专题07 一次函数和反比例函数-【好题汇编】2024年中考数学三模试题分类汇编（全国通用）

专题07 一次函数和反比例函数-（解析版） 函数基础知识 1．（2024·江苏无锡·三模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数自变量的求值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．（2024·河南周口·三模）如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、函数图象的动点问题，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象得出，结合当时，；得出然后运用锐角三角函数得出，继而求出、，最后根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵设的垂直平分线分别交，于点M和N， 连接，如图： 当，且 ∴当时， ∴， ∵当时，； ∴则点P先从点C运动到点N，接着又从点N运动到点M， 则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴的面积为 故选：A． 3．（2024·江苏扬州·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象与解析式的关系找出图象上的特殊点进行判断．掌握图象与解析式的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴图象与轴交于点， 故选：D． 4．（2024·辽宁大连·三模）对于一些圆锥曲线而言，从它们的一个焦点射出的一束光线会在它们的曲面上发生反射从另一个焦点射出．但是抛物线比较特殊，由于离心率，经过它焦点的光线的反射光线会与焦点所在的坐标轴平行．根据以上信息解答：如图，一条抛物线的对称轴为x轴，它的焦点在x轴正半轴，从射出一条光线交抛物线于C，点B在其反射光线上，若，图中所示虚线为法线，则反射角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质， 首先根据平行线的性质得到，然后根据反射的性质得到． 【详解】如图所示， ∵ ∴ ∴． ∴反射角度数为． 故选：A． 5．（2024·江苏徐州·三模）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（单位：平万米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（   ） A．40平方米 B．50平方米 C．70平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息． 根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为，然后可得绿化速度． 【详解】解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为． 每小时绿化面积为． 故选：A． 6．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边的面积为，则A点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是坐标与图形，等边三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、勾股定理和点的坐标求法是解题关键． 过点A作于C，设，则，勾股定理求出，根据等边的面积为列方程求出，得到，，进而求解即． 【详解】过点A作于C， ∵是等边三角形， ∴ ∴设，则 ∴ ∵等边的面积为 ∴，即 解得，负值舍去 ∴， ∴A点的坐标为． 故选：C． 7．（2024·山东菏泽·三模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．根据分式的分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 8．（2024·安徽六安·三模）函数     自变量的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为0是解题的关键．根据分母不能为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的范围，根据分式的分母不为0，被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 10．（2024·山东济南·三模）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书，小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家．小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速度返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示（米）、（米）与t之间的函数关系的图象．小明在返回途中追上爸爸时距离家还有 米． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，小明的速度为（米/分钟），小明从第分钟时，开始回家，当小明在返回途中追上爸爸时，，可求，根据此时小明在返回途中追上爸爸时距离家还有，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，小明的速度为（米/分钟）， 小明从第分钟时，开始回家， ∵小明在返回途中追上爸爸， ∴， 解得，， ∴此时小明在返回途中追上爸爸时距离家还有（米）， 故答案为：． 11．（2024·广东揭阳·三模）已知函数，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式有意义以及分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 12．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程，    ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 13．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为，由于返回时间与去时行驶时间相同，可以得到小丽在景区游玩时间； （2）先求出汽车行驶时每小时的耗电量，可知到达景点时汽车剩余电量为； （3）用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式． 【详解】（1） 电动汽车每小时的充电量为 小丽往返均匀速行驶 返回时间与去时行驶时间相同，即为： 段占用时间为 段时间为： 故答案为：； （2）汽车每小时的耗电量均相同，且到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同 耗电量为： 到达景点时汽车剩余电量为： （3）段时间为：，且到达景点时汽车剩余电量为： 汽车每小时的耗电量为，返回时间为 当小丽回家时，剩余电量为： 设段的函数表达式为： 将代入可得： 解得： 段的函数表达式为： 【点睛】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求解析式，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 14．（2024·广西南宁·三模）世界上大部分国家都使用摄氏温度（），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（），两种计量之间有如下对应： 摄氏温度 0 华氏温度 (1)请在所给的平面直角坐标系中描出上表中相应的点，并用光滑的线连接； (2)观察你画出的图象，猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求出y与x之间的函数表达式； (3)求华氏0度时所对应的摄氏温度． 【答案】(1)见解析 (2)y与x之间满足一次函数关系， (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象及其应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先描点，再连线； （2）判定得出是一次函数，根据待定系数法求解即可； （3）当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）y与x之间满足一次函数关系， 设这条直线所对应的的函数表达式为， 将、代入， 得， 解得：， ∴这条直线所对应的函数表达式为：； （3）令，得， 解得：， ∴华氏0度时所对应的摄氏温度为． 15．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 【答案】（2）见解析；（3）①，；②当时，y随x增大而增大（或）当时，y随x增大而减小（或）当时，y取最小；③16；④或 【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键． （2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象； （3）①把给的任一点的坐标代入求出，然后把代入解题即可； ②观察图象得到性质即可； ④先根据求出自变量x的值，然后借助图象回答即可． 【详解】（2）如图 （3）①把，代入得，解得， ∴当时，， 故答案为：，； ②当时，y随x增大而增大  （或）当时，y随x增大而减小  （或）当时，y取最小 ③令，则，解得，， ∴图象与x轴围成的三角形面积为， 故答案为：16 ； ④令，则，解得，， ∴由图像可知，当时，直接写出x的取值范围或． 16．（2024·吉林长春·三模）如图①，公路上依次有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站出发以速度匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度匀速驶向C站，汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示． (1)__________千米/小时，__________千米/小时； (2)当汽车在B、C两站之间匀速行驶时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米，直接写出这段路程开始时x的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一元一次方程的应用．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由题意知，（千米/小时），则驶向B站的时间为（小时），（千米/小时），然后作答即可； （2）由题意知，，，然后作答即可； （3）由题意知，当汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米时，一部分在段，一部分在段，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，（千米/小时）， ∴驶向B站的时间为（小时）， ∴（千米/小时）， 故答案为：；； （2）解：由题意知，， ∴； （3）解：由题意知，当汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米时，一部分在段，一部分在段， 依题意得，， 解得， ∴． 17．（2024·天津·三模）已知小明家、书店、森林公园依次在同一条直线上，书店离家，  森林公园离家．小明从家里出发，匀速骑行后到达书店，在书店停留后，匀速骑行9分钟到达森林公园：在森林公园游玩一段时间，然后返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 5 (2)填空： ① a的值为 ②小明从家出发前往书店的骑行速度为 ； ③当 时，请直接写出小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式． (3)小明从森林公园出发回家时，爸爸从家开车出发匀速行驶前往森林公园，已知爸爸的速度为0.8km/min，当小明与爸爸相遇时，求小明离开家的时间．（直接写出结果） 【答案】(1)2.75；5；4.4 (2)①40；②0.275；③ (3) 【分析】本题考查函数图象，一次函数的应用．从图象获取信息是解题的关键． （1）根据图象求解即可； （2）①根据图象求解即可；②根据速度等于路程除以时间，计算即可；③分两种情况：当时，当时，分别 求解即可； （3）先求出小明从森林公园出发回家的速度为，再设小明离开家的时间为，则爸爸开车的时间为，根据速度和乘以时间等于总路程，列方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 2.75 5 5 4.4 （2）解：①由图可得：， ②小明从家出发前往书店的骑行速度为， ③当时，； 当时，设距离 y 关于时间x 的函数解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴ 综上，当 时小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式为． （3）解：小明从森林公园出发回家的速度为， 设小明离开家的时间为，则爸爸开车的时间为，根据题意，得 解得： 答：小明离开家的时间为． 18．（2024·江苏徐州·三模）如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）由勾股定理得，，由翻折的性质可知，，，则，由直线过点C，可知，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）如图2，连接，由勾股定理得，，同理（1）可知，，，，由题意得，，由勾股定理得，，即，，即，则，计算求解即可； （3）由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3，则；②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H，则，，如图4，作于G，则四边形是矩形，则，设，则，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∵直线过点C， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴当时，直线过点C； （2）解：如图2，连接， 由勾股定理得，， 同理（1）可知，，，， 由题意得，， 由勾股定理得，，即， ，即， ∴， 解得， 当时，直线经过点F； （3）解：由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3， ∴； ②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图4，作于G，则四边形是矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得：， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式是解题的关键． 19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1小时后按原路原速驶往B地．结果乙车比甲车早1小时到达B地，如图是甲、乙两车距B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为________千米/时，A、C两地的距离为________千米； (2)求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出在两车行驶的过程中，两车出发多长时间距C地的距离相同． 【答案】(1)200，400 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）根据乙车在A地因故停留1小时，得到乙车用了到达A地所用的时间，用路程除以时间求出速度，再用速度乘以时间得到距离，即可得到结果； （2）先根据所得的条件得到乙车行驶的总时间，设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分三种情况，即甲乙两车相遇且乙车到达A地之后，和乙车过了C地之后，求解即可； 从图像上获取信息是解题的关键． 【详解】（1）解：∵乙车在A地因故停留1小时， ∴乙车到达A地所用的时间为小时， ∴乙车的速度为：千米/时， ∴A、C两地的距离为：千米， 故答案为：200,400； （2）解：乙车从A地到达B地所用时间为：小时， ∴乙车总时间为：小时， ∵乙车比甲车早1小时到达B地， ∴甲车总时间为：小时， 则甲车的速度为：千米/时， 设甲车从C地到B地过程中函数解析式为，由图像可知，直线经过点， ∴，解得， ∴； （3）解：设两车出发x小时后，距C地的距离相同， ①乙车到达A地之前，即甲乙相遇之时，两车相向而行，由题意可得： ，解得； ②两车经过小时相遇后，乙车到达A地之后，由题可得： ，解得； ③乙车过了C地之后，与甲车相遇，由题可得： ，解得； 综上所述，两车出发后经过小时或小时或小时距C地的距离相同． 一次函数 20．（2024·辽宁大连·三模）关于一次函数的一些性质，下列说法正确的是（    ） A．与y轴的交点为 B．随着x的增大而减小 C．与垂直 D．与平行． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系， 根据一次函数的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】∵一次函数， ∴当时，， ∴与y轴的交点为，故A选项错误； ∵一次函数中自变量系数为， ∴随着x的增大而增大，故B选项错误； ∵与x轴平行，与x轴不平行， ∴与不垂直，故C选项错误； ∵与中，自变量的系数， ∴与平行，故D选项错误． 故选：D． 21．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，若直线与轴交于点，与直线交于点，则交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是两条直线相交问题，考查一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求得一次函数的解析式．先求出的值，再联立方程组求解即可． 【详解】解：直线与轴交于点， ， 解得：， 直线，直线， ，解得：， ， 故选：C． 22．（2024·广西崇左·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，根据图象直接进行求解，解题的关键是读懂图象，获取信息，熟练掌握一次函数与不等式得关系． 【详解】∵一次函数与正比例函数， 的图象交于点， ∴当时，， 故选：． 23．（2024·安徽滁州·三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点 B，若点 B 在直线上，则实数m的值为（       ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化平移，根据点的平移，找出点的坐标是解题的关键． 根据平移的坐标变换规律，可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值 【详解】解：把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得：， 实数的值为． 故选：A． 24．（2024·山东菏泽·三模）点和在一次函数(、为常数，且)的图象上，已知，且当时，，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数增减性求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是熟练掌握用一次函数解析式判断其经过的象限． 结合、，即可判断、的取值范围，从而判断可能的图像． 【详解】解：，且， 、应为一正一负， ，， 即随着的增大而减小， ， ， 一次函数的图像会经过一、二、四象限． 故选：． 25．（2024·河南濮阳·三模）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（    ）      A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，由题意可知小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为，从而求出的速度，进而列出关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图2可知，小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为， ∴小球P的速度为：， Q的速度为：， 当时，， 又∵， ∴， 解得：， 故选：B． 26．（2024·辽宁盘锦·三模）、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿同一条公路相向而行，他们离地的距离与时间的函数关系如图，则乙从出发到与甲相遇的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲行驶的函数关系式为，把代入， 求得，设乙行驶的解析式为，把，代入，求得，解方程组，得到，得到相遇时间为，乙行驶时间为．解答即可． 本题主要考查了一次函数与二元一次方程组等，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系． 【详解】设甲行驶的函数关系式为， 把代入，得，解得 故解析式为， 设乙行驶的解析式为， 把，代入，， 解得， 故乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故相遇时间为，此时乙行驶时间为． 故选C． 27．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去地，途经地休息1分钟，继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行从地匀速前往地．甲、乙两人距地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示．则以下结论正确的有（    ）个． ①甲的骑行速度为240米/分； ②点的坐标为； ③甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式； ④在甲返回地之前，经过4分钟或6分钟，两人距地的路程相等． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象---从图象中获得信息，熟练掌握一次函数的实际应用是解题的关键，根据题意并结合图象逐一进行分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得：甲的骑行速度为：，故①正确； （米）， ∵甲往返总时间为11分，中间休息一分钟， ∴的横坐标为6， ∴的坐标为， 故②正确； 设的解析式为：， ∵的图象过，， 解得：， ∴直线的解析式为：， 甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式； 设甲返回地之前，经过分钟两人距C地的路程相等， 乙的速度：（米/分）， 如图所示：∵， ∴， 分4种情况： （1）当时，， ， 此种情况不符合题意； （2）当，即，甲、乙都在之间， ∴， 解得：， 此种情况符合题意； （3）当时，甲在之间，乙在之间， ∴， 解得：， 此种情况不符合题意； （4）当时，甲到地，距离地米， 乙距地的距离：（米）， 此种情况符合题意； 故在甲返回地之前，经过4分钟或6分钟，两人距地的路程相等． 故④正确； 故选：A． 28．（2024·江苏南京·三模）若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了利用一次函数解不等式，解题关键是确定该一次函数图像与轴的交点坐标．首先确定该一次函数图像与轴的交点坐标，然后结合图像即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该一次函数图像与轴的交点坐标为， 则有,则, ∴关于的不等式化为 ∵,则该不等式的解集为． 故答案为：． 29．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 【答案】12或 【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或． 故答案为：12或． 30．（2024·陕西咸阳·三模）已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限，且点在反比例函数的图象上，若，则的值可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象与性质．根据题意，先确定发符号，再确定的符号即可． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限 点在反比例函数的图象上 则可取． 故答案为：． 31．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数性质，记直线解析式与轴交与点，原点为，利用解析式得到点A，，根据题意可绕点A逆时针旋转得到，得到旋转后的直线，利用旋转的性质得到，设旋转后的直线解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，即可解题． 【详解】解：记直线解析式与轴交与点，原点为， 直线解析式为， 点A，， 该直线绕点A旋转， 即绕点A逆时针旋转得到， ，， ， 设旋转后的直线解析式为，且直线过点A，， ，解得， 旋转后的直线解析式为． 故答案为：． 32．（2024·山东济南·三模）如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本，改变后y与x的关系图为射线②．两射线与x轴的交点坐标分别是，，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元．      【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出①②的解析式，再把代入解答即可． 【详解】解：设①所在直线的解析式为，则： ， 解得， ①所在所在直线的解析式为； 设②所在直线的解析式为，则： ， 解得， ②所在直线的解析式为， （万元）， 即改变后的收支差额较之前增加万元． 故答案为：． 33．（2024·吉林长春·三模）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上，其纵向截面如图①，左右轮廓线、都可以近似着成是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为 ，水杯高度为．杯口直径为 ，以杯底的中点O为原点、所在直线为x轴、的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．现将水杯绕点A倾斜倒出部分水，如图②，使得杯中水面，当倾斜角时， 水面宽度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出抛物线的解析式时解题的关键．设抛物线的解析式为，把点，代入中，求出抛物线的解析式，在坐标系中作出，求出的解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，， 设抛物线的解析式为， 将点、坐标代入得，解得， 则解析式为， 如图，易知， 设、分别与轴交于点、， 在中，， ∴， 即，， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， 将代入 ，得， ∴， ∴． 故答案为：14． 34．（2024·浙江宁波·三模）如图，直线的表达式为，与坐标轴交于点，，过点作交反比例函数于点，若的中点也在反比例函数图象上，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 作轴，则，可得，设点坐标为，由中点坐标公式得到点坐标，列出方程求出，则点坐标可知，继而求出值即可． 【详解】 解：如图，作轴，垂足为， ∵直线的表达式为， 当时，， 当 时， ， ∴，． ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴， 设点坐标为， ∵为线段中点， ∴， ∵点、都在反比例函数图象上， ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：14． 35．（2024·湖北黄石·三模）某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． (1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； (2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 【答案】(1) (2)第32天时利润最大，为4000元 (3)日销售利润不低于3510元的天数为22天 【分析】（1）门店销售方式每天的售价第20天的售价超过20天的天数； （2）时，电商销售的利润电商销售每件玩具的利润销售量，进而根据函数的增减性和自变量的取值范围可得对应天数及此范围内的最大利润；当时，门店销售的利润门店销售每件玩具的利润销售量，整理成顶点式，可得此范围内的对应的天数及最大利润，比较后可得最大利润及对应天数； （3）当时，令，求得的取值范围可得相应的天数；当时，令，求得的取值范围可得相应的天数，综合两种情况可得日销售利润不低于3510元的总天数． 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用．分电商销售和门店销售两种情况探讨函数的最大值及日销售利润不低于3510元的天数是解决本题的难点． 【详解】（1）解：依题意，∵前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元 ∴ ． （2）解：①当时， ． ， 随的增大而增大， 当时，最大．的最大值为：元； ②当时， ． ， 当时，有最大值4000元， ， 第32天时利润最大，为4000元． （3）解：由（2）知，当时， ， 解得：， 共有2天； 当时， ， ， ，共20天， 综上，日销售利润不低于3510元的天数为22天． 反比例函数 36．（2024·山西大同·三模）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 37．（2024·河北邯郸·三模）函数与函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中a为常数，令，则p的值为（    ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，二次函数的图象上纵坐标相同的点关于轴对称．点，使得的左右两边相等． 【详解】解：设点，在二次函数图象上，点在反比例函数的图象上．因为、关于轴对称， ， ，，在反比例函数图象上，则， ． 故选：D． 38．（2024·山东聊城·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是关键． 作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，通过，求得、的坐标，根据全等三角形的性质可以求得、的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得的坐标，求出，即可求出． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点， 在中，令，解得：，即的坐标是． 令，解得：，即的坐标是． 则． ∵， ∴， 又∵直角中，， ∴， 在和中， ， ∴， 同理，， ， 故的坐标是的坐标是． 代入得：，则函数的解析式是：． ， 则的横坐标是2，把代入得：． 即的坐标是， ， ， 故选：B． 39．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【详解】解：作于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴， ， 而， ， 故选：A． 40．（2024·江苏淮安·三模）已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟悉掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，即， ∴当时，y的值可以是． 故选：D． 41．（2024·安徽蚌埠·三模）如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．先把P点的纵坐标代入一次函数中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入双曲线中可计算出k的值． 【详解】解：∵， ∴P点的纵坐标为2， 把代入得， 所以P点坐标为， 把代入得， 解得． 故k的值为． 故选：D． 42．（2024·吉林长春·三模）将四个边长均为1的小正方形拼成“L”型模具如图摆放，其中两个顶点位于x轴正半轴上，一个顶点位于y轴正半轴上，一个顶点在函数 的图象上，则k的值为（　）．    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，进而根据勾股定理求得，证明得到求出，， 同理可得得到求得、，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】解：如图：过点P作轴于点E，    依题意得：， 在中 ，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即, ∴、, ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B． 43．（2024·吉林长春·三模）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的高与底面积的情况分别用点、、、表示，其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个长方体中体积最大的是（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 根据题意可知的值即为长方体的体积，设点在的反比例函数的关系式为，再根据图象，点在反比例函数图象上面，即点的值最大，即可确定的长方体的体积最大，即可选出． 【详解】解：∵其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数 ∴的长方体的体积相同， ∵点在反比例函数图象上面，点在反比例函数图象下面， ∴的长方体的体积最大，即点的值最大，的长方体的体积最小，即点的值最小， ∴丁的长方体的体积最大． 故选：． 44．（2024·山东济南·三模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ，， 点在第三象限， ， 又， ， ， 故选：C． 45．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据点，，k是常数，，可知点P在函数的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象，观察反比例函数图象和正弦函数在的图象最多能有几个交点即可求解． 【详解】解： ，k是常数，， 点P在函数（）的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象如图所示， 根据图象可知，反比例函数（）图象和正弦函数在的图象交点最多为4个， 满足条件的点P的个数最多是4个． 故选：C． 46．（2024·四川南充·三模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】A 【分析】连接，过点作轴于点，延长交于点，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得为等腰直角三角形，四边形为正方形，四边形为矩形，求出点的坐标即可． 【详解】解：连接，过点作轴于点，延长交于点， 则：， ∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点， ∴轴，轴， ∴轴， ∴， ∴四边形为正方形； ∵， ∴， ∴，； ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵C为优弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查求反比例函数的值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形．本题的综合性较强，难度较大． 47．（2024·陕西西安·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点边不动，将正方形向左下方推动变形，得到菱形的对应点分别为，且点在y轴上．若一个反比例函数经过点，则该反比例函数的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，反比例函数；根据题意得出，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵一个反比例函数经过点，设反比例函数解析式为， ∴， ∴解析式为 故答案为：． 48．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点A，，在反比例函数的图象上，则 ．（填“>”“<”或“＝”） 【答案】< 【分析】本题考查了反比例函数解析式，比较函数值的大小．熟练掌握反比例函数解析式，比较函数值的大小是解题的关键． 将A代入得，，即，将，代入，计算然后比较的大小即可． 【详解】解：将A代入得，， ∴， 将，代入得，，， ∴， 故答案为：<． 49．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，若，的面积为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定；过作轴于，证明，得出，即可确定的值． 【详解】解：过作轴于，如图：   轴，轴， ． ， ， ， ， 的面积为， ， ， ， 的面积：的面积：， 的面积为， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故答案为：． 50．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，若函数（）的图象经过点和，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查求反比例函数的自变量，根据函数图象上的点满足函数解析式，列出方程求解即可． 【详解】解：∵函数（）的图象经过点和， ∴， 解得：； 故答案为：3． 51．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题； （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 52．（2024·山西晋城·三模）生活中做拉面的过程渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条总长度与面条粗细（横截面面积）存在一定的函数关系；项目化学习小组的同学用一块面团进行了试验，并将数据整理如下： 面条粗细 … 0.4 0.3 0.2 0.1 … 面条总长度 … 33 44 66 132 … 根据以上数据可知，当面条总长度为220cm时，面条粗细为 ． 【答案】0.06 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 根据数据判断是反比例函数，再用待定系数法求出反比例函数解析式，将代入解析式计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据，，判断该函数为反比例函数， 设反比例函数解析式为， 当时，， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：0.06． 53．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据的几何意义解答即可． 【详解】解：连接、，由的几何意义， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ， ， ， ． 故答案为：． 54．（2024·湖南益阳·三模）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得点，则有，然后再把点C的横坐标代入进行求解即可． 【详解】解：∵点D是的中点，且点， ∴点，即， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点C的横坐标为8， ∴， ∴点C的坐标为； 故答案为． 55．（2024·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    【答案】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，设点B的坐标为，得到点P的坐标为，点C的坐标是，根据点C和点P同时在反比例函数图象上得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵四边形是平行四边形，A点的坐标为，O点的坐标为， ∴点P是、的中点， ∴点P的坐标为，即， ∴点C的坐标是 ∵点C和点P同时在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为 故答案为：． 56．（2024·湖北黄石·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出满足的x的取值范围； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）通过观察图象即可求得． 【详解】（1）解：反比例函数过， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入， 得， ∴， 将，代入， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，满足的x的取值范围或． 57．（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，，， (2)点P的坐标为或 【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴． 将代入，得， ∴． 如图，过点A作轴于点D，则．    ∵点A，B关于原点O对称， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，． 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴． 又∵， ∴与不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，． ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， 又∵，， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键． 58．（2024·辽宁大连·三模）如图，点在反比例函数图象上，点在点下方，且点坐标为，连接，过点作轴交于点，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的函数解析式； (2)观察图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)当时，自变量的取值范围为 (3) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由函数图象即可得出答案； （3）先求出直线的解析式为，从而得出，，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为； （3）解：设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的纵坐标为， ∴， 解得：，即， ∵轴， ∴点的横坐标为， 在中，当时，，即， ∴， ∴． 59．（2024·河南周口·三模）如图，已知点在反比例函数 的图象上； 轴于点B，过点B作的平行线，过点作x轴的垂线，两者在第一象限交于点D，与反比例函数的图象交于点E． (1)求k的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为点在反比例函数的图象上，所以把代入进行计算，即可作答． （2）先求出，再证明，列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意将点代入， 得 ∴ （2）解：由题意得 ∵与反比例函数的图象交于点E． ∴ ∵轴，轴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴. 60．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质： （1）将点A代入即可求函数解析；将点B代入，求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入，可求一次函数的解析式；求出点代入，可求m的值； （2）射线交x轴于点M，连接，此时有最大值，求出与x轴的交点即为所求点． 【详解】（1）解：（1）∵图象过点， ∴， ∴； 把点代入， ∴， ∴， ∵过点A，B， ∴把和代入得， ， 解得， ∴， ∵关于x轴对称点在图象上， ∴； （2）解：由（1）得，，，点C关于x轴的对称点为，射线交x轴于点M，连接， ∴， ∴，此时有最大值， 设的解析式为， 把，分别代入中， ， ∴， ∴的解析式为， 令，则， ∴当最大时M的坐标为． 61．（2024·河南南阳·三模）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)10 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； （3）解：如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴ 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 一次函数和反比例函数 命题点1 函数基础知识 命题点3 反比例函数 命题点2 一次函数 试卷第2页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数和反比例函数-（原卷版） 命题点1 函数基础知识 1．（2024·江苏无锡·三模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南周口·三模）如左图，动点P从的直角顶点C出发，先沿一条直角边运动到某点，接着又沿一条直线运动到斜边AB上某点，设点P运动的路程为：x， ，右图是点P运动时y随x变化的关系图象，根据图中信息可得 的面积为（   ） A．4 B． C．8 D． 3．（2024·江苏扬州·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁大连·三模）对于一些圆锥曲线而言，从它们的一个焦点射出的一束光线会在它们的曲面上发生反射从另一个焦点射出．但是抛物线比较特殊，由于离心率，经过它焦点的光线的反射光线会与焦点所在的坐标轴平行．根据以上信息解答：如图，一条抛物线的对称轴为x轴，它的焦点在x轴正半轴，从射出一条光线交抛物线于C，点B在其反射光线上，若，图中所示虚线为法线，则反射角度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏徐州·三模）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（单位：平万米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（   ） A．40平方米 B．50平方米 C．70平方米 D．平方米 6．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边的面积为，则A点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东菏泽·三模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 8．（2024·安徽六安·三模）函数     自变量的取值范围为 ； 9．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）函数的自变量x的取值范围是 ． 10．（2024·山东济南·三模）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书，小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家．小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速度返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示（米）、（米）与t之间的函数关系的图象．小明在返回途中追上爸爸时距离家还有 米． 11．（2024·广东揭阳·三模）已知函数，则自变量x的取值范围是 ． 12．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ． 13．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 14．（2024·广西南宁·三模）世界上大部分国家都使用摄氏温度（），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（），两种计量之间有如下对应： 摄氏温度 0 华氏温度 (1)请在所给的平面直角坐标系中描出上表中相应的点，并用光滑的线连接； (2)观察你画出的图象，猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求出y与x之间的函数表达式； (3)求华氏0度时所对应的摄氏温度． 15．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 16．（2024·吉林长春·三模）如图①，公路上依次有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站出发以速度匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度匀速驶向C站，汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示． (1)__________千米/小时，__________千米/小时； (2)当汽车在B、C两站之间匀速行驶时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米，直接写出这段路程开始时x的值． 17．（2024·天津·三模）已知小明家、书店、森林公园依次在同一条直线上，书店离家，  森林公园离家．小明从家里出发，匀速骑行后到达书店，在书店停留后，匀速骑行9分钟到达森林公园：在森林公园游玩一段时间，然后返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 5 (2)填空： ① a的值为 ②小明从家出发前往书店的骑行速度为 ； ③当 时，请直接写出小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式． (3)小明从森林公园出发回家时，爸爸从家开车出发匀速行驶前往森林公园，已知爸爸的速度为0.8km/min，当小明与爸爸相遇时，求小明离开家的时间．（直接写出结果） 18．（2024·江苏徐州·三模）如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1小时后按原路原速驶往B地．结果乙车比甲车早1小时到达B地，如图是甲、乙两车距B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为________千米/时，A、C两地的距离为________千米； (2)求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出在两车行驶的过程中，两车出发多长时间距C地的距离相同． 命题点2 一次函数 20．（2024·辽宁大连·三模）关于一次函数的一些性质，下列说法正确的是（    ） A．与y轴的交点为 B．随着x的增大而减小 C．与垂直 D．与平行． 21．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，若直线与轴交于点，与直线交于点，则交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 22．（2024·广西崇左·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·安徽滁州·三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点 B，若点 B 在直线上，则实数m的值为（       ） A． B．0 C．4 D．6 24．（2024·山东菏泽·三模）点和在一次函数(、为常数，且)的图象上，已知，且当时，，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 25．（2024·河南濮阳·三模）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（    ）      A． B． C． D．18 26．（2024·辽宁盘锦·三模）、两地相距，甲、乙两人分别从、两地沿同一条公路相向而行，他们离地的距离与时间的函数关系如图，则乙从出发到与甲相遇的时间为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去地，途经地休息1分钟，继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行从地匀速前往地．甲、乙两人距地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示．则以下结论正确的有（    ）个． ①甲的骑行速度为240米/分； ②点的坐标为； ③甲返回时距地的路程与时间之间的函数关系式； ④在甲返回地之前，经过4分钟或6分钟，两人距地的路程相等． A．4 B．3 C．2 D．1 28．（2024·江苏南京·三模）若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 29．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 30．（2024·陕西咸阳·三模）已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限，且点在反比例函数的图象上，若，则的值可能是 ．（写出一个即可） 31．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ． 32．（2024·山东济南·三模）如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本，改变后y与x的关系图为射线②．两射线与x轴的交点坐标分别是，，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加 万元．      33．（2024·吉林长春·三模）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上，其纵向截面如图①，左右轮廓线、都可以近似着成是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为 ，水杯高度为．杯口直径为 ，以杯底的中点O为原点、所在直线为x轴、的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．现将水杯绕点A倾斜倒出部分水，如图②，使得杯中水面，当倾斜角时， 水面宽度为 ． 34．（2024·浙江宁波·三模）如图，直线的表达式为，与坐标轴交于点，，过点作交反比例函数于点，若的中点也在反比例函数图象上，则 ． 35．（2024·湖北黄石·三模）某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． (1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； (2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 命题点3 反比例函数 36．（2024·山西大同·三模）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·河北邯郸·三模）函数与函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中a为常数，令，则p的值为（    ） A．1 B．a C． D． 38．（2024·山东聊城·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．1 39．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 40．（2024·江苏淮安·三模）已知函数的函数值y随x的增大而增大，当时，y的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 41．（2024·安徽蚌埠·三模）如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 42．（2024·吉林长春·三模）将四个边长均为1的小正方形拼成“L”型模具如图摆放，其中两个顶点位于x轴正半轴上，一个顶点位于y轴正半轴上，一个顶点在函数 的图象上，则k的值为（　）．    A．5 B．6 C．7 D．8 43．（2024·吉林长春·三模）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的高与底面积的情况分别用点、、、表示，其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个长方体中体积最大的是（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 44．（2024·山东济南·三模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 45．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 46．（2024·四川南充·三模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　） A． B． C．12 D．16 47．（2024·陕西西安·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点边不动，将正方形向左下方推动变形，得到菱形的对应点分别为，且点在y轴上．若一个反比例函数经过点，则该反比例函数的表达式为 ．    48．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点A，，在反比例函数的图象上，则 ．（填“>”“<”或“＝”） 49．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，若，的面积为，则的值为 ．    50．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，若函数（）的图象经过点和，则m的值为 ． 51．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题： （1）内整点的个数最多有 个； （2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ． 52．（2024·山西晋城·三模）生活中做拉面的过程渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条总长度与面条粗细（横截面面积）存在一定的函数关系；项目化学习小组的同学用一块面团进行了试验，并将数据整理如下： 面条粗细 … 0.4 0.3 0.2 0.1 … 面条总长度 … 33 44 66 132 … 根据以上数据可知，当面条总长度为220cm时，面条粗细为 ． 53．（2024·四川南充·三模）如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ． 54．（2024·湖南益阳·三模）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 55．（2024·浙江舟山·三模）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．    56．（2024·湖北黄石·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出满足的x的取值范围； 57．（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 58．（2024·辽宁大连·三模）如图，点在反比例函数图象上，点在点下方，且点坐标为，连接，过点作轴交于点，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的函数解析式； (2)观察图象，当时，请直接写出自变量的取值范围； (3)连接，求的面积． 59．（2024·河南周口·三模）如图，已知点在反比例函数 的图象上； 轴于点B，过点B作的平行线，过点作x轴的垂线，两者在第一象限交于点D，与反比例函数的图象交于点E． (1)求k的值； (2)求的长． 60．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 61．（2024·河南南阳·三模）如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 一次函数和反比例函数 命题点1 函数基础知识 命题点3 反比例函数 命题点2 一次函数 试卷第18页，共19页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$