第17讲 线段、射线、直线与比较线段的长短【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第17讲 线段、射线、直线与比较线段的长短 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解直线、射线与线段的概念；理解两点确定一条直线与两点之间线段最短的事实； 2．掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，以及它们的联系与区别； 3．知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算。 知识点一 线段、射线、直线 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 ( B ) ( A ) ( A ) ( B ) ( B ) ( A ) 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 知识点二 直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 知识点三 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点四 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点五 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点六 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 考点一：直线、射线、线段的联系与区别 例1．（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级校联考开学考试）下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 【变式1-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）射线、线段都是 的一部分，射线有 个端点，线段有 个端点． 考点二：画直线、射线、线段 例2.（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）已知A，B，C，D四点．    (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)连接，并延长与射线交于点F． 【变式2-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）如图，平面上有三点、、，请按照下列语句画出图形并作答．    (1)画直线，射线； (2)连接，并延长至点，使，取的中点； (3)若，求线段的长． 【变式2-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：    (1)画线段交于点； (2)作射线； (3)取一点，使点既在直线上又在直线上； (4)在线段延长线上作线段． 【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)延长线段与直线相交于点E． 考点三：两点确定一条直线、两点之间线段最短 例3. 3．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    【变式3-2】（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    【变式3-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 考点四：作线段（尺规作图） 例4. （2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知线段，．    (1)延长线段到D，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求的长． 【变式4-1】（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）已知：线段， 求作：线段，使    用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 【变式4-2】尺规作图，已知：线段，，求作：（保留作图痕迹，不写作法）．    【变式4-3】如图，点在线段上，点是线段的中点，．    (1)尺规作图：延长线段，并在延长线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求线段的长度． 考点五：线段的应用 例5. （2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【变式5-1】（2023秋·七年级课时练习）由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（    ） A．6种 B．7种 C．21种 D．42种 【变式5-2】（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式5-3】如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A．25 B．20 C．16 D．10 考点六：线段的和与差 例6. （2023秋·七年级课时练习）如图，C，D是线段AB上的两点，且，已知图中所有线段的长度之和为81，则的长为 ．      【变式6-1】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【变式6-2】（2023秋·七年级课时练习）如图所示，则：    （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式6-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知平面上有一条线段，探讨下列问题： (1)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？说明理由； (2)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？若存在，它的位置唯一吗？ (3)当点到两点的距离之和等于时，点一定在直线外吗？请举例说明． 考点七：线段中点的有关计算 例7. （2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点 (1)图中共有 条线段 (2)求线段的长 【变式7-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．    【变式7-2】（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，点B，D在线段上．      (1)填空：①图中有___________条线段； ②______________________； (2)若D是线段中点，，，求线段的长． 【变式7-3】（2023秋·七年级课时练习）已知，在线段上．    (1)如图，共有________条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）； ②若，，则的长为________； (3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）． 考点八：线段n等分点的有关计算 例8. （2023秋·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【变式8-1】（2023秋·陕西宝鸡·七年级校考期末）如图，已知点B在线段上，，，P、Q分别为线段、上两点，，，则线段的长为 ． 【变式8-2】（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级校联考开学考试）如图，数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么线段的长度为 ．    一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，表示方法正确的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 2．（23-24六年级下·山东东营·期中）下列说法正确的是（ ） A．若，则点C在线段上 B．射线和射线表示同一条射线 C．直线比射线长，射线可以延长 D．若，则点P是线段的中点 3．（2024·重庆·二模）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 4．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 5．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）线段上，M为的中点，N为的中点，，，（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24六年级下·山东烟台·期中）在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 7．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 8．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 9．（22-23七年级上·辽宁盘锦·期末）已知直线上有一条线段，，点是线段的中点，点在直线上，且，则线段的长度是 cm ． 10．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 三、解答题 11．（23-24六年级下·全国·假期作业）根据如图所示的图形填空： (1)点B在直线_________，点C在直线_________； (2)点E是直线与_________直线_________的交点，直线与直线相交于点_________； (3)过点A的直线有_________条，分别是__________________． 12．（23-24六年级下·山东烟台·期中）作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)做射线； (2)取一点P，使点P既在直线上又在直线上； (3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A，B，C，D四点距离之和最短．画出点M的位置，并写出该最短距离和是___________． 13．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 14．（23-24六年级下·山东济南·期中）如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段，以A为端点的线段有 条； ② ； (2)若D是线段的中点，，求线段的长． 15．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为________cm； (2)如果，，则的长为_________cm； (3)如果，，求的长，并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 线段、射线、直线与比较线段的长短 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解直线、射线与线段的概念；理解两点确定一条直线与两点之间线段最短的事实； 2．掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，以及它们的联系与区别； 3．知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算。 知识点一 线段、射线、直线 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 ( B ) ( A ) ( A ) ( B ) ( B ) ( A ) 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 知识点二 直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 知识点三 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点四 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点五 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点六 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 考点一：直线、射线、线段的联系与区别 例1．（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级校联考开学考试）下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线． 【变式1-1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 【答案】C 【分析】直线是无端点，向两边无限延伸，取直线上的两个点，用大写字母表示该直线；射线是有一个端点，向一边无限延伸，端点不同，射线不同；线段有两个端点，线段与线段是同一条线段，可度量长度，由此即可求解． 【详解】解：、直线与直线是同一条直线，正确，不符合题意； 、线段与线段是同一条线段，正确，不符合题意； 、射线与射线不是同一条射线，端点不同，射线不同，原选项错误，符合题意； 、射线与线段都是直线的一部分，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念及表示，掌握其概念及表示方法是解题的关键． 【变式1-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示：直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的，用直线上任意两点的大写字母表示，可用一个小写字母表示；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，也可用一个小写字母表示；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，逐项判断，选择答案即可． 【详解】①直线没有尽头，是向两方无限延伸的，即图中只有一条直线，故原说法正确； ②能用字母表示的射线有射线、射线、射线、射线，共4条，故原说法错误； ③线段有线段、线段、线段，一共有三条，故原说法正确； ④直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能再延长，故原说法错误； ⑤延长线段和延长线段的延长方向不同，含义不同，故原说法错误； ⑥观察图形，点B在线段上，该说法正确． 综上，说法中正确的有①、③、⑥这3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，理解直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键． 【变式1-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）射线、线段都是 的一部分，射线有 个端点，线段有 个端点． 【答案】 直线 1/一 2/二/两 【分析】根据射线、线段的定义：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．理解定义，填空即可． 【详解】解：∵直线上的一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段． ∴射线、线段都是直线的一部分，射线有1个端点，线段有2个端点． 故答案为：直线；1；2． 【点睛】本题考查了射线、线段的定义，理解射线、线段的定义是解题的关键． 考点二：画直线、射线、线段 例2.（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）已知A，B，C，D四点．    (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)连接，并延长与射线交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据线段、射线、直线的定义分别画出即可； （2）根据连接两点即为线段得出即可； （3）根据延长线段的方法得出即可． 【详解】（1）解：线段，射线，直线即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，点F即为所求．    【点睛】此题主要考查了线段、射线、直线的定义以及其画法，熟练掌握定义是解题关键． 【变式2-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）如图，平面上有三点、、，请按照下列语句画出图形并作答．    (1)画直线，射线； (2)连接，并延长至点，使，取的中点； (3)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)11 【分析】（1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）按要求作图即可； （3）先根据求出，再根据中点的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2）解：图形如图所示：    （3）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直线，射线，中点的定义，线段的和差关系等，属于基础题，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式2-2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：    (1)画线段交于点； (2)作射线； (3)取一点，使点既在直线上又在直线上； (4)在线段延长线上作线段． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4)作图见详解 【分析】（1）根据线段的概念“有两个端点，不可延伸”，由此即可求解； （2）根据射线的概念“有一个端点，向一边无限延伸”， 由此即可求解； （3）根据直线的概念“无端点，向两边无限延伸”，两直线相交，由此即可求解； （4）根据线段的特点，作线段等于已知线段的方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于点，    （2）解：如图所示，端点为点，作射线，    （3）解：如图所示，连接向两边无限延伸，交于点，    （4）解：如图所示，连接并延长至点，使得，    【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的定义及表示，作法，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键． 【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)延长线段与直线相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据直线、射线、线段的定义作图即可． 【详解】（1）如图所示直线即为所求；    （2）如图所示射线即为所求； （3）如图所示线段即为所求； （4）如图所示点E即为所求． 【点睛】本题考查了线段、射线、直线的定义，解题的关键是注意射线有一个端点，另一端无限延伸；直线没有端点；线段有两个端点． 考点三：两点确定一条直线、两点之间线段最短 例3. 3．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：第一、二、四幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第三幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键． 【变式3-1】（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质即可得解． 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“两点确定一条直线”； 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”，解题的关键是从实际应用中找到数学原理． 【变式3-2】（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质解答即可． 【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 【变式3-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 【答案】 （2） 两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可． 【详解】根据两点之间线段最短， ∴选择第（2）条路线， 故答案为：（2），两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 考点四：作线段（尺规作图） 例4. （2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知线段，．    (1)延长线段到D，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长线段，在延长线上截取即可； （2）先求出，再根据，然后由求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所作，      （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作一条线段等于已知线段，线段和差，熟练掌握作一条线段等于已知线段和线段差的计算是解题的关键． 【变式4-1】（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）已知：线段， 求作：线段，使    用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 【答案】见解析 【分析】作射线，在射线上截取，再以点E为圆心，线段a为半径画弧，交线段于点B，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求，    【点睛】此题考查了线段的作图，熟练掌握线段的作图方法和理清线段之间的关系是解题的关键． 【变式4-2】尺规作图，已知：线段，，求作：（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【分析】在射线上依次截取，在上截取，则线段满足条件． 【详解】解：如图，为所作；   ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式4-3】如图，点在线段上，点是线段的中点，．    (1)尺规作图：延长线段，并在延长线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）延长线段，在延长线上截取即可； （2）根据中点的定义求出，再根据求出，结合即可求解． 【详解】（1）解：， 若，则， 以点B为圆心，长为半径作弧，与线段的延长线的交点即为点D，如下图所示：    ； （2）解：点是线段的中点，， ， ， ， 由（1）知， ． 【点睛】本题考查尺规作图——作一线段等于已知线段，中点的定义，线段的和差关系等，难度一般，解题的关键是熟练掌握上述知识点． 考点五：线段的应用 例5. （2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 【变式5-1】（2023秋·七年级课时练习）由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（    ） A．6种 B．7种 C．21种 D．42种 【答案】D 【分析】从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以需要×2，即可得出答案． 【详解】共制作的车票数＝2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝42（种）． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段、射线、直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实际问题． 【变式5-2】（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据题意确定出数学模型，五点确定出线段的条数，计算即可得出答案． 【详解】根据题意得：从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有：种 故选C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键． 【变式5-3】如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（　　）种车票． A．25 B．20 C．16 D．10 【答案】B 【分析】观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5-1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：5×（5-1）=20， 故选：B 【点睛】本题考查了线段的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 考点六：线段的和与差 例6. （2023秋·七年级课时练习）如图，C，D是线段AB上的两点，且，已知图中所有线段的长度之和为81，则的长为 ．      【答案】9 【分析】根据，可得，，图中所有的线段有：，，，，，，再根据所有线段的长度之和为81，列出等式求出，问题随之即可作答． 【详解】∵， ∴，， 结合图形可知，共有线段6条：，，，，，， ∵图中所有线段的长度之和为81， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了线段的和差等数量关系的计算，找出图中所有的线段为，，，，，，是解答本题的关键． 【变式6-1】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：    ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：    ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 【变式6-2】（2023秋·七年级课时练习）如图所示，则：    （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 / / / / 【分析】结合图形，根据线段的和差的计算方法计算即可． 【详解】（1）结合图形有： ； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差，注重数形结合，是解答本题的关键． 【变式6-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知平面上有一条线段，探讨下列问题： (1)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？说明理由； (2)平面上是否存在一点，使它到两点的距离之和等于？若存在，它的位置唯一吗？ (3)当点到两点的距离之和等于时，点一定在直线外吗？请举例说明． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在，位置不唯一 (3)不一定，见解析 【分析】（1）根据两点之间线段最短，进行作答即可； （2）根据线段的和差计算，进行说明即可； （3）根据线段的和，进行说明即可． 【详解】（1）解：不存在．理由：因为两点之间，线段最短， 所以． 而， 所以． 即平面上不存在一点，使它到两点的距离之和等于． （2）存在． 当点在线段上时，； 点的位置不唯一，它是线段上的任意一点． （3）不一定．如图所示（当点在线段的延长线上，且时也符合题意）：    ，符合题意． 【点睛】本题考查线段的和差计算．熟练掌握两点之间线段最短，是解题的关键． 考点七：线段中点的有关计算 例7. （2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点 (1)图中共有 条线段 (2)求线段的长 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数； （2）由M是中点可得长度，求出的长，由N是中点知，进而可得长． 【详解】（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条． 故答案为：10； （2）∵，M是的中点， ∴． ∵，， ∴， 又∵N是的中点， ∴； ∴． 【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．数形结合是解答本题的关键． 【变式7-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．    【答案】 【分析】先根据设，则，再利用中点的性质用x表示出的长，然后利用计算出x的值，再利用，就可以得到的长. 【详解】解：因为， 所以设，，． 因为，分别是，的中点， 所以，． 所以， 所以． 所以． 【点睛】本题考查线段的和差，中点定义，巧设未知数表示线段的长是解题的关键． 【变式7-2】（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，点B，D在线段上．      (1)填空：①图中有___________条线段； ②______________________； (2)若D是线段中点，，，求线段的长． 【答案】(1)①6；②， (2) 【分析】（1）①由图可得答案为6；②由线段和差可得答案； （2）设为，表示出长，再列出方程，计算即可． 【详解】（1）解：①图中共有6条线段，分别是：、、、、、， 故答案为：6． ②其中， 故答案为：，． （2）设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分的计算，中点的性质应用是解题关键． 【变式7-3】（2023秋·七年级课时练习）已知，在线段上．    (1)如图，共有________条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）； ②若，，则的长为________； (3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）． 【答案】(1)6 (2)①=；②20 (3) 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出与的长度，分析关系即可． 【详解】（1）解：图中有线段：，，，，，，共6条． （2）解：①因为，所以，即． ②因为，，所以， 因为，所以， 所以． （3）解：如图1，    当点在的延长线上， 设，则． 因为为的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 如图2，    当点在线段上时， 设，则． 因为为的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． 考点八：线段n等分点的有关计算 例8. （2023秋·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可； （2）由，可得，然后根据求解即可； （3）仿照（2）的过程求解即可． 【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点 ∴ ∵ ∴ （2）①∵ ∴ ∵ ∴； ② ． 【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【变式8-1】（2023秋·陕西宝鸡·七年级校考期末）如图，已知点B在线段上，，，P、Q分别为线段、上两点，，，则线段的长为 ． 【答案】7 【分析】根据已知条件算出BP和CQ，从而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到结果． 【详解】解：∵AB=9，BP=AB， ∴BP=3， ∵BC=6，CQ=BC， ∴CQ=2， ∴BQ=BC-CQ=6-2=4， ∴PQ=BP+BQ=3+4=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键． 【变式8-2】（2023秋·黑龙江双鸭山·七年级校联考开学考试）如图，数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么线段的长度为 ．    【答案】 【分析】根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，，据此得到跳动n次后，离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度． 【详解】解：由于 所以第一次跳动到的中点处时，， 同理第二次从点跳动到处，离原点的处， 第三次从点跳动到处，离原点的处， ， 跳动n次后，离原点的长度为， 故线段的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴两点间的距离，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律． 一、单选题 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，表示方法正确的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的表示方法，根据直线、射线和线段的表示方法逐项进行判断即可． 【详解】解：不能用一个大写字母表示直线，故①错误； 可以用一个小写字母表示射线，故②正确； ③中的射线应表示为射线，故③错误； 可用表示线段两个端点的大写字母表示线段，故④正确； 综上，表示方法正确的只有②④． 故选：B． 2．（23-24六年级下·山东东营·期中）下列说法正确的是（ ） A．若，则点C在线段上 B．射线和射线表示同一条射线 C．直线比射线长，射线可以延长 D．若，则点P是线段的中点 【答案】A 【分析】本题考查了线段，射线，直线．熟练掌握线段，射线，直线是解题的关键． 根据线段，射线，直线对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，当若，点C在线段上，A正确，故符合要求； 射线和射线不表示同一条射线，B错误，故不符合要求； 直线与射线无法比较大小，C错误，故不符合要求； 由，无法判断点P是线段的中点，D错误，故不符合要求； 故选：A． 3．（2024·重庆·二模）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短． 【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：两点之间，线段最短． 故选A． 4．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 5．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）线段上，M为的中点，N为的中点，，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．先由，再根据中点的性质得，，最后由线段的和差关系即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24六年级下·山东烟台·期中）在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 【答案】射线 【分析】本题主要考查射线的定义，根据直线，射线和线段的区别即可得出答案． 【详解】手电筒可近似看成一个点，所以手电筒发射出来的光线相当于一个从一个端点出发的一条射线， 故答案为：射线． 7．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握这一知识点是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 8．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（22-23七年级上·辽宁盘锦·期末）已知直线上有一条线段，，点是线段的中点，点在直线上，且，则线段的长度是 cm ． 【答案】1或7 【分析】本题考查的是两点间的距离．由于点在直线上，故分点在之间与点在外两种情况进行讨论． 【详解】解：如图1所示， 线段，是的中点， ， ． 如图2所示， 线段，是的中点，， ， 故答案为：1或7． 10．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24六年级下·全国·假期作业）根据如图所示的图形填空： (1)点B在直线_________，点C在直线_________； (2)点E是直线与_________直线_________的交点，直线与直线相交于点_________； (3)过点A的直线有_________条，分别是__________________． 【答案】(1)上，外 (2) (3)3，直线，直线，直线 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键． （1）观察图形，根据点与直线的位置关系进行判断即可； （2）确定经过点E的直线是哪两条即可得出结论；观察图形确定直线与直线的交点即可； （3）观察图形确定过点A的直线即可解答． 【详解】（1）解：点B在直线上，点C在直线外， 故答案为：上，外； （2）解：点E是直线与直线的交点，直线与直线相交于点F， 故答案为：； （3）解：过A点的直线有3条，分别是直线，直线，直线， 故答案为：3，直线，直线，直线． 12．（23-24六年级下·山东烟台·期中）作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)做射线； (2)取一点P，使点P既在直线上又在直线上； (3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A，B，C，D四点距离之和最短．画出点M的位置，并写出该最短距离和是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查射线，直线和线段，以及线段的性质： （1）根据射线的定义，作图即可； （2）直线的交点即为点； （3）两点之间线段最短，得到，的交点即为点，再进行求解即可． 【详解】（1）解：作射线，如图； （2）直线和直线的交点就是点P； （3）连接，交于M，点M即为所求，最短距离和是 13．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据线段的定义即可求解； （）根据线段中点定义及线段和差关系即可求解； （）利用线段和差关系求出，再根据线段的比即可求解； 本题考查了线段，线段的和差，中点的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，线段共有条， 故答案为：； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24六年级下·山东济南·期中）如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段，以A为端点的线段有 条； ② ； (2)若D是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)①6，3；② (2) 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算： （1）①根据线段的定义，进行求解即可；②根据线段的和与差进行作答即可； （2）根据中点得到，进而得到，求出的长，再利用计算即可． 【详解】（1）解：①由图可知，图中有，共6条线段，以A为端点的线段有3条， 故答案为：6，3； ②由图可知：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为________cm； (2)如果，，则的长为_________cm； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1) (2)14 (3)． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出的长，利用线段中点的性质，得出，． （1）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：14； （3）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$