1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行 （见学生用书P23） [学习目标]1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量，培养数学抽象的核心素养.2.会求直线的方向向量与平面的法向量，强化数学运算的核心素养（重点）.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，提升数学抽象的核心素养.4.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系，提升逻辑推理和直观想象的核心素养（难点）.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断，提升逻辑推理和直观想象的核心素养. 要点一　空间中点、直线和平面的向量表示 1.空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.空间中直线的向量表示式：如图，a是直线l的方向向量，点A和点P为直线l上的点，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta　①，将＝a代入①式得＝＋t　②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由　直线上一点及直线的方向向量　唯一确定. 3.空间平面的向量表示式：取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使　＝＋x＋y　　③.我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由　空间一点及两个不共线向量　唯一确定. 4.平面的法向量：如图，若直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量a，我们称向量a为平面α的　法向量　；给定一个点A和一个向量a，那么　过点A且以向量a为法向量　的平面完全确定，可以表示为集合　{P｜a·＝0}　. 思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的？ 提示：直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都是共线向量.解题时，可以选取坐标最简的向量作为方向向量或法向量. 要点二　空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔　u1∥u2　⇔　∃λ∈R，使得u1＝λu2　. 2.线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔　u⊥n　⇔　u·n＝0　. 3.面面平行的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔　n1∥n2　⇔　∃λ∈R，使得n1＝λn2　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反.（　　） （2）两直线的方向向量平行，则两直线平行.（　　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行.（　　） （4）若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量.（　　） 解析　（1）正确.相互平行的两条直线的方向向量共线，所以两向量的方向相同或相反. （2）错误.两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或重合. （3）正确.由法向量的概念可知正确. （4）错误.当k＝0时，ka＝0不是直线l的方向向量. 答案　（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 探究一　求平面的法向量 解题技巧 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝（x，y，z）. （2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量，. （3）列方程组：由列出方程组. （4）解方程组： （5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）. （6）得结论：得到平面的一个法向量. 【例题1】如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SDC与平面SAB的一个法向量. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A（0，0，0），D，C（1，1，0），S（0，0，1）， 所以＝，＝. 显然向量＝是平面SAB的一个法向量. 设n＝（x，y，z）为平面SDC的法向量， 则即 取x＝2，得y＝－1，z＝1， 故平面SDC的一个法向量为（2，－1，1）. 【变式1】已知点A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一个法向量. 解析　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由已知可得＝（0，1，1）－（1，0，1）＝（－1，1，0），＝（1，1，0）－（0，1，1）＝（1，0，－1），则n·＝（x，y，z）·（－1，1，0）＝－x＋y＝0，n·＝（x，y，z）·（1，0，－1）＝x－z＝0.不妨令x＝1，则y＝z＝1.因此可取n＝（1，1，1）为平面ABC的一个法向量. 探究二　直线和直线平行 答题模板 证明空间两直线平行的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，得到对应直线的方向向量； （2）证明两向量共线； （3）说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上，即可得证. 【例题2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直.求证：PQ∥BD1. 证明：以点D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令AD＝1，则D（0，0，0），A1（1，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），所以＝（1，0，1），＝（－1，1，0），设＝（a，b，c），由PQ⊥A1D，PQ⊥AC，得即令 a＝1，则＝（1，1，－1）.因为＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1）＝－，所以∥.又PQ与BD1没有公共点，所以PQ∥BD1. 【变式2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点.求证：BF∥D1E. 证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），D1（0，1，1），E，F， 所以＝，＝， 因为＝－，所以∥， 所以BF∥D1E. 探究三　利用空间向量证明线面平行 规律总结 利用向量法证明线面平行的三个思路 （1）设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.求解法向量时，赋值与运算一定要准确. （2）根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. （3）根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 【例题3】在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.求证：PA∥平面EDB. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），P（0，0，a），E. 方法一　设平面EDB的法向量为n＝（x，y，z）， 又＝，＝， 则即 即令z＝1，则 所以n＝（1，－1，1）， 又＝（a，0，－a），所以n·＝（1，－1，1）·（a，0，－a）＝a－a＝0，所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以＝. 又＝（a，0，－a），所以＝2，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ， 即（a，0，－a）＝λ＋μ， 则解得 所以＝－＋， 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 【变式3】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　假设存在点E，使CE∥平面PAB，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）. 设E（0，y，z），则＝（0，y，z－1），＝（0，2，－1）， 因为∥，所以（－1）×y－2（z－1）＝0， ① 因为＝（0，2，0）是平面PAB的一个法向量， 且＝（－1，y－1，z），CE∥平面PAB， 所以⊥，所以（－1，y－1，z）·（0，2，0）＝0， 所以y＝1，代入①得z＝，所以E是PD的中点， 所以存在点E，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 探究四　平面和平面平行 规律总结 证明面面平行的常用方法 （1）转化为相应的线线平行或线面平行； （2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行. 【例题4】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1. 证明：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），D1（0，0，1），E，F（，0，0），G，所以＝，＝. 设n1＝（x1，y1，z1）为平面EFG的法向量，n2＝（x2，y2，z2）为平面B1CD1的法向量， 则即 令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，则n1＝（1，－1，－1）， 同理可得n2＝（1，－1，－1）. 由n1＝n2，得n1∥n2，所以平面EFG∥平面B1CD1. 【变式4】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2）， 所以＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（2，0，0）， 设n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的法向量， 则解得 令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝（0，－1，2）. 同理，设n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的法向量， 则解得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝（0，－1，2）. 因为n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 1.若点A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A.（1，2，3） B.（1，3，2） C.（2，1，3） D.（3，2，1） 答案　A 解析　由题意可得，直线l的一个方向向量＝（2，4，6），又＝（1，2，3），所以向量（1，2，3）是直线l的一个方向向量.故选A项. 2.（多选）若直线l1和l2的方向向量分别是a＝（1，－1，2），b＝（－2，2，－4），则（　　） A. l1∥l2 B. l1与l2相交 C. l1与l2重合 D.以上都不正确 答案　AC 解析　因为b＝－2a，所以l1与l2平行或重合.故选AC项. 3.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），v＝（－3，－6，3），则（　　） A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确 答案　A 解析　因为v＝－3u，所以v∥u，故α∥β.故选A项. 4.已知平面ABC，且A（1，2，－1），B（2，0，－1），C（3，－2，1），则平面ABC的一个法向量为　　　　. 解析　＝（1，－2，0），＝（2，－4，2），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则即令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，0）. 答案　（2，1，0）（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $$