1.3.1 空间直角坐标系(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 （见学生用书P17） [学习目标]1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，培养直观想象的核心素养（重点）.2.掌握空间向量的正交分解的坐标表示，提升直观想象的核心素养. 要点一　空间直角坐标系 1.概念：在空间选定一点O和一个　单位正交　基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为　正方向　、以它们的长为　单位长度　建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做　坐标轴　.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做　原点　，i，j，k都叫做　坐标向量　，通过每两个坐标轴的平面叫做　坐标平面　，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 2.右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 思考：空间直角坐标系的三个要素是什么？空间直角坐标系有什么作用？ 提示：空间直角坐标系的三个要素是原点、坐标轴方向和单位长度.空间直角坐标系的作用是可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化. 要点二　空间向量的坐标表示 1.点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的　有序实数组（x，y，z）　叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作　A（x，y，z）　，其中　x　叫做点A的横坐标，　y　叫做点A的纵坐标，　z　叫做点A的竖坐标. 2.向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组　（x，y，z）　叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作　a＝（x，y，z）　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式.（　　） （2）空间直角坐标系中，在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是（a，0，0）的形式.（　　） （3）关于坐标平面Oyz对称的点其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反.（　　） （4）若点A的坐标为（x，y，z），则＝（x，y，z）.（　　） 解析　（1）错误.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（a，0，0）的形式. （2）错误.空间直角坐标系中，在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式. （3）错误.关于坐标平面Oyz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反. （4）正确.由点和向量坐标的概念可知正确. 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 探究一　求点的坐标 规律总结 求空间一点P的坐标常用的两个方法：一是利用点在坐标轴上的投影求解；二是利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标. 【例题1】长方体ABCD－A'B'C'D'的长、宽、高分别为AB＝8，AD＝3，AA'＝5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标. 解析　如图，以A为原点，分别以直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则点A，B，C，D都在平面Axy内，因而其竖坐标z都为0，因此A，B，C，D的坐标分别是A（0，0，0），B（8，0，0），C（8，3，0），D（0，3，0）. 由于点A'，B'，C'，D'都在一个垂直于z轴的平面A'B'C'D'内.又AA'＝5，所以这四点的竖坐标z都是5.又过A'，B'，C'，D'分别作Axy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，因此A'，B'，C'，D'的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同.因此A'，B'，C'，D'的坐标分别是A'（0，0，5），B'（8，0，5），C'（8，3，5），D'（0，3，5）. （答案不唯一） 【变式1】已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解析　因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为＝2.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，－2，0），B（2，2，0），C（－2，2，0），D（－2，－2，0），P（0，0，2）. （答案不唯一） 探究二　求向量的坐标 答题模板 用坐标表示空间向量的一般步骤 （1）观察图形：观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线； （2）找垂直：找出（或作出）两两垂直的三条直线和相应的单位向量作为基底； （3）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； （4）进行计算：综合利用空间向量的线性运算； （5）确定结果：确定目标向量的坐标. 【例题2】已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标. 解析　＝＋＋＝2i＋2j＋2k＝（2，2，2），＝＋＋＝2i＋2j＋×2k＝2i＋2j＋k＝（2，2，1），＝＝×2j＝j＝（0，1，0）. 【变式2】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的空间直角坐标系并写出向量，的坐标. 解析　如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB， 所以可设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz. 因为＝＝e2，＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）＝－e2＋e3＋（－e3－e1＋e2）＝－e1＋e3， 所以＝，＝（0，1，0）. 探究三　空间中的对称问题 解题技巧 空间中点的对称问题的解题策略 （1）空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.如点（x，y，z）关于y轴的对称点为（－x，y，－z），关于坐标平面Oyz的对称点为（－x，y，z）. 【例题3】在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）求点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标； （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. 解析　（1）因为点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为（－2，－1，－4）. （2）因为点P关于坐标平面Oxy对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P2的坐标为（－2，1，－4）. （3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12，所以点P3的坐标为（6，－3，－12）. 【变式3】已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　. 解析　点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标为（2，－3，1）. 答案　（2，－3，1） 1.点P（2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（　　） A. y轴上 B.坐标平面Oxy上 C.坐标平面Ozx上 D.坐标平面Oyz上 答案　C 解析　因为点P 的坐标中纵坐标为0，横坐标和竖坐标都不为0，所以点P在坐标平面Ozx上.故选C项. 2.在空间直角坐标系中，点P（－1，2，3）关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（　　） A.（1，－2，－3） B.（－1，2，－3） C.（1，－2，3） D.（－1，－2，3） 答案　B 解析　由题意可得对称点的横坐标和纵坐标与点P的相同，竖坐标与点P的互为相反数，故对称点的坐标为（－1，2，－3）.故选B项. 3.设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，如果a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，那么a，b的坐标分别为　　　　. 解析　由题意可知a＝（4，－8，3），b＝（－2，－3，7）. 答案　（4，－8，3），（－2，－3，7） 4.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量的坐标为　　　　. 解析　由题意可令＝i，＝j，＝k，则＝＋＝－（＋）＋（＋）＝－＝i－k＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$