专题11 一次函数中定值定点压轴题全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题11 一次函数中定值定点压轴题全梳理 目录 【考法一、定值问题】 1 【考法二、定点问题】 11 【课后训练】 15 【考法一、定值问题】 例．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1)A（﹣5，0），直线L的解析式为：y＝x+5 (2) (3)PB的长是定值，定值为；理由见详解 【分析】（1）当y＝0时，x＝﹣5；当x＝0时，y＝5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA＝OB，解得：m＝1，即可得出直线L的解析式； （2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN＝OM，即可求出BN的长； （3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA＝BK，EK＝OB，得出EK＝BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK＝PB，即可得出结果． 【详解】（1）∵对于直线L：y＝mx+5m， 当y＝0时，x＝﹣5， 当x＝0时，y＝5m， ∴A（﹣5，0），B（0，5m）， ∵OA＝OB， ∴5m＝5，解得：m＝1， ∴直线L的解析式为：y＝x+5； （2）∵OA＝5，AM， ∴由勾股定理得：OM， ∵∠AOM+∠AOB+∠BON＝180°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝90°， ∵∠AOM+∠OAM＝90°， ∴∠BON＝∠OAM， 在△AMO和△OBN中，， ∴△AMO≌△ONB（AAS） ∴BN＝OM； （3）PB的长是定值，定值为；理由如下： 作EK⊥y轴于K点，如图所示： ∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°，BO＝BF，∠OBF＝90°， ∴∠ABO+∠EBK＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠EBK＝∠OAB， 在△ABO和△BEK中，， ∴△ABO≌△BEK（AAS）， ∴OA＝BK，EK＝OB， ∴EK＝BF， 在△PBF和△PKE中，， ∴△PBF≌△PKE（AAS）， ∴PK＝PB， ∴PBBKOA5． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果． 变式1．如图①所示，直线L：y＝mx＋5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA＝OB时，试确定直线L解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝4，MN＝7，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围． 【答案】（1）y＝x＋5；（2）3；（3）PB的长为定值，理由见解析 【分析】（1）由直线L解析式，求出A与B坐标，根据OA＝OB，求出m的值，即可确定出直线L解析式； （2）由OA＝OB，余角的性质，且一对直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度； （3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA＝BK，EK＝OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长． 【详解】解：（1）如图1中， ∵直线L：y＝mx＋5m， ∴A(﹣5，0)，B(0，5m)， 由OA＝OB，得5m＝5，m＝1， ∴直线解析式为：y＝x＋5； （2）如图2， ∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，AO⊥BO， ∴=90°， ∠OAM+∠AOM=90°， ∵ AO⊥BO， ∴∠BON+∠AOM=90°， ∴， 在△AMO与△ONB中， ， ∴△AMO≌△ONB（AAS）， ∴AM=ON＝4，BN＝OM， ∵MN＝7， ∴OM＝3， ∴BN＝OM＝3； （3）结论：PB的长为定值．理由如下， 如图3中，作EK⊥y轴于K点， ∵△ABE为等腰直角三角形， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴∠EBK＋∠ABO＝90°， ∵∠EBK＋∠BEK＝90°， ∴∠ABO＝∠BEK， 在△AOB和△BKE中， ， ∴△AOB≌△BKE（AAS）， ∴OA＝BK，EK＝OB， ∵△OBF为等腰直角三角形， ∴OB＝BF， ∴EK＝BF， 在△EKP和△FBP中， ， ∴△PBF≌△PKE（AAS）， ∴PK＝PB， ∴PB＝BK＝OA＝． 【点睛】本题为平面直角坐标系与几何知识综合题，综合性较强，考查了一次函数，全等三角形等知识，根据题意证明三角形全等是解题关键． 变式2．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点． （1）当时，求点坐标及直线的解析式． （2）在（1）的条件下，如图2所示，设为延长线上一点，作直线，过、两点分别作于，于，若，求的长． （3）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，如图3.问：当点在轴正半轴上运动时，试猜想的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为定值 【分析】（1）先求出A、B两点坐标，求出OA与OB，由OA= OB，求出m即可； （2）用勾股定理求AB，再证，BN=OM，由勾股定理求OM即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG⊥y轴于G，先证，求BG再证，可确定BP的定值即可． 【详解】（1）对于直线． 当时，． 当时，． ，． ． ． 解得． 直线的解析式为． （2），． 由勾股定理， ． ． ． ． ． ． 在与中， ． ． ．． （3）如图所示：过点作轴于点． 为等腰直角三角形， ． ， ． ． ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． 【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB，求OM，用勾股定理求AB，再证，构造 ，求BG，再证． 变式3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足． （1）求直线AP的解析式； （2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标； （3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 【答案】（1）y=﹣3x﹣3；（2）S（，﹣）， y=﹣3x+2；（3）②；定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式； （3）根据点B的横坐标为-2，可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角角边证明△APO与△PCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，再根据△DCE是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG与△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值． 【详解】（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0，解得a=﹣3，p=﹣1， ∴点A、P的坐标分别为A（0，﹣3）、P（﹣1，0）， 设直线AP的解析式为y=mx+n，则，解得， ∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣3； （2）根据题意，点Q的坐标为（1，0）， 设直线AQ的解析式为y=kx+c，则，解得，∴直线AQ的解析式为y=3x﹣3， 设点S的坐标为（x，3x﹣3）， 则SR=，SA=， ∵SR=SA，∴=，解得x=，∴3x﹣3=3×﹣3=﹣， ∴点S的坐标为S（，﹣）， 设直线RS的解析式为y=ex+f，则，解得， ∴直线RS的解析式为y=﹣3x+2； （3）∵点B（﹣2，b），∴点P为AB的中点， 连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴PC=PA=AB，PC⊥AP， ∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，∴∠CPG=∠PAO， 在△APO与△PCG中， ，∴△APO≌△PCG（AAS）， ∴PG=AO=3，CG=PO， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°， 又∵EF⊥x轴， ∴∠DEF+∠EDF=90°， ∴∠CDG=∠DEF， 在△CDG与△EDF中， ， ∴△CDG≌△EDF（AAS）， ∴DG=EF， ∴DP=PG﹣DG=3﹣EF， ①2DP+EF=2（3﹣EF）+EF=6﹣EF， ∴2DP+EF的值随点D的变化而变化，不是定值， ②， 的值与点D的变化无关，是定值． 【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y轴对称的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口． 【考法二、定点问题】 例．在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．    (1)如图，当时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)ⅰ）；ⅱ）直线经过定点． 【分析】（1）作于点C，证明，进而即可求得点P的坐标； （2）ⅰ）作于点C，证明，再利用勾股定理求得，利用线段和差关系列方程进而即可求得a的值； ⅱ）方法同上，求得点P的坐标，求出直线的表达式即可求出定点． 【详解】（1）解：作于点C，    ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； （2）解：ⅰ）如图所示，    作于点N， ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为， 中，， ， ，即， ， 即a的值为； ⅱ）直线经过定点． 理由： 点P的坐标为，， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ，即， 当时，，， 此时无论a为何正数，直线必过点． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-几何问题，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法，题目综合性比较强，有一定的难度． 变式1．定义：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”． (1)①以下数量关系中，y不是x的函数的是___________（填选项） ②以下是“族函数”的是 ___________（填选项） A．   B． C．    D．     E． F． (2)已知一次函数为常数，． ①若该函数是“族函数”，求k的值． ②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标． 【答案】(1)①BE；②F (2)①；② 【分析】（1）①根据函数的定义即可求解； ②将点代入各选项函数解析式中即可解答； （2）①将点代入，即可求解； ②函数解析式可变形为，令即可求解； 【详解】（1）①对于B选项，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数， 对于选项，则与不是唯一对应关系，不符合函数定义，即不是的函数，ACDF符合函数的定义； 故答案为：BE； ②A．，当时，，故不是 “族函数” C．，当时，，故不是“族函数” D．，当时，，故选项不是“族函数” F．，当时，，故是“族函数” 故答案为：F． （2）①一次函数（为常数，）是“族函数”， ，解得：； ②， 令，则，， 无论取何值，该函数必经过一定点； 【点睛】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14，A（16，0），C（0，2）． （1）如图①，若点P、Q分别从点C、A同时出发，点P以每秒2个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t秒（0≤t≤4）． ①求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？ ②求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，并求出此时直线PQ的解析式． （2）如图②，若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点（不与线段BC、AO的端点重合），且四边形OQPC面积为10，试说明直线PQ一定经过一定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）t=s；y=x-4．（2）说明见解析，不论k取任何满足条件的值，直线PQ必过定点（5，1）． 【详解】试题分析：（1）①只要PB=AQ就说明四边形PQAB为平行四边形，由此建立关于t的方程． ②直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，则梯形COQP的面积是梯形COAB面积的．由此建立关于t的方程． （2）通过设P点坐标，由面积已知可表示Q点坐标，这样可表示出直线PQ的解析式，然后分析解析式找出定点． 试题解析：（1）①CP=2t，则PB=14-2t，AQ=4t因为PB∥QA， 所以当PB=QA时四边形PQAB为平行四边形，即有14-2t=4t．所以t=s ②直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，则梯形COQP的面积是梯形OABC面积的，∴（2t+16-4t）×2=× （14+16）×2， 即t=3s时，直线PQ分梯形OABC左右两部分的比为1：2 此时P（6，2），Q（4，0）可求得PQ：y=x-4． （2）设点P的坐标为（m，2），则CP=m． ∵四边形OQPC面积为10， ∴ （m+OQ）•2=10，解得OQ=10-m． ∴Q（10-m，0）． 设直线PQ的解析式为y=kx+b，（k≠0）， 则， 两式相加得b=1-5k． ∴直线PQ的解析式可表示为y=kx+1-5k． 由于上式中当x=5时，y=1，与k的取值无关， 即不论k取任何满足条件的值，直线PQ必过定点（5，1）． 考点：一次函数综合题． 【课后训练】 1．已知直线y＝(k≠1)，说明无论k取任何不等于1的实数，此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标． 【答案】证明见解析，定点的坐标为(2，4)． 【详解】试题分析：根据函数与k的值无关，可得k的系数等于零，不含k的项等于零，可得x、y的值，可得答案. 试题解析：由y=，得 （k-1）y=kx+2k-4， 即：k（y-x-2）=y-4． 令y-x-2=y-4=0，即x=2，y=4， 则直线必过（2，4）点， 即无论k取不等于1的任何实数此直线都经过定点（2，4）. 2．若直线，，则称直线为这两条直线的友好直线． （1）直线与的友好直线为________． （2）已知直线是直线与的友好直线，且直线经过第一、三、四象限，与轴相交于点． ①求的取值范围； ②若直线经过定点，且，求的值． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】（1）根据“友好直线”的定义解答即可； （2）①首先写出友好直线，然后根据直线经过第一、三、四象限可得k＞0，b＜0，据此解答即可； ②根据直线的解析式得出直线经过定点，再根据三线合一得出列出关于m的方程即可． 【详解】解：（1）直线y=3x+2与y=-4x+3的友好直线为：y=（3-4）x+2×3=-x+6 故答案为：y=-x+6； （2）①直线与的友好直线为， 根据题意，得， 解得． ②由①得， 由，得， 当时，， 直线一定过定点． 与y轴的交点A(0，-6m) 当时， 可得，即，解得． ，则 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型． 3．在平面直角坐标系中，图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小.设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比，如图1，矩形为的投影矩形，其投影比. （1）如图2，若点，则投影比的值为________________； （2）已知点，点，且投影比，则点坐标可能是__________（填写序号）； ①  ②  ③  ④ （3）已知点，在直线上有一点和一动点，且，是否存在这样的，使得的投影比为定值？若存在，请求出的范围及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2；（2）①②；（3）当m≤1时，k=2；当3≤m＜5时，k=4． 【分析】（1）在图2中做出投影矩形，根据投影比可得到结论． （2）根据每一个点作投影图形，分别讨论即可得到答案； （3）根据题意画出图形，根据m的取值分类讨论． 【详解】（1）如图2，过点B作轴于点C，作轴于点D，则矩形OCBD为△OAB的投影矩形， ∵， ∴OC=3，BC=6， ∴△OAB投影比k的值=2,． （2）如图， ①点P的坐标为时，投影比； ②点P的坐标为时，投影比； ③点P的坐标为时，投影比； ④点P的坐标为时，投影比； 故答案是①②． （3）在中，y=2时，则x=1；x=5时，y=10， ∴F（5,10） 当m≤1时，作为投影矩形，如图所示， 此时点P（m,2m），PA′=10-2m，FA′=5-m， ∴投影比k=； 当3≤m＜5时，此时A′E=10-2=8，B′E=5-3=2，此时k=． 综上所述：当m≤1时，k=2；当3≤m＜5时，k=4． 【点睛】本题主要考查了一次函数函数图像综合，准确理解题意，根据已知条件分类讨论是解题关键． 4．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③． 问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 【答案】(1)；（2）；（3）是， 【分析】(1)由直线L解析式，求出与的坐标，根据，求出的值，即可确定出直线L解析式． （2）由，对顶角相等，且一对直角相等，利用得到，用对应线段相等求长度； （3）如图，作轴于点，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，再利用得到，寻找相等线段，并进行转化，求的长． 【详解】(1)∵直线L：， ∴， 由，得， ∴直线L的解析式为：； （2） ∴ 又 ∴ 在△AMO与中， ， ∴， ∴， ∴， 答案是： （3）如图，作轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴°， ∴°， ∵°， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，属于一次函数综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 5．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标为，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M． （1）求证：． （2）如图（2），连接CF交AB于点H，求证：． （3）如图（3），若，G为x轴负半轴上一动点，连接MG，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，GB-BD的值是否为定值？若是，求其值；若不是，求其取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是， 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再通过对称得到FB=BC且垂直x轴，从而证Rt△OAC≌Rt△FOB，得到OF⊥AC． （2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求出BA，BF，BH即可． （3）过M点作MN⊥x轴于N点，MH⊥DF于H点，证明直角△MEN≌直角△MDH． 【详解】（1）证明由得， ． 关于AB对称， ， ． 又 ． ． ， ，即． （2）证明：在中，， ， 在中， ， ． （3）解：GB-BD的值是定值，定值等于． 直线AB的解析式为， 点F的坐标为，直线OF的解析式为． 解方程组得， ． 过点M作轴于点N，于点H，如图 四边形MNBH是正方形， ． 又， ， ． 在和中，， ．． 综上所述，GB-BD的值为定值． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合应用，解题关键是学会构建三角形全等，掌握全等三角形的性质；合理使用勾股定理进行计算． 6．如图①所示，直线L:yax10a与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点. （1）当OAOB时，试确定直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的长. （3）当a取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE，连接EF交y轴于P点，如图③，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由. 【答案】（1）L的解析式y=x+10；（2）MN =14；（3）PB的长为定值，PB=5，见解析. 【分析】（1）先求出直线y=ax+10a与x、y轴的交点坐标，然后由OA=OB可求出a的值，进而确定直线解析式； （2）用AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质得ON=AM，OM=BN，进一步即可求出MN的值； （3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，得BG=AO=10，OB=EG，再证明△BFP≌△GEP，得BP=GP=BG=5，于是问题得解. 【详解】解：（1）（1）∵直线L：y=ax+10a，∴A（-10，0），B（0，10a）， ∵直线交y轴正半轴，∴10a＞0，∴a＞0. 由OA=OB得：10a=10，∴a=1，∴直线解析式为：y=x+10； （2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠MAO=90°， ∵∠AOM+∠BON=90°，∴∠MAO=∠NOB. 在△AMO和△OBN中， ，∴△AMO≌△ONB．∴ON=AM，OM=BN， ∵AM=8，BN=6，∴MN=AM+BN=14. （3）PB的长为定值.理由：如图，过点E作EG⊥y轴于G点， ∵△AEB为等腰直角三角形，∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°， ∵EG⊥BG，∴∠GEB+∠EBG=90°.∴∠ABO=∠GEB. 在△ABO和△EGB中， ，∴△ABO≌△EGB，∴BG=AO=10，OB=EG， ∵△OBF为等腰直角三角形，∴OB=BF，∴BF=EG. 在△BFP和△GEP中， ，∴△BFP≌△GEP，∴BP=GP=BG=5. 即PB的长为定值. 【点睛】本题考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要运用了一次函数图象上点的坐标与解析式的关系、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，从解题过程看，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一次函数中定值定点压轴题全梳理 目录 【考法一、定值问题】 1 【考法二、定点问题】 3 【课后训练】 5 【考法一、定值问题】 例．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； (2)在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值?若是，请求出其值；若不是，说明理由． 变式1．如图①所示，直线L：y＝mx＋5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA＝OB时，试确定直线L解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝4，MN＝7，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围． 变式2．如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点． （1）当时，求点坐标及直线的解析式． （2）在（1）的条件下，如图2所示，设为延长线上一点，作直线，过、两点分别作于，于，若，求的长． （3）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，如图3.问：当点在轴正半轴上运动时，试猜想的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 变式3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足． （1）求直线AP的解析式； （2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标； （3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值． 【考法二、定点问题】 例．在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．    (1)如图，当时，求点P的坐标； (2)点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 变式1．定义：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点，所以正比例函数就是“族函数”． (1)①以下数量关系中，y不是x的函数的是___________（填选项） ②以下是“族函数”的是 ___________（填选项） A．   B． C．    D．     E． F． (2)已知一次函数为常数，． ①若该函数是“族函数”，求k的值． ②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14，A（16，0），C（0，2）． （1）如图①，若点P、Q分别从点C、A同时出发，点P以每秒2个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t秒（0≤t≤4）． ①求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？ ②求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2，并求出此时直线PQ的解析式． （2）如图②，若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点（不与线段BC、AO的端点重合），且四边形OQPC面积为10，试说明直线PQ一定经过一定点，并求出该定点的坐标． 【课后训练】 1．已知直线y＝(k≠1)，说明无论k取任何不等于1的实数，此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标． 2．若直线，，则称直线为这两条直线的友好直线． （1）直线与的友好直线为________． （2）已知直线是直线与的友好直线，且直线经过第一、三、四象限，与轴相交于点． ①求的取值范围； ②若直线经过定点，且，求的值． 3．在平面直角坐标系中，图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小.设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比，如图1，矩形为的投影矩形，其投影比. （1）如图2，若点，则投影比的值为________________； （2）已知点，点，且投影比，则点坐标可能是__________（填写序号）； ①  ②  ③  ④ （3）已知点，在直线上有一点和一动点，且，是否存在这样的，使得的投影比为定值？若存在，请求出的范围及定值；若不存在，请说明理由. 4．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点． （1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③． 问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 5．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标为，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M． （1）求证：． （2）如图（2），连接CF交AB于点H，求证：． （3）如图（3），若，G为x轴负半轴上一动点，连接MG，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，GB-BD的值是否为定值？若是，求其值；若不是，求其取值范围． 6．如图①所示，直线L:yax10a与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点. （1）当OAOB时，试确定直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的长. （3）当a取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE，连接EF交y轴于P点，如图③，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$