1.3.2 空间向量运算的坐标表示(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 （见学生用书P20） [学习目标]1.掌握空间向量运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.掌握空间向量平行与垂直、几何计算的坐标表示，强化数学运算的核心素养（难点）.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养（重点）. 要点一　空间向量的坐标运算 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝　（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　 减法 a－b a－b＝　（a1－b1，a2－b2，a3－b3）　 数乘 λa λa＝　（λa1，λa2，λa3）　，λ∈R 数量积 a·b a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如，一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 练习：已知向量a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a＋2b＝　　　　，3a·（－b）＝　　　　. 解析　由题意得3a＝（3×1，3×1，3×0）＝（3，3，0），2b＝（2×0，2×1，2×1）＝（0，2，2），－b＝（－1×0，－1×1，－1×1）＝（0，－1，－1），所以a＋2b＝（1，1，0）＋（0，2，2）＝（1＋0，1＋2，0＋2）＝（1，3，2），3a·（－b）＝（3，3，0）·（0，－1，－1）＝3×0＋3×（－1）＋0×（－1）＝－3. 答案　（1，3，2）　－3 要点二　空间向量的平行、垂直、模及夹角 1.设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ｜a｜＝＝； cos＜a，b＞＝＝ . 2.空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，则P1P2＝｜｜＝. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若A（1，1，0），B（2，3，1），则＝（－1，－2，－1）.（　　） （2）四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同.（　　） （3）对于空间任意两个向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），若a与b共线，则＝＝.（　　） （4）设a＝（1，2，－1），b＝（0，m，2），若a⊥b，则m＝1.（　　） 解析　（1）错误.因为一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以＝（1，2，1）. （2）正确.因为平行四边形的对应边平行且相等，所以向量与的坐标相同. （3）错误.当b1，b2，b3至少有一个为0时不成立. （4）正确.由a⊥b得1×0＋2m－2＝0，解得m＝1. 答案　（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 探究一　空间向量的坐标运算 解题技巧 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧： （1）在运算中注意相关公式的灵活运用，如（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2，（a＋b）·（a＋b）＝（a＋b）2等. （2）进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算（a＋b）·（a－b），既可以先求出a＋b，a－b，然后求数量积，也可以把（a＋b）·（a－b）写成a2－b2后计算. （3）向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解.解题时应恰当选择解题方法. 【例题1】已知a＝（1，2，3），b＝（－2，－1，2），计算下列各式的值. （1）a＋2b；（2）a·b；（3）cos＜a，b＞；（4）｜a－b｜. 解析　（1）a＋2b＝（1，2，3）＋（－4，－2，4）＝（－3，0，7）. （2）a·b＝（1，2，3）·（－2，－1，2）＝－2－2＋6＝2. （3）cos＜a，b＞＝＝＝. （4）因为a－b＝（1，2，3）－（－2，－1，2）＝（3，3，1）， 所以｜a－b｜＝＝. 【变式1】已知a＝（1，2，3），b＝（3，0，－1），c＝（－，1，－）.给出下列式子：①（a＋b）·c＝a·（b＋c）；②（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2；③（a·b）·c＝a·（b·c）.其中正确的有（　　） A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 答案　B 解析　①因为（a＋b）·c＝（4，2，2）·（－，1，－）＝－＋2－＝0，a·（b＋c）＝（1，2，3）·＝＋2－＝0，所以（a＋b）·c＝a·（b＋c）；②因为a·b＝3＋0－3＝0，a·c＝－＋2－＝0，b·c＝－＋0＋＝0，所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2；③因为（a·b）·c＝（3＋0－3）·＝（0，0，0），a·（b·c）＝（1，2，3）·＝（0，0，0），所以（a·b）·c＝a·（b·c）.故选B项. 探究二　坐标形式下向量的平行与垂直问题 答题模板 判断空间向量垂直或平行的步骤 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否等于0，判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行. 【例题2】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点. 求证：（1）AM∥平面BDE； （2）AM⊥平面BDF. 　　　 题图　　　　　　　　　答图 证明：（1）如图，建立空间直角坐标系. 设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别为（，，0），（0，0，1）， 所以＝（－，－，1）. 又点A，M的坐标分别为（，，0），（，，1）， 所以＝（－，－，1），所以＝. 因为NE与AM不共线，所以NE∥AM. 又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. （2）由（1）知＝（－，－，1）. 因为D（，0，0），F（，，1）， 所以＝（0，，1）， 所以·＝0－×＋1＝0， 所以⊥.同理，⊥. 又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，所以AM⊥平面BDF. 【变式2】已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝. （1）设｜c｜＝3，且c∥，求c； （2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解析　（1）因为c∥，＝（－2，－1，2）， 所以可设c＝（－2λ，－λ，2λ）， 则｜c｜＝＝3｜λ｜＝3， 所以λ＝±1，所以c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）. （2）因为a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2）， 所以ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4）， 又（ka＋b）⊥（ka－2b），所以（ka＋b）·（ka－2b）＝0， 即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝k2＋k－2＋k2－8＝0， 所以k＝2或k＝－. 探究三　利用坐标运算求夹角和距离 答题模板 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系. （2）根据题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标，保证点及向量的坐标写正确. （3）利用空间向量的模与夹角的坐标表示求解. 【例题3】在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，求异面直线AB与MD所成角的大小. 解析　作AP⊥CD于点P，如图所示，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（1，0，0），M（0，0，1），D（－，，0）， 所以＝（1，0，0），＝（－，，－1）， 所以cos＜，＞＝＝－. 所以异面直线AB与MD所成角的大小为. 【变式3】在长方体OABC－O1A1B1C1中，｜OA｜＝2，｜AB｜＝3，｜AA1｜＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题. （1）求直线AO1与B1E所成角的余弦值； （2）作O1D⊥AC于点D，求点O1到点D的距离. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系. （1）由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），B1（2，3，2），E（1，3，0）， 所以＝（－2，0，2），＝（－1，0，－2）， 所以cos＜，＞＝＝＝－.所以直线AO1与B1E所成角的余弦值为. （2）由题意得⊥，∥，C（0，3，0）. 设点D（x，y，0）， 所以＝（x，y，－2），＝（x－2，y，0），＝（－2，3，0）， 所以解得 所以D. 所以｜O1D｜＝｜｜＝＝. 1.已知M（5，－1，2），A（4，2，－1），O为坐标原点，若＝，则点B的坐标为（　　） A.（－1，3，－3） B.（9，1，1） C.（1，－3，3） D.（－9，－1，－1） 答案　B 解析　由题意可得＝＝－，所以＝＋＝（9，1，1），即点B的坐标为（9，1，1）.故选B项. 2.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1）.若a⊥（b－c），则x的值为（　　） A.－2 B.2 C.3 D.－3 答案　A 解析　因为b－c＝（－2，3，1），且a⊥（b－c），所以a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2.故选A项. 3.已知向量a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝，且λ＞0，则λ＝（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　λa＋b＝λ（0，－1，1）＋（4，1，0）＝（4，1－λ，λ），由已知得｜λa＋b｜＝＝，且λ＞0，解得λ＝3.故选C项. 4.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为　　　　. 解析　因为＝（0，3，3），＝（－1，1，0），所以｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，所以cos＜，＞＝＝，又＜，＞∈[0，π]，所以＜，＞＝. 答案　 一、选择题 1.已知两个非零向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　） A.a＝b B. a1·b1＝a2·b2＝a3·b3 C. a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 D.存在非零实数k，使a＝kb 答案　D 解析　空间向量平行的充要条件是“存在非零实数k，使a＝kb”.故选D项. 2.（多选）已知向量a＝（4，－2，－4），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（　　） A. a＋b＝（10，－5，－2） B. a－b＝（2，－1，6） C. a·b＝10 D.｜a｜＝6 答案　AD 解析　因为向量a＝（4，－2，－4），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（10，－5，－2），故A项正确；a－b＝（－2，1，－6），故B项错误；a·b＝24＋6－8＝22，故C项错误；｜a｜＝＝6，故D项正确.故选AD项. 3.已知a＝（x，3，1），b＝（2，y，4），若a＝zb且c＝（x，y，z），则c＝（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得（x，3，1）＝z（2，y，4），即解得x＝，y＝12，z＝，所以c＝.故选C项. 4.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，x），c＝（1，－x，2），若（a＋b）⊥c，则x＝（　　） A.4 B.－4 C. D.－6 答案　B 解析　由已知得a＋b＝（－2，1，3＋x）.又（a＋b）⊥c，所以－2－x＋2（3＋x）＝0，解得x＝－4.故选B项. 5.（多选）已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列结论正确的是（　　） A.（2a＋b）∥a B.5｜a｜＝｜b｜ C. a⊥（5a＋6b） D. a与b夹角的余弦值为 答案　BC 解析　因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而≠≠，故A项不正确；因为｜a｜＝，｜b｜＝5，所以5｜a｜＝｜b｜，故B项正确；a·（5a＋6b）＝5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，故C项正确；又a·b＝－5，则cos＜a，b＞＝＝－，故D项不正确.故选BC项. 二、填空题 6.已知a＝（－2，0，1），b＝（1，0，2），若a⊥（ka＋b），则k＝　　　　. 解析　由ka＋b＝（－2k＋1，0，k＋2），可得a·（ka＋b）＝－2（－2k＋1）＋k＋2＝5k＝0，解得k＝0. 答案　0 7.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2），且（a＋2b）∥（2a－b），则x＝　　　　，y＝　　　　. 解析　因为a＋2b＝（1＋2x，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2），且（a＋2b）∥（2a－b），所以3（1＋2x）＝4（2－x）且3（4－y）＝4（－2y－2），所以x＝，y＝－4. 答案　　－4 8.若A（x，5－x，2x－1），B（1，x＋2，2－x），则当｜｜取最小值时，x＝　　　　. 解析　因为＝（1－x，2x－3，3－3x），所以｜｜＝＝.故当x＝时，｜｜有最小值. 答案　 三、解答题 9.已知空间三点A（1，2，3），B（2，－1，5），C（3，2，－5），求： （1）向量，的模； （2）向量，夹角θ的余弦值. 解析　（1）由于A（1，2，3），B（2，－1，5），C（3，2，－5），所以＝（1，－3，2），故｜｜＝＝； ＝（2，0，－8），故｜｜＝＝2. （2）由（1）得cos θ＝＝＝－. 10.已知向量a＝（x，4，1），b＝（－2，y，－1），c＝（3，－2，z），且a∥b，b⊥c. （1）求向量a，b，c； （2）求向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值. 解析　（1）因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，解得x＝2，y＝－4，此时a＝（2，4，1），b＝（－2，－4，－1）.又由b⊥c得b·c＝0，故（－2，－4，－1）·（3，－2，z）＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝（3，－2，2）. （2）由（1）得a＋c＝（5，2，3），b＋c＝（1，－6，1），因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为cos θ＝＝＝－. 11.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值为（　　） A. B. C. D.1 答案　B 解析　由已知得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0），所以｜b－a｜＝＝＝，所以当t＝时，｜b－a｜的最小值为.故选B项. 12.若A（1，－2，1），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状是（　　） A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 答案　A 解析　由已知得 ＝（3，4，2），＝（5，1，3），＝（2，－3，1），所以·＞0，得A为锐角；·＞0，得C为锐角；·＞0，得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形，且｜｜≠｜｜≠｜｜.故选A项. 13.（多选）已知向量a·b＝b·c＝a·c，b＝（3，0，－1），c＝（－1，5，－3），下列等式中正确的是（　　） A.（a·b）·c＝b·c B.（a＋b）·c＝a·（b＋c） C.（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2 D.｜a＋b＋c｜＝｜a－b－c｜ 答案　BCD 解析　易得a·b＝a·c＝b·c＝－3＋0＋3＝0，（a·b）·c＝0，b·c＝0，所以A项错误；（a＋b）·c－a·（b＋c）＝a·c＋b·c－a·b－a·c＝0，所以（a＋b）·c＝a·（b＋c），所以B项正确；（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝a2＋b2＋c2，所以C项正确；（a－b－c）2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2b·c－2a·c＝a2＋b2＋c2，即（a＋b＋c）2＝（a－b－c）2，即｜a＋b＋c｜＝｜a－b－c｜，所以D项正确.故选BCD项. 14.已知a＝（3，－2，－3），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围. 解析　因为＜a，b＞为钝角，所以cos＜a，b＞＜0且＜a，b＞≠π. 若cos＜a，b＞＜0，则a·b＜0，即3×（－1）＋（－2）×（x－1）＋（－3）×1＜0，解得x＞－2. 若＜a，b＞＝π，则a与b反向，则b＝λa（λ＜0）， 所以解得λ＝－3，x＝. 因为＜a，b＞≠π，所以x≠，即x＞－2且x≠， 故x的取值范围是∪. 15.设＝（cos α＋sin α，0，－sin α），＝（0，cos α，0），则｜｜的最大值为　　　　. 解析　因为＝＋＝（cos α＋sin α，cos α，－sin α），所以＝（cos α＋sin α）2＋cos2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤3，所以｜｜的最大值为. 答案　 16.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点. （1）求AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求点N的坐标. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　（1）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E，从而＝（，1，0），＝（，0，－2）.设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 所以AC与PB所成角的余弦值为. （2）由于点N在侧面PAB内，故可设点N的坐标为（x，0，z），则＝， 由NE⊥平面PAC可得 即 化简得所以 即当点N的坐标为（，0，1）时，NE⊥平面PAC. 学科网（北京）股份有限公司 $$