点C作于点E，则， ∴， ∴， ∴， 故选A． 25．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于．   ， ， ， 设，， 则有：， ， 解得（舍去）， ∴， ，，，则 ∴， ，， ， ， ， 当C、D、H三点共线时，， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 26．（2024·安徽安庆·三模）如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：作直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选A. 27．（2024·河南周口·三模）如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、函数图象的动点问题，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象得出，结合当时，；得出然后运用锐角三角函数得出，继而求出、，最后根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵设的垂直平分线分别交，于点M和N， 连接，如图： 当，且 ∴当时， ∴， ∵当时，； ∴则点P先从点C运动到点N，接着又从点N运动到点M， 则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴的面积为 故选：A． 28．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接；分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接；现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第91次旋转结束时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形与坐标、旋转性质，解直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出依题意，得出是的垂直平分线，是等边三角形，结合勾股定理得出，因为现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第91次旋转结束时，到位置，证明，则，即可作答． 【详解】解：如图：过点A作轴 ∵点 ∴在， ∴ ∵已知点以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接；分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C， ∴是的垂直平分线，是等边三角形 ∴ 即 ∴ 即 ∵现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转， ∴ 则第91次旋转结束时，到位置，过点作轴 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点在第一象限 ∴则第91次旋转结束时，点C的坐标为 故选：B． 29．（2024·河北张家口·三模）有一题目：“如图，在四边形中，，，，，将边绕点逆时针旋转角得到，连接，．当为直角三角形时，求旋转角的度数．”嘉嘉说：“角为．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角还应有另外两个不同的值．”下列判断正确的是（    ） A．淇淇说的对，且角的另外两个值是， B．淇淇说的对，且角的另外两个值是， C．淇淇说的不对，角就得 D．两人都不对，角仅有2个不同值 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识．熟练掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键． 由旋转的性质可知，，，由题意知，当为直角三角形时，分①；②；③；三种情况求解；然后判断作答即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 由题意知，当为直角三角形时，分①；②；③；三种情况求解； ①当时，如图1，          ∴， 如图1，作于， ∴， ∴重合，即， ∴， ∴； ②当时，如图，连接，作于， ∴， ∴重合，即， ∴在线段上， ∴， ∴； 如图，点在的延长线上，         同理，， ∴； ③当时，如图3，              图3 ∴在以为直径的圆上运动，同时在以为圆心，为半径的圆上运动， 由②可得，， ∵， ∴两个圆无交点，即此情况不成立； 综上所述，角有3个不同值或或； ∴淇淇说的对，且角的另外两个值是，， 故选：B． 30．（2024·吉林长春·三模）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 【答案】A 【分析】本题主要考查了坡度，熟知坡度是坡面的垂直高度和水平距离的比成为解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据的坡度即为，然后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：如图：由题意可知, ∵坡度， ∴, 设，则， ∵, ∴，解得：． ∴． 故选A． 31．（2024·河南·三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形及其实际应用，掌握直角三角形的边角间关系、计算折射率的公式及“同角的余角相等”等知识点是解决本题的关键．先利用互余关系得，再利用直角三角形的边角间关系表示出的正弦值，最后利用折射率公式列式计算即可． 【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∴， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故选：D． 32．（2024·吉林长春·三模）如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：由题意，在中，，由三角函数关系可知， （米）． 故选． 33．（2024·湖北武汉·三模）如图，直径与弦交于点E，点F是的中点，延长交于点G，若，且，则的长度是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、解直角三角形等知识，求出,,即可得到的长度. 【详解】解：∵点F是的中点，延长交于点G， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ 故选：C 34．（2024·湖南娄底·三模）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 35．（2024·浙江温州·三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，．（1）四边形的面积为 ；（2）连结，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理以及锐角三角形函数，首先证明，求出正方形的边长，得出再求出正方形的边长为6，根据求出，由梯形面积公式可得四边形的面积；连接，延长，过点作交的延长线于点，证明求出，求出从而可得结论 【详解】解：根据题意知，四边形是正方形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又， ∴， ∴四边形的面积为； 连接，延长，过点作交的延长线于点， 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， ∵，且， ∴ ∴ 故答案为： 36．（2024·江苏扬州·三模）“栖灵塔”位于扬州瘦西湖畔，诗仙李白一句“宝塔凌苍苍，登攀览四荒”道出宝塔的气势磅礴．某数学兴趣小组用无人机测量“栖灵塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面163m的P点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“栖灵塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为45°，则“栖灵塔”的高度约为 ．（结果精确到1m，参考数据：） 【答案】/73米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意可得：，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点C， 由题意得：，，， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴“栖灵塔”的高度约为． 故答案为：． 37．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，正方形的性质．过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，利用相似三角形的性质求得，求最大值，即求的最大值，点在上，当的延长线经过点时，有最大值，据此计算即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，      ∵， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴求最大值，即求的最大值， ∵，， ∴， ∴点在上， 当的延长线经过点时，有最大值， ∵，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（2024·江苏淮安·三模）如图，在边长为1的菱形网格中，每个菱形的一个内角为，点，，均在格点上， 连接，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，连接，取的中点，则，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点， 根据对称性可得：， ∴ ∵菱形网格的边长为，每个菱形的一个内角为60°， ∴ ∴ 故答案为：． 39．（2024·河南南阳·三模）如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不规则面积的计算，扇形面积的计算，解直角三角形，用扇形的面积减去三角形的面积即可求解，掌握扇形的面积公式和解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 40．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，D在上，E在上，，连接，作交于F，且，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，理清角度之间的关系，线段之间的关系，构建方程进行求解，是解题的关键．勾股定理求出的长，进而得到的长，设，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，过点作于点，根据对顶角相等，得到，进而得到，设，则，勾股定理求出，再根据，得到，列出方程求出的值，进而求出的长，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 过点作于点，则：， ∵， ∴，即：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 41．（2024·山西大同·三模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义，如图，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米，D，B，H三点共线，从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A，C，F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A，E，G三点共线，且仰角为（点F，G都在直线上）．则山峰的高是 米（参考数据：，，）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中， ， （米）， 在中， ， （米）， ∵（米）， ∴（米）， 设米， 在中， ， （米）， 米， （米）， 在中， 解得： ∴米， ∴山峰的高是米． 故答案为：． 42．（2024·山西晋中·三模）如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，过点作于点，连接．则四点共圆，．由，可得．由，可知，且是定值，则点在射线上运动，当时，的值最小．由勾股定理得，，则．由，可求，由勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接．    ∵， ∴四点共圆， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，且是定值， 点在射线上运动， ∴当时，的值最小． 四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， ∴． ∵， ∴， 由勾股定理得，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，矩形的性质，勾股定理，正弦．确定最小的情况是解题的关键． 43．（2024·湖北黄石·三模）某数学小组想测量山坡下一棵树的高度，同学们发现树的影子恰好落在地面和斜坡上，如图，此时测得树的影子分别落在了地面上的影子长为，落在斜坡上的影子长为，他们在处测得树的顶端的仰角为，求树高． （参考数据：，，，，结果保留一位小数）    【答案】树高约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．过点作，交延长线于点，过点作于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于点，    由题意得：，， 在中，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 树高约为． 44．（2024·陕西咸阳·模拟预测）定义：若点P到多边形各个顶点的距离均相等，则称点P为“等距点”． 问题探究 （1）圆心O是中任意内接多边形的“等距点”，该结论是否正确？______（填“正确”或“错误”） （2）如图1，在内部有一个“等距点O”，已知，“等距点O”到线段的距离为，求的最大面积． 问题解决 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点在x轴上，以为边作四边形，满足，在边上有一点M，若点M为四边形的“等距点”，设，四边形的周长为n，请求出n与m之间的函数关系式，并探究n是否存在最大值． 【答案】（1）正确；（2）；（3），存在最大值 【分析】（1）由题意知，圆心O是中任意内接多边形的“等距点”，可知该结论正确； （2）由题意知，在以为圆心的圆上，如图1，作，作于，则，如图，延长交于，连接，由题意知，重合时，的面积最大为，由，，，可得，，，，则，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，在以为圆心，为直径的圆上，如图2，作，连接、，交点为，证明，则，可得，，设，则，，由勾股定理得，，即；，即，由，可得，可求，即，则四边形的周长为，整理得，，然后求最值即可． 【详解】（1）解：由题意知，圆心O是中任意内接多边形的“等距点”，该结论正确， 故答案为：正确； （2）解：由题意知，在以为圆心的圆上，如图1，作，作于，则，         图1 如图，延长交于，连接， 由题意知，重合时，的面积最大为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大面积为； （3）解：由题意知，在以为圆心，为直径的圆上，如图2，作，连接、，交点为，        图2 ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得，，即； ，即， ∵， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴四边形的周长为，整理得，， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题考查了圆内接多边形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识．熟练掌握圆内接多边形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用是解题的关键． 45．（2024·江苏徐州·三模）已知，在平面直角坐标系中，点，以为圆心，为半径的半圆与轴的另一个交点是，一次函数（为实数）的图象为直线，分别交轴，轴于，两点，    (1)点坐标是_______（用含的代数式表示），____________ (2)若点是直线与半圆的一个公共点（两个公共点时，为右侧一点），过点 作的切线交轴于点，如图． ①是否存在这样的的值，使得是直角三角形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②过点作于点，当 时，求线段的长度以及此时的值． 【答案】(1)， (2)①存在，或；②， 【分析】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识； （1）首先求出直线与轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出的度数； （2）①分别利用和，结合切线的性质得出的值； ②首先求出：：，再得出，再利用相似三角形的性质，进而得出的值． 【详解】（1）解：当，则， 解得： 故点坐标是， 一次函数与轴交于点（，）， ， ； 故答案为：，； （2）①如图1，    假设存在这样的的值，使得是直角三角形．连接 若， 是的切线， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 若， 是的切线， ， 点、、三点共线，即点与点重合， ， 综上可知，或； ②如图②，连接，过点作，于，过点作，于，    则， ， ，，， ：：， ：：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴． 46．（2024·江苏徐州·三模）如图，线段、分别表示甲、乙两建筑物的高，，，垂足分别为、．从点测得点的仰角为，从点测得点的仰角为，甲建筑物的高米． (1)求甲、乙两建筑物之间的距离 (2)求乙建筑物的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形与实际应用，特殊角的三角函数值，仰角的概念，矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，即可求得答案； （2）作于点，可推出，，根据，得到，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）在中，，， 则 答：甲、乙两建筑物之间的距离为． （2）作于点， 又， 四边形是矩形， ， 在中，，， 则， 答：乙建筑物的高度为． 47．（2023·广东佛山·三模）（综合探究）如图，点G在线段上，，B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，．    (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整； 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H．连接，若是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或 【分析】（1）依据题干中给出的方法，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，利用等腰直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可；②当时，则，此种情形不存在；③当时，过点H作于点M，于点N，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，求得，在中求得，则可得； 【详解】（1）解：探究1：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 探究2：∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （2）若是等腰三角形， ①当时，如图，    则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∴； ②当时，则，此种情形不存在． ③当时，过点H作于点M，于点N，如图，    ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 综上，是等腰三角形，的长为2或； 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，分类讨论的思想方法，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键． 48．（2024·陕西西安·模拟预测）数学课外实践活动中，小辰和小翔所在的小组利用所学知识测量某栋教学楼的高度，测量方法如下： 目的 测量某栋教学楼的高度 工具 平面镜，测角仪器，皮尺等 测量过程 示意图 相关数据 说明 均垂直于地面在同一水平直线上；（，，；计算结果保留一位小数） 计算结果 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；设，证明得出，进而得出，在中，进而解方程，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 49．（2024·广东清远·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．      (1)如图1，当点M在上时，______度； (2)如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，（点Q在下方），则的长为______． 【答案】(1)30 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出； （2）①由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出； ②设，则，．求出，，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：①，理由如下： ∵四边形是正方形， ，． 由折叠可得：，， ，． 又， ， ∴． ②设，则，． ∵， ∴， ∴，． 在中，由， 得， 解得， ∴的长为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 二次函数和锐角三角函数 命题点1 二次函数 命题点2 锐角三角函数 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数和锐角三角函数-（原卷版） 二次函数 1．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·三模）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁大连·三模）直线与抛物线在第四象限内恰有一个交点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁大连·三模）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．具有对称性的图形是抛物线 B．对顶角相等； C．全等三角形的三组内角分别相等 D．与轴有两个交点的抛物线判别式一定等于0． 6．（2024·山东青岛·三模）如图为二次函数．则下列结论正确的有①；②；③为任意实数，则；④；⑤若，且，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2024·广东深圳·三模）如图1．中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（    ） A．54 B．52 C．50 D．48 8．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 11．（2024·吉林长春·三模）若抛物线（为常数）与轴有两个公共点，则的取值范围为 ． 12．（2024·吉林长春·三模）抛物线与轴有两个交点．则的取值范围是 ． 13．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 14．（2024·广西·三模）把二次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 15．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 16．（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为 ． 17．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    18．（2024·湖北黄石·三模）某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． (1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； (2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 19．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 20．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线与x轴交于两点，与轴交于点． (1)若点的坐标为，求抛物线的解析式； (2)如图1，设抛物线的顶点为M，判断的形状，并求出的值； (3)如图2，在（1）条件下，点P为抛物线上一点，将绕点顺时针旋转到，记点Q为． 含b的式子表示a； ②若抛物线上有两点、，按（3）的变换方式得到点、且，连恰好过定点F，直接写出的值． 21．（2024·江苏扬州·三模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，，则称函数与互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求，的值； (3)关于的函数的图象顶点为，与轴的交点为、，当它的“回旋”函数的顶点为，与轴的交点为、，从右往左依次是、、、，若，是否存在使得为矩形？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由． 22．（2024·湖南长沙·三模）我们约定：若抛物线：（，且），抛物线：则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”，根据该约定，解答下列问题： (1)已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式； (2)若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”的图象上，试求出抛物线的图象经过的定点坐标； (3)已知抛物线：（m，n，t为实数且，）与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴交于点B（点A在点B的上方）．抛物线与的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足：时，抛物线与直线交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围． 23．（2024·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3） ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标__________； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度__________． 锐角三角函数 24．（2024·浙江温州·三模）如图，为等腰直角三角形，，将其绕顶点C逆时针旋转，得到，连接、，则（    ） A． B． C． D． 25．（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（      ）    A． B． C． D．10 26．（2024·安徽安庆·三模）如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·河南周口·三模）如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（   ） A．4 B． C．8 D． 28．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接；分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接；现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第91次旋转结束时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 29．（2024·河北张家口·三模）有一题目：“如图，在四边形中，，，，，将边绕点逆时针旋转角得到，连接，．当为直角三角形时，求旋转角的度数．”嘉嘉说：“角为．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角还应有另外两个不同的值．”下列判断正确的是（    ） A．淇淇说的对，且角的另外两个值是， B．淇淇说的对，且角的另外两个值是， C．淇淇说的不对，角就得 D．两人都不对，角仅有2个不同值 30．（2024·吉林长春·三模）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A．米 B． 米 C．米 D． 米 31．（2024·河南·三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 32．（2024·吉林长春·三模）如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 33．（2024·湖北武汉·三模）如图，直径与弦交于点E，点F是的中点，延长交于点G，若，且，则的长度是（    ） A．4 B． C． D． 34．（2024·湖南娄底·三模）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 35．（2024·浙江温州·三模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2所示图形，若已知，．（1）四边形的面积为 ；（2）连结，则的值为 ． 36．（2024·江苏扬州·三模）“栖灵塔”位于扬州瘦西湖畔，诗仙李白一句“宝塔凌苍苍，登攀览四荒”道出宝塔的气势磅礴．某数学兴趣小组用无人机测量“栖灵塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面163m的P点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“栖灵塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“栖灵塔”顶端A的俯角为45°，则“栖灵塔”的高度约为 ．（结果精确到1m，参考数据：） 37．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    38．（2024·江苏淮安·三模）如图，在边长为1的菱形网格中，每个菱形的一个内角为，点，，均在格点上， 连接，，则的值为 ． 39．（2024·河南南阳·三模）如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 40．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，D在上，E在上，，连接，作交于F，且，若，，则的长是 ． 41．（2024·山西大同·三模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义，如图，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米，D，B，H三点共线，从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A，C，F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A，E，G三点共线，且仰角为（点F，G都在直线上）．则山峰的高是 米（参考数据：，，）    42．（2024·山西晋中·三模）如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接．若，，则的最小值为 ．    43．（2024·湖北黄石·三模）某数学小组想测量山坡下一棵树的高度，同学们发现树的影子恰好落在地面和斜坡上，如图，此时测得树的影子分别落在了地面上的影子长为，落在斜坡上的影子长为，他们在处测得树的顶端的仰角为，求树高． （参考数据：，，，，结果保留一位小数）    44．（2024·陕西咸阳·模拟预测）定义：若点P到多边形各个顶点的距离均相等，则称点P为“等距点”． 问题探究 （1）圆心O是中任意内接多边形的“等距点”，该结论是否正确？______（填“正确”或“错误”） （2）如图1，在内部有一个“等距点O”，已知，“等距点O”到线段的距离为，求的最大面积． 问题解决 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点在x轴上，以为边作四边形，满足，在边上有一点M，若点M为四边形的“等距点”，设，四边形的周长为n，请求出n与m之间的函数关系式，并探究n是否存在最大值． 45．（2024·江苏徐州·三模）已知，在平面直角坐标系中，点，以为圆心，为半径的半圆与轴的另一个交点是，一次函数（为实数）的图象为直线，分别交轴，轴于，两点，    (1)点坐标是_______（用含的代数式表示），____________ (2)若点是直线与半圆的一个公共点（两个公共点时，为右侧一点），过点 作的切线交轴于点，如图． ①是否存在这样的的值，使得是直角三角形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②过点作于点，当 时，求线段的长度以及此时的值． 46．（2024·江苏徐州·三模）如图，线段、分别表示甲、乙两建筑物的高，，，垂足分别为、．从点测得点的仰角为，从点测得点的仰角为，甲建筑物的高米． (1)求甲、乙两建筑物之间的距离 (2)求乙建筑物的高． 47．（2023·广东佛山·三模）（综合探究）如图，点G在线段上，，B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，．    (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整； 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H．连接，若是等腰三角形，求的长． 48．（2024·陕西西安·模拟预测）数学课外实践活动中，小辰和小翔所在的小组利用所学知识测量某栋教学楼的高度，测量方法如下： 目的 测量某栋教学楼的高度 工具 平面镜，测角仪器，皮尺等 测量过程 示意图 相关数据 说明 均垂直于地面在同一水平直线上；（，，；计算结果保留一位小数） 计算结果 49．（2024·广东清远·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．      (1)如图1，当点M在上时，______度； (2)如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，（点Q在下方），则的长为______． 二次函数和锐角三角函数 命题点1 二次函数 命题点2 锐角三角函数 试卷第2页，共16页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$