5.4.1 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性概念课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 学习目标 素养要求 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义 数学抽象 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期 数学运算 3．了解三角函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 逻辑推理 | 自 学 导 引 | 　　　　周期函数 1．周期函数 条件 ①设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个________常数T ②对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__________＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 非零　 f(x＋T)　 2．最小正周期 条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_________ 结论 这个最小_________叫做f(x)的最小正周期 正数　 正数　 【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)． (　　) (2)任何周期函数都有最小正周期． (　　) (3)若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T． (　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√ 【解析】(1)周期函数的定义域一定为无限集，且无上、下界． (2)常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期． (3)f(x＋2T)＝f((x＋T)＋T)＝－f(x＋T)＝－(－f(x))＝f(x)，所以f(x)的周期为2T． 　　　　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 _________ _________ 奇偶性 _________ _________ 2π　 2π　 奇函数　 偶函数　 函数y＝Asin ωx＋φ及y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的周期T＝_______． 【答案】D | 课 堂 互 动 | (3)作图如下：         观察图象可知最小正周期为π． 1．(1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 (　　) 【答案】(1)D　(2)D (3)因为f(x)＝(ln|x|)·sin x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， f(－x)＝(ln|－x|)·sin(－x)＝－(ln|x|)·sin x＝－f(x)． 所以f(x)＝(ln|x|)·sin x为奇函数． 判断函数奇偶性的两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称． 关键点二：看f(－x)与f(x)的关系． 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， 又因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． (2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1， 从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0， 故该函数既是奇函数又是偶函数． 题型3　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 　　　　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是 (　　) A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x| 【答案】(1)D　(2)D 【例题迁移】　(变换条件)若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？ 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个． | 素 养 达 成 | 1．求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T． (2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|． 2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性(体现了数学运算和逻辑推理核心素养)． 【答案】B 【答案】D 3．(题型3)写出一个最小正周期为3的非奇非偶函数____________． 4．(题型2)y＝xsin x＋x2cos 2x是_________(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)函数． 【答案】偶 【解析】函数y＝f(x)＝xsin x＋x2cos 2x的定义域为R，且易知f(－x)＝f(x)，故函数是偶函数． 　 【预习自测】 函数y＝sin是 (　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 【解析】因为y＝sin＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 题型1　求三角函数的周期 　　　　求下列函数的最小正周期： (1)y＝2sin，x∈R； (2)y＝1－2cos，x∈R； (3)y＝|sin x|，x∈R． 解：(1)因为2sin＝2sin＝2sin， 所以自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，函数y＝2sin，x∈R的值才能重复出现． 所以函数y＝2sin，x∈R的最小正周期是4π． (2)因为1－2cos＝1－2cos＝1－2cos， 所以自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos，x∈R的值才能重复出现． 所以函数y＝1－2cos，x∈R的最小正周期是4． 求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝． (3)观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 　　　　 A　　　　　　　　　　　　B 　　　　 C　　　　　　　　　　　　D (2)下列函数中，周期为的是 (　　) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x 【解析】(1)对于D，x∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． (2)选项A，周期T＝＝4π；选项B，周期T＝＝π；选项C，周期T＝＝8π；选项D，周期T＝＝． 题型2　三角函数的奇偶性 　　　　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin xcos x； (2)f(x)＝cos2； (3)f(x)＝(ln|x|)·sin x． 解：(1)因为f(x)＝sin xcos x的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，所以函数f(x)＝sin xcos x是奇函数． (2)因为f(x)＝cos2＝sin22x的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝sin2(－2x)＝(－sin 2x)2＝sin22x＝f(x)，所以函数f(x)＝cos2是偶函数． 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝＋． C．y＝sin D．y＝cos (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于 (　　) A．－ B． C．－ D． 【解析】(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π． (2)f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝． 解：f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin＝－． (3)φ＝kπ(k∈Z)时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，y＝Acos(cos＋φ)是偶函数； φ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数． (3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝． 1．(题型1)函数y＝3sin的最小正周期是 (　　) A．2π B． C． D．π 【解析】函数y＝3sin的最小正周期是T＝＝．故选B． 2．(题型1)函数f(x)＝cos的最小正周期为 (　　) A． B．π C．2π D．4π 【解析】函数f(x)＝sin的最小正周期为＝4π．故选D． 【答案】2sin(答案不唯一) 5．(题型2)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝x·cos x． 解：(1)f(x)的定义域是R，且f(x)＝sin＝－cosx，所以f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数． (2)f(x)的定义域是R，又因为f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． $$