专题09 探索与表达规律的两种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题09 探索与表达规律的两种考法 目录 【考法一、图形类规律探索】 1 【考法二、数字类规律探索】 6 【课后训练】 12 【考法一、图形类规律探索】 例．【观察思考】 作一个正方形、设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续操作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案． 【规律发现】 请用含a的式子填空： （1）正方形进行第次分形后得到了图，此图形的周长为______； （2）重复上述的操作，图需要经过第____次分形后才能得到图3的图案． 请用含和的式子填空： （3）经过次分形得到的图案周长为______，面积为______． 【规律应用】 （4）结合上述规律，若分形前正方形的边长为，是否存在不大于的正整数，使得按规律排序的一段正整数之和等于经过次分形得到的图案周长的倍．若存在，求出的所有的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4） 【分析】（1）观察图形，发现对正方形每进行1次变化，周长增加1倍，故可求解； （2）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，由图（3）的图形，得出图（1）经过第2次分形后即可得到； （3）观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变； （4）分别求得连续整数的和与经过次分形得到的图案周长的倍，进而分析即可求解． 【详解】（1）对正方形进行第次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），原图形的周长为， 观察图形，发现对正方形每进行次变化，周长增加倍，故此时图形的周长为， 故答案为：； （2）重复上述的作法，图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形， 故答案为：； （3）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行次分形，周长增加倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变． 经过次分形得到的图形周长是，面积是． 故答案为：． （3）∵ 经过次分形得到的图案周长的倍为 ∴，当时，等式成立， ∵，连续的两个数的乘积为， ∵的个位数分别为，，，， 当，不存在， ∴， 变式1．如图，1~5号正方形边长分别为1，2，3，4，5，可得出以下规律： …… 根据以上规律，解答下列问题： (1) (2) （用含n的式子表示，需化简） (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字与图形的变化规律，解决本题的关键是熟练掌握从数字变化中总结规律， （1）由前面几组数据总结出； （2）由前面几组数据总结出； （3）由（3）总结出的规律求值即可； 【详解】（1） 故答案为：； （2） …… 故答案为：； （3）将代入得： 变式2．【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形． 【探索】 （1）已知长方形的邻边长分别为1和，且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 　　阶方形． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】本题考查了图形类规律探究； （1）根据题意有四个值，根据阶方形可得，，，，分别画出图形，即可求解； （2）先计算，前五个正方形边长都为，后四个正方形边长都为，所以矩形是8阶方形． 【详解】解：（1）根据3阶方形的定义做出如下4种情况： 有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1； 当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； （2），， ， 作图如下： 由图可知，这个长方形为8阶方形． 故答案为：8． 变式3．用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去． (1)第5个图形用的棋子的个数为______，第n个图形用的棋子个数为______； (2)若第m个图形用的棋子个数超过57个，求m的最小值． 【答案】(1)14，；(2)27 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子的个数依次增加2是解题的关键． （1）依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形所用棋子的个数为：； 第2个图形所用棋子的个数为：； 第3个图形所用棋子的个数为：； 第4个图形所用棋子的个数为：； ， 所以第个图形所用棋子的个数为个， 当时， （个， 即第5个图形所用棋子的个数为14个． 故答案为：14，． （2）解：由（1）知，，解得， 又m是正整数，所以m的最小值为27． 变式4．将菱形如图进行如下划分，第次划分：分别连接菱形对边的中点如图，得线段和，它们交于点，此时图中共有个菱形；第次划分：将图左上角菱形按相同方式再划分如图，则图中共有个菱形．      (1)若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第次划分后图中共有 个菱形． (2)能否将菱形划分成有个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由． (3)设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 ．(直接写出答案即可) 【答案】(1)(4n+1) (2)能，第16次划分后能将菱形ABCD划分成有65个菱形的图形 (3) 【分析】本题考查了图形的规律， （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）构建方程即可解决问题； （3）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵第一次可得个正方形，第二次可得个正方形， 第三次可得个正方形，……∴第次可得个正方形， 故答案为：； （2）能，理由如下：            令，解得 第次划分后能将菱形划分成有个菱形的图形． （3）由题意 【考法二、数字类规律探索】 例．阅读下面文字，回答后面问题：求的值． 解：令① 将等式两边同时乘5，得 ② ②①，得， ． 问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了数字类变化规律、有理数的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）令将等式两边同时乘2得，由即可求得答案； （2）令，将等式两边同时乘3得，求出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：令 将等式两边同时乘2得， 得； （2）解：， 令， 将等式两边同时乘3得， 得， ， ． 变式1．观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第5个式子： ； (2)请写出你猜想的第n个式子(用含n的等式表示， ，且为整数)，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察等式发现规律，总结规律． （1）观察前几个等式的规律，即可写出第5个等式； （2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式，证明式子左右两边相等即可． 【详解】（1）解∶ （2）猜想：， 证明：左边 ， 右边 ， 左边右边，即证． 变式2．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想________； (2)； (3)若， 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据各式的变化规律即可得； （2）根据（1）中的规律，将各项拆分成两项，再计算加减法即可得； （3）先求出，从而可得，再代入进行拆分，计算加减法即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， ， 则， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵， ， 解得， ， 则 ． 变式3．求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解． 解：设① 即② ②①得： 原式 请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值： (1)________． (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大． （1）由题意可知，，把原式变形后代入求解即可； （2）设，则有，依照例题求解即可． 【详解】（1）由题意可知，， ∴ （2）解：设① 即② ②①得： ∴ 原式 变式4．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 【答案】(1)343400 (2)26527650 (3) 【详解】（1） （2） （3） 【课后训练】 1．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推， (1)__________________ (2)求的值？ 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据差倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第10个数是， ∴． 2．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【答案】(1)21 (2)用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． (3)此时三角形地砖的数量为202块． 【分析】本题主要考查图形的规律并用代数式表示，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键． （1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解； （2）根据（1）中的数量关系列式求解即可； （3）把代入上述的数量关系式即可求解． 【详解】（1）由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；…， 由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块， ∴图4中正方形地砖块数为21块． （2）由（1）发现的规律可知， 当铺设这条小路共用去n块六边形地砖时， 用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． （3）当时，三角形地砖的块数为（块）． 答：此时三角形地砖的数量为202块． 3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵． (1)如图2，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 【答案】(1)8(2)见详解 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据题意列出代数式． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）用含a的代数式表示方框中四个数，然后求和即可解决问题． 【详解】（1）解：， 方框中的四个数的平均数为8； （2）解：方框中的四个数分别为，，，， 这四个数的和为： 为整数 这个和能被4整除． 4．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 【答案】(1)21；36；51(2) 【分析】本题考查了图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律： （1）先观察图形的规律，然后填写表格； （2）根据纵向数字之间的关系可得到规律； 正确得到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：对于三角形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于四边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 对于五边形数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 则表格如下： 第n个多边形数类型 三角形数 3 6 10 15 21 四边形数 4 9 16 25 36 五边形数 5 12 22 35 51 （2）解：根据表格的前几列可得： 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推可得： 当时，， 表格如下： 第n个多边形数类型 … 三角形数 3 6 10 15 21 28 … a 四边形数 4 9 16 25 36 49 … b 五边形数 5 12 22 35 51 70 … 5．【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 6．学校餐厅准备按如图所示的方式摆放桌子和椅子，请按图中提示，回答下列问题： (1)1张饭桌可坐人，张饭桌可坐_________人； (2)按如图所示的方式摆放桌子和椅子，n张饭桌可坐_________人； (3)如果将桌子的摆放方式改为如图的方式，则张饭桌可坐_________人． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，解答此题的关键是观察发现摆放桌子的数形成的规律． （1）根据图形即可解答； （2）按第一种方式摆放桌子和椅子，观察发现：多一张餐桌，多放把椅子，且变化规律完全相同，张饭桌可坐，即可求解； （3）如果将桌子的摆放方式改为第二种，观察可发现：多一张餐桌，多放把椅子，且变化规律完全相同，则张饭桌可坐，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，张饭桌可坐人，张饭桌可坐人， 故答案为：； （2）列表探究所坐人数与桌子张数之间的数量关系： 桌子张数 … 所坐人数 6 … n张饭桌可坐人， 故答案为：； （3）列表探究所坐人数与桌子张数之间的数量关系： 桌子张数 … 所坐人数 … n张饭桌可坐人， 故答案为：． 7．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式； （3）解：∵， ∴原式， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 探索与表达规律的两种考法 目录 【考法一、图形类规律探索】 1 【考法二、数字类规律探索】 4 【课后训练】 6 【考法一、图形类规律探索】 例．【观察思考】 作一个正方形、设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续操作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案． 【规律发现】 请用含a的式子填空： （1）正方形进行第次分形后得到了图，此图形的周长为______； （2）重复上述的操作，图需要经过第____次分形后才能得到图3的图案． 请用含和的式子填空： （3）经过次分形得到的图案周长为______，面积为______． 【规律应用】 （4）结合上述规律，若分形前正方形的边长为，是否存在不大于的正整数，使得按规律排序的一段正整数之和等于经过次分形得到的图案周长的倍．若存在，求出的所有的值；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，1~5号正方形边长分别为1，2，3，4，5，可得出以下规律： …… 根据以上规律，解答下列问题： (1) (2) （用含n的式子表示，需化简） (3)求 的值． 变式2．【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形． 【探索】 （1）已知长方形的邻边长分别为1和，且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 　　阶方形． 变式3．用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去． (1)第5个图形用的棋子的个数为______，第n个图形用的棋子个数为______； (2)若第m个图形用的棋子个数超过57个，求m的最小值． 变式4．将菱形如图进行如下划分，第次划分：分别连接菱形对边的中点如图，得线段和，它们交于点，此时图中共有个菱形；第次划分：将图左上角菱形按相同方式再划分如图，则图中共有个菱形．      (1)若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第次划分后图中共有 个菱形． (2)能否将菱形划分成有个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由． (3)设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 ．(直接写出答案即可) 【考法二、数字类规律探索】 例．阅读下面文字，回答后面问题：求的值． 解：令① 将等式两边同时乘5，得 ② ②①，得， ． 问题： (1)求的值； (2)求的值． 变式1．观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第5个式子： ； (2)请写出你猜想的第n个式子(用含n的等式表示， ，且为整数)，并证明． 变式2．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想________； (2)； (3)若， 求的值． 变式3．求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解． 解：设① 即② ②①得： 原式 请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值： (1)________． (2)计算：． 变式4．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中ｎ是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)　　　　　； (2)　　　　　　　　； (3) ． 【课后训练】 1．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推， (1)__________________ (2)求的值？ 2．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 3．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵． (1)如图2，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 4．分别观察下列三组图形，并填写表格： 如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为，叫做第n个“三角形数”（n为整数，且）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示． … 三角形数 3 6 10 15 28 … a 四边形数 4 9 16 25 49 … b 五边形数 5 12 22 35 70 … (1)请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中； (2)若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中． 5．【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 6．学校餐厅准备按如图所示的方式摆放桌子和椅子，请按图中提示，回答下列问题： (1)1张饭桌可坐人，张饭桌可坐_________人； (2)按如图所示的方式摆放桌子和椅子，n张饭桌可坐_________人； (3)如果将桌子的摆放方式改为如图的方式，则张饭桌可坐_________人． 7．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$