专题09 平面直角坐标系压轴题的五种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题09 平面直角坐标系压轴题的五种考法全梳理 目录 【考法一、坐标系中的面积问题】 1 【考法二、坐标中的角度问题】 3 【考法三、坐标系中的定值定点问题】 6 【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】 6 【考法四、坐标系中的三角形全等问题】 10 【课后训练】 12 【考法一、坐标系中的面积问题】 例．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)_______； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，点，连接，连接交y轴于点E，连接交x轴于点H，且满足． (1)直接写出点A的坐标为 ，B的坐标为 ，点C的坐标为　 　； (2)如图2，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向B运动，运动时间为t，请用含t的式子表示四边形的面积； (3)如图3，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向y轴负方向运动，运动时间为t ，连接，将线段沿x轴负方向平移17.5个单位长度，得到线段，延长正好与点C相交，当时，求出此时点P的坐标． 变式2．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．点是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：______，______； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点使的面积等于20，若存在，请求出点坐标．若不存在，请说明理由． 变式3．已知在平面直角坐标系中，，，且、满足，连接、，交轴于点，． (1)求点A、的坐标； (2)动点从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线运动，运动的时间为，连接，设的面积为，请用含的式子表示．（不要求写出的取值范围） (3)在（2）的条件下，在点运动的同时，点从点A出发以每秒3个单位的速度沿向．左运动，点关于轴的对称点为，连接、、，当点在之间时，若，求的值． 【考法二、坐标中的角度问题】 例．在平面直角坐标系中，四边形的顶点、分别在轴和轴上，顶点在第一象限，且轴． (1)如图1，，，，且，满足，直接写出点、、的坐标． (2)如图2，点是轴上点左边的一点，连接，和的角平分线交于点，则与的数量关系为______，请证明你的结论． (3)如图3，若点是线段延长上的一动点，，，其中，，求的值（结果用含的式子表示）． 变式1．在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)写出两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第二象限上的点，连，点是线段上一点，满足．点是射线上一动点，连，交直线于点，当点在射线上运动的过程中，求与的数量关系． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴、轴正半轴上，且，满足关系式； (1)如图(1)，若点坐标为，连接、，求的面积； (2)如图(2)，是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，求度数； (3)如图(3)，以为边长作为等边三角形，，，若点、点分别是线段、线段上的两个动点，且，与相交于点，在点、点运动过程中，请问的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值． 【考法三、坐标系中的定值定点问题】 例．在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接交y轴于点D，过点B作交y轴于C点． (1)填空： ， ． (2)如图，若分别平分，在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)①若点P的纵坐标为，点Q在y轴上，且的面积和的面积相等，请求出Q点坐标； ②在点P的运动过程中，是否为定值？请说明理由． 变式1．在平面直角坐标系中，分别是轴、轴正半轴上的点，是线段上一点，连接．      (1)如图1，轴于点是上一点，且； ①求证：； ②若，求证：； (2)如图2，是的中点，连接是轴负半轴上一点，，当点在轴正半轴上运动时，点的坐标是否会发生变化，若不变，求点的坐标，若改变，求出其变化的范围． 变式2．（1）如图1，中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，求证：． （2）在（1）的条件下，猜想：线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的一个动点，以为直角边作等腰直角，点在第二象限内，且，在点的运动过程中，的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由． 变式3．如图，已知，且，满足．    (1)求、两点的坐标； (2)如图，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)如图，在的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时线段的长度是否发生变化？若是，请求取值范围；若不是，请求出的长度． 【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】 例．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 变式1．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的，并直接写出点A的对应点的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上有一点，使得的周长最小，在图中找出点的位置，并直接写出的周长最小值． 变式3．已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 【考法五、坐标系中的三角形全等问题】 例．如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于，两点，点，，且，，满足 (1)求点，的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标平面内是否存在点（点不与点重合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 变式1．如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，已知，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，点C坐标为，过点B作轴与点D． (1)求证：； (2)求的长并直接写出点B的坐标； (3)连接，在平面直角坐标系中是否存在点E使得以点为顶点的三角形与全等？若存在直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角，设点C的坐标为．    (1)当时，点C的坐标为 ． (2)动点A在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【课后训练】 1．在平面直角坐标系中，，，且、满足． (1)填空：　 　，　　； (2)如图1，点，若三角形的面积为三角形的面积的2倍，求点的坐标； (3)如图2，若将线段平移至，点、也在坐标轴上，点为线段上的一动点， ①若为直线、之间的一个点，直接写出、、之间的数量关系； ②连接，若平分，，求式子的值． 2．如图，点，，满足． 图1                              图2 (1)直接写出的面积为______． (2)如图1，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，求的度数． (3)如图2，，点E是x轴上一动点（点E在点A的左边且不与点O重合），在y轴正半轴上取一点K，连接，，，使，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明． 3．已知：四边形是长方形，点，分别在边和上，，，， (1)______，______． (2)设的面积为，用含的式子表示S． (3)在（2）的条件下，当的情况下，动点从出发沿线段运动，速度为每秒个单位长度运动时间为求为何值时的面积与面积相等？ 4．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)则______，______； (2)在x轴上是否存在点P，使得和的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由； (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，图3，求的度数． 5．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 6．如图，点，，满足，若点P为射线上异于原点O和点A的一个动点． (1)如图1， ①直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②当点P位于点O与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（P为直角顶点，B，P，E按逆时针方向排列），连接．求证：； (2)点D是直线上异于点A与点B的一点，使得，过点D作交y轴于点F，探究，，之间的数量关系，并证明． 7． 已知，如图1，在平面坐标系中，，、点分别为、轴负半轴上的动点，，垂足为．           (1)直接写出与间的数量关系； (2)当、在、轴负半轴上运动时，线段与之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由． (3)如图2，为第二象限边上方一点，过作于，，连，并取中点，连、，试探究线段与间的关系，写出结论，并说明理由． 8．如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形的而积恰好等于三角形面积的两倍时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于14，直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平面直角坐标系压轴题的五种考法全梳理 目录 【考法一、坐标系中的面积问题】 1 【考法二、坐标中的角度问题】 10 【考法三、坐标系中的定值定点问题】 21 【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】 21 【考法四、坐标系中的三角形全等问题】 38 【课后训练】 46 【考法一、坐标系中的面积问题】 例．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)_______； (2)如图②，若过B作交y轴于D，且分别平分，，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，得出A、C坐标，进而得出长度，再利用三角形面积公式即可求解； （2）过E作，利用平行线的性质可得，，理由角平分线的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余得出，即可求解； （3）设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，分两种情形：①当P在y轴正半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，利用割补法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过E作，    ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N， ①当P在y轴正半轴上时，如图，    则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； ②当P在y轴负半轴上时，如图，    则， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，P点的坐标为或． 【点睛】本题考查了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，利用三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于t的方程是解题的关键． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，点，连接，连接交y轴于点E，连接交x轴于点H，且满足． (1)直接写出点A的坐标为 ，B的坐标为 ，点C的坐标为　 　； (2)如图2，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向B运动，运动时间为t，请用含t的式子表示四边形的面积； (3)如图3，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度向y轴负方向运动，运动时间为t ，连接，将线段沿x轴负方向平移17.5个单位长度，得到线段，延长正好与点C相交，当时，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形： （1）根据非负数的性质，可得，即可求解； （2）设点P的坐标为，可得轴，从而得到点，再由，即可求解； （3）由题意得，从而得到，进而得到，设，然后分两种情况讨论，当点P在上方时，当点P在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，； （2）解：由题意设点P的坐标为， ∵，，，， ∴ ∴轴， ∴点，                ∴∴ （3）解：由题意得：， ∴，∴，               ，                          设， 当点P在上方时， ，，； 此时P的坐标为； 当点P在下方时              ， ，； 此时P的坐标为； ， ， 此时P的坐标为； 综上所述点P的坐标为或． 变式2．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，，且．点是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：______，______； (2)当时，求的面积； (3)是否存在点使的面积等于20，若存在，请求出点坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6 (2)12 (3)当，或时，的面积等于20． 【分析】本题是坐标与图形及一元一次方程的应用，考查的是坐标与图形、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）假设存在点使的面积等于，在三种情况下求出相应的值，看是否符合的取值范围． 【详解】（1）， ，， 故答案为：8，6； （2）由（1）知，，， 四边形是长方形， ，， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动， 当时 点在上，且， ， ， 的面积； （3）存在， ①如图1，当时， ，解得； ， ②如图2，当时， ， ， 解得：； ③如图3，当时， ，解得， ，（应舍去）， 综上所述：当，或时，的面积等于20． 变式3．已知在平面直角坐标系中，，，且、满足，连接、，交轴于点，． (1)求点A、的坐标； (2)动点从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线运动，运动的时间为，连接，设的面积为，请用含的式子表示．（不要求写出的取值范围） (3)在（2）的条件下，在点运动的同时，点从点A出发以每秒3个单位的速度沿向．左运动，点关于轴的对称点为，连接、、，当点在之间时，若，求的值． 【答案】(1)， (2)①在之间时，，②在点上方时， (3)或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，平面直角坐标系中点的坐标特点等知识． （1）根据题意得到关于、的方程组，解方程组求出、，即可求出点A、的坐标； （2）作轴于，于，，，，根据面积法求出，分点在之间和在点上方两种情况讨论即可用含的式子表示； （3）作轴于，轴于，根据面积法求出，进而求出，分在右边和在左边两种情况，结合列出方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ，； （2）解：作轴于，于，，，， ， ． ①如图1，当在之间时，； ②如图2，在点上方时，； （3）解：作轴于，轴于， ∵，∴， 即， ∴，∴， ∵点与点关于轴对称，， ，，，， ①如图3，在右边时， ， ， ； ②如图4，在左边时， ， ，，． 【考法二、坐标中的角度问题】 例．在平面直角坐标系中，四边形的顶点、分别在轴和轴上，顶点在第一象限，且轴． (1)如图1，，，，且，满足，直接写出点、、的坐标． (2)如图2，点是轴上点左边的一点，连接，和的角平分线交于点，则与的数量关系为______，请证明你的结论． (3)如图3，若点是线段延长上的一动点，，，其中，，求的值（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知及，可得，，解得：，，即可得出点、、的坐标； （2）．过点作轴，根据平行线的性质可得，，由平行线的判定可得轴，继而得到，由角分线的定义得到，，再代入进行变形可得结论； （3）过点作轴，得到，设，，则，，得到，，则∴，由平行线的判定可得，则，再根据平行线的性质可得，则，可得答案． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，， 解得：，， ∵如图，点在第一象限，轴，， ∴，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：． 证明：过点作轴， ∴， ∵轴， ∴， 轴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （3）解：过点作轴， ∴， 设，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵轴，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查平行线性质的应用．掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．也考查了绝对值和算术平方根的非负性，图形与坐标． 变式1．在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)写出两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第二象限上的点，连，点是线段上一点，满足．点是射线上一动点，连，交直线于点，当点在射线上运动的过程中，求与的数量关系． 【答案】(1)， (2)12或 (3)见解析 【分析】（1）根据，可得，，即可得出点、的坐标； （2）根据，得，从而得出绝对值方程即可得出答案； （3）分当点在线段上时，或点在线段的延长线上时，根据外角进行角之间的变换即可得出三个角之间的数量关系． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； （2）存在，使得， ， ， ， 解得（舍）或， 存在，的值为12或； （3）当点在线段上时，如图， ，， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， 当点在线段的延长线上时，如图， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的性质、三角形外角的性质等知识，运用外角进行角之间的转换是解题的关键． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)的面积为6 (2)或 (3)①见解析；②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ，， ，，四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ，即：，解得：， ，； 当点C在下方时； 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ，， ，，四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或． （3））①延长，，它们相交于点，如图：    等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：    ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定及性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴、轴正半轴上，且，满足关系式； (1)如图(1)，若点坐标为，连接、，求的面积； (2)如图(2)，是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，求度数； (3)如图(3)，以为边长作为等边三角形，，，若点、点分别是线段、线段上的两个动点，且，与相交于点，在点、点运动过程中，请问的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)的大小不会发生改变，，见解析 【分析】（1）根据算术平方根以及绝对值的非负性得出方程组，求得的值，即可得出的坐标，过点作轴于点，根据，即可求解； （2）设，则，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）证明，根据全等三角形的性质以及三角形的外角的性质可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得： ∴ ∴ 如图所示，过点作轴于点， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：如图 设，则 ∵是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点， ∴，， ∴ （3）解：°，理由如下， 如图所示， ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴° 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，坐标与图形，三角形内角和定理以及三角形的外角性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考法三、坐标系中的定值定点问题】 例．在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接交y轴于点D，过点B作交y轴于C点． (1)填空： ， ． (2)如图，若分别平分，在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)①若点P的纵坐标为，点Q在y轴上，且的面积和的面积相等，请求出Q点坐标； ②在点P的运动过程中，是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)的度数不变， (3)①Q点的坐标为或；②在点P的运动过程中，是定值，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质可得出答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质及角平分线的定义可得出答案； （3）①由题意可得，得出，由，得出，求得，从而得出，再根据面积法得出，最后得出答案； ②由可得，再得出，故，由此得出，最后可得结果． 【详解】（1），，，，； 故答案为：，2； （2）的度数不变，， 理由：过点E作，则， ∴， ∴， ∵，∴， ∵，， ∴； （3）①如图， ∵点P的纵坐标为，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴Q点的坐标为或； ②在点P的运动过程中，是定值， 理由如下：∵， ∴，∴，∴， ，∴ ， 变式1．在平面直角坐标系中，分别是轴、轴正半轴上的点，是线段上一点，连接．      (1)如图1，轴于点是上一点，且； ①求证：； ②若，求证：； (2)如图2，是的中点，连接是轴负半轴上一点，，当点在轴正半轴上运动时，点的坐标是否会发生变化，若不变，求点的坐标，若改变，求出其变化的范围． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)不变，点的坐标为． 【分析】（1）①根据等角的余角相等即可求得；②长交轴于点，过点作，交的延长线于点，即可构造即可证明． （2）延长到点，使，连接，过点作轴于点，可证和，即可求得． 【详解】（1）①证明：由题可得：， ， ， 又， ；             ②延长交轴于点，过点作，交的延长线于点，    由①得， ， ，        ， ， , , ∴, 在和中， ∴ ； （2）解：不变，点的坐标为． 理由：延长到点，使，连接，过点作轴于点，    ∵G是的中点, 在和中， ，             ， ， ， 和，, ，         ， ， ，即． 【点睛】本题考查全等三角形的性质及辅助线的构造，掌握辅助线的构造是解题的关键． 变式2．（1）如图1，中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，求证：． （2）在（1）的条件下，猜想：线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的一个动点，以为直角边作等腰直角，点在第二象限内，且，在点的运动过程中，的值是否会发生变化？若不变，求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）见详解，（2）猜想：，证明见详解；（3）不发生变化， 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的证明；掌握判定方法及性质，能用面积的转化证明勾股定理是解题的关键． （1）由同角的余角相等得，再由即可求证； （2）由全等三角形的性质得，，由面积公式得和，进行化简，即可求解； （3）过作轴，过作轴，过作交于，交于，，，，由全等三角形的性质得，再由即可求解； 【详解】（1）证明：， ， 直线经过点，分别过点，作直线的垂线， 垂足分别为，，， ，， 在和中， （）； （2）猜想：； 证明：， ，， ， ， ， ， ； （3）的值不变化， 如图，过作轴，过作轴，过作交于，交于， ，，， 由（1）同理可得：， ， ， ， ． 变式3．如图，已知，且，满足．    (1)求、两点的坐标； (2)如图，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)如图，在的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时线段的长度是否发生变化？若是，请求取值范围；若不是，请求出的长度． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)线段的长度不变，． 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，即可得出结论； （2）求出，，推出，根据全等三角形的性质得到，，由于，得到即可； （3）过P作轴于G，证得，根据全等三角形的性质得到，，再证，得到． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：结论：； 证明：∵，，， ∴， ，，， ∵，∴， 又∵，∴， 在与中，， ∴，，， ，， ∴； （3）解：是定值，定值为4．理由： 由（2）知，，∴， ∵，∴， 过P作轴于G，    在与中，， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，要学会添加常用辅助线构造全等三角形． 【考法四、坐标系中的将军饮马最值问题】 例．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 【答案】(1)或； (2)； (3)最小值为10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和； （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【详解】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和， 故答案为或； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和， 故答案为：． （3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，    ∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴，， ∴ ， ∴代数式的最小值为10． 变式1．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，，，求的最小值．　　　 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）由可证，可得； （2）由可证，可得，由余角的性质可得结论； （3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作， 由题意可得：， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的，并直接写出点A的对应点的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上有一点，使得的周长最小，在图中找出点的位置，并直接写出的周长最小值． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3), 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题、割补法求面积、坐标与图形、轴对称作图等知识点，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点、顺次连接完成作图，进而求出的坐标即可； （2）利用割补法计算的面积即可； （3）如图，连接交y轴于点，连接，根据轴对称的性质可推出当三点共线时，最小，即的周长最小，此时点P与点重合，最小值为据此求解即可． 【详解】（1）解：如图：为所求； ∴； （2）解：的面积； （3）解：如图，连接交y轴于点，连接， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即的周长最小，此时点P与点重合，最小值为， 设直线解析式为, ∴，解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，，∴， ∵， ∴,的周长最小值． 变式3．已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析；(2)见解析；(3) 【详解】（1）∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标， ∵轴于点B， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2） ∵，点C是的中点， ∴， 过点D作轴于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （3） ∵， ∴点的坐标为， 作点关于x轴的对称点，则的坐标为，， 连接，交x轴于点，则，由于为定值，此时的周长最小． 过点作轴于点Q， ∴，， ∵， 又， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴由翻折可得， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵，由翻折有， ∴在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，最短路径问题，三角形的面积，综合运用各个知识，在第（3）题中利用面积求出的长是解题的关键． 【考法五、坐标系中的三角形全等问题】 例．如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于，两点，点，，且，，满足 (1)求点，的坐标； (2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接，在坐标平面内是否存在点（点不与点重合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标的坐标为 (2) (3)或或 【分析】（1）解方程组求出m、n，得到点A、B的坐标； （2）过点D作于H，证明，根据全等三角形的性质得到，分两种情况，根据三角形的面积公式计算即可； （3）分三种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解方程组， 得， 则点A的坐标为，点B的坐标的坐标为； （2）如图2，过点D作于H， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 当时， 由题意得：，则， ∴； 当时，， ∴， 则； （3）如图③， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴点M在x轴上． ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴点在y轴上， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴轴． ∵， ∴， 综上所述：与全等时，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，灵活运用分情况讨论思想、掌握全等三角形的性质是解题的关键． 变式1．如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，已知，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，点C坐标为，过点B作轴与点D． (1)求证：； (2)求的长并直接写出点B的坐标； (3)连接，在平面直角坐标系中是否存在点E使得以点为顶点的三角形与全等？若存在直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用余角的性质可得，然后利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，即可求解； （3）分，讨论，然后利用全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵轴   ∴， ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵点A坐标为，点C坐标为， ∴， ， ∵， ∴ ∴B点坐标为； （3）解：如图，当时，，，   ， 连接， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴点E在y轴的负半轴上， ∴； 当时，，， ①E在x轴上方时，如图，过点E作轴于点F，    在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②E在x轴下方时，如图，过点E作轴于点F，    同理； 综上，当点E的坐标为或或时，与全等 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 变式2．如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角，设点C的坐标为．    (1)当时，点C的坐标为 ． (2)动点A在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． (3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)动点A在运动的过程中，的值不变，详见解析 (3)或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质． （1）根据题意过点C作轴于点，证明出，利用全等性质即可得到本题答案； （2）由（1）得，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案； （3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案． 【详解】（1）解：如下图，过点C作轴于点E，则，   ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴（AAS）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：动点A在运动的过程中，的值不变．理由如下： 由（1）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵点C的坐标为， ∴，即的值不变； （3）解：存在一点P，使与全等， 符合条件的点P的坐标是或或， 分为三种情况讨论： ①如下图，过点P作轴于点E，则，    ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∴， 即点P的坐标是， ②如下图，过点C作轴于点M，过点P作轴于点E，    则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴． ∵， ∴， 即点P的坐标是； ③如下图，过点P作轴于点E，则．    ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 综上所述，符合条件的点P的坐标是或或． 【课后训练】 1．在平面直角坐标系中，，，且、满足． (1)填空：　 　，　　； (2)如图1，点，若三角形的面积为三角形的面积的2倍，求点的坐标； (3)如图2，若将线段平移至，点、也在坐标轴上，点为线段上的一动点， ①若为直线、之间的一个点，直接写出、、之间的数量关系； ②连接，若平分，，求式子的值． 【答案】(1)2， (2)或 (3)①．② 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出与的值． （2）由（1）可知：，，所以，，所以，从而可求出，然后根据点的位置分类讨论，列出关于的方程即可求出答案． （3）①过点作直线交轴于点，根据平行线的性质即可求出、、之间的数量关系． ②延长交直线于点，设，，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求出，，最后代入原式即可求出答案． 【详解】（1）， ，， 解得：，． 故答案为：2，； （2）由（1）可知：，， ，，， ， ， 当位于轴下方时， ， ， ， ， 当位于轴上方时， ， ， ， ， 或． （3）①过点作直线交轴于点， ， ，， ． ②延长交直线于点， 设，， 由①可知：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，点，，满足． 图1                              图2 (1)直接写出的面积为______． (2)如图1，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，求的度数． (3)如图2，，点E是x轴上一动点（点E在点A的左边且不与点O重合），在y轴正半轴上取一点K，连接，，，使，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)2 (2) (3)或． 【分析】（1）由非负数的性质可得，，从而可得的面积； （2）如图，过点O作交的延长线于E，先证明，，可得，，再证明，从而可得结论； （3）①当E在A，O之间时，过点F作交y轴于点M，连接，，先证明，再证明， 可得结论；②当E在O左侧时，同理可证，，，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， （2）如图，过点O作交的延长线于E， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）由题意可得， ①当E在A，O之间时，过点F作交y轴于点M，连接，， ∵，，， ∴，轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②当E在O左侧时，同理可证，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查几何变换的综合题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形，根据全等三角形的判定和性质解答． 3．已知：四边形是长方形，点，分别在边和上，，，， (1)______，______． (2)设的面积为，用含的式子表示S． (3)在（2）的条件下，当的情况下，动点从出发沿线段运动，速度为每秒个单位长度运动时间为求为何值时的面积与面积相等？ 【答案】(1)，； (2)； (3)当或秒时，的面积与面积相等． 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解； （2）根据面积公式即可求得； （3）分当点在上和点在上，两种情况利用一元一次方程，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，，，， ∴，， ∴ ， ∴； （3）解：由得， ∴， 当点在上时， ∵，，的面积与面积相等， ∴，， ∴， ∴秒时，的面积与面积相等， 当点在上时， ∵，，的面积与面积相等， ∴ ∴， ∴， ∴秒时，的面积与面积相等， 综上所述，当或秒时，的面积与面积相等． 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，熟练掌握算术平方根的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用是解题的关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)则______，______； (2)在x轴上是否存在点P，使得和的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由； (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，图3，求的度数． 【答案】(1)，4 (2)或 (3) 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可； （2）利用三角形的面积计算即可； （3）解：过E作，则，利用平行线的性质得出，，则可得出，结合角平分线的定义可得出，利用平行线的性质得出，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：设， 由（1）知：， ， ∵和的面积相等，， ∴， 解得， ∴P的坐标为或； （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵，∴，又， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 5．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明，得到，，即可求解， （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：， （2）解：在上截取，连接， 由对称性得，， ， ， 是的平分线， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，点，，满足，若点P为射线上异于原点O和点A的一个动点． (1)如图1， ①直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②当点P位于点O与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（P为直角顶点，B，P，E按逆时针方向排列），连接．求证：； (2)点D是直线上异于点A与点B的一点，使得，过点D作交y轴于点F，探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明，得出，则，再推出，即可得出，即可求证； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在延长线上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：，； ②证明：过点作交轴于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：①当点在线段上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】是三角形综合题，考查了全等绝对值的非负性，三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 7． 已知，如图1，在平面坐标系中，，、点分别为、轴负半轴上的动点，，垂足为．           (1)直接写出与间的数量关系； (2)当、在、轴负半轴上运动时，线段与之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由． (3)如图2，为第二象限边上方一点，过作于，，连，并取中点，连、，试探究线段与间的关系，写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形； （1）过作坐标轴的垂线，垂足分别为点，根据点得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）连，在上取一点P，使，连，证明进而得出，即可求解； （3）延长到G，使，连，同理可得，延长交于Q点，得出，证明，即可得出，进而可得． 【详解】（1） 过作坐标轴的垂线，垂足分别为点，如图， ∴， ， ， ，垂足为A， ， ， ， （2），理由如下： 连，在上取一点P，使，连， 在与中， ， 于M， ． （3），理由如下： 延长到G，使，连，如图， 同理可得， ， ， 延长交于Q点，如图， ， ， ， 在和中， ， ，且． 8．如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形的而积恰好等于三角形面积的两倍时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于14，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)①；②或 【分析】（1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标； （2）根据三角形之间的关系可得到，依据此条件可列出关于的等式，，解此等式便可得到点的坐标； （3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标． 【详解】（1）∵点，，且将线段平移得到线段， 由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， ∴可判断线段先向下平移2个单位，再向右平移8个单位， ∴，； （2）如图所示，连接，设交轴于点， ∵， ∴， ∴，， 由于点在轴上，所以设， ∴， ， ∵， ∴， ∴或， ∴或； （3） ① 理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 当点在第二象限时，如图所示： ，，，， ∵， ， ∴， ∵， ， ∴． ②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况； 当点在第二象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ∵， ， ∴， ∵， ， ∴， 设点， 则可得：，整理得到：， 故设点， ∴， ， ∴， ∵, ∴， ∴, ， ； 解得：， 故点； 当点在第四象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ∵， ， ∴， ∵， ， ∴， 设点， 则可得：，整理得到：， 故设点， ∴， ， ； 解得：， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$