1.2.2 空间向量基本定理的应用(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二课时　空间向量基本定理的应用 （见学生用书P15） [学习目标]通过运用空间向量基本定理，结合数量积运算，能证明空间线面的位置关系及求直线的夹角、两点间的距离（线段长度），提升逻辑推理和数学运算的核心素养（难点）. 探究一　证明平行或垂直问题 规律总结 （1）当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. （2）证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明. 【例题1】如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，E，F，G分别是A'D'，DD'，D'C'的中点，请选择恰当的基底证明下列问题. （1）EG∥AC； （2）平面EFG∥平面AB'C. 证明：由题意可取基底为{，，}. （1）因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. （2）因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥，又FG，AB'无公共点，所以FG∥AB'.又FG⊄平面AB'C，AB'⊂平面AB'C，所以FG∥平面AB'C.又由（1）知EG∥AC，所以EG∥平面AB'C，又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB'C. 【变式1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{，，}，＝－＝（＋）－，＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·（＋）＝0，·＝·（＋）＝0， 所以A1O⊥DG，A1O⊥BG，又DG，BG⊂平面GBD，BG∩DG＝G，所以A1O⊥平面GBD. 探究二　求线段的长度问题 解题技巧 求线段长度的方法 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝，通过计算求出｜a｜，即得所求距离. 【例题2】如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝1，AD＝2，AA'＝3，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则AC'的长为（　　） A.5 B. C. D. 答案　B 解析　因为＝＋＋＝＋＋， 所以＝（＋＋）2＝＋＋＋2（·＋·＋·），因为AB＝1，AD＝2，AA'＝3，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，所以＝12＋22＋32＋2×（0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°）＝14＋2×＝23.所以｜｜＝，即AC'的长为.故选B项. 【变式2】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则｜｜＝（　　） A.a B.a C.a D .a 答案　A 解析　因为＝－＝＋－＝＋－（＋＋）＝＋－，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，AB⊥AA1，AD⊥AA1，所以·＝·＝·＝0，所以｜｜2＝＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＝a2，所以｜｜＝a.故选A项. 探究三　求两直线的夹角问题 解题技巧 （1）求几何体中两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小. （2）由两个向量的数量积定义得cos＜a，b＞＝，求＜a，b＞的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出＜a，b＞的余弦值，进而求＜a，b＞的大小.在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基底表示出来，进而化简得出a·b的值. （3）直线AB，CD的夹角α∈，而＜，＞∈[0，π]，故α＝＜，＞或α＝π－＜，＞. 【例题3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值. 解析　由题意可得＝－＝（－），＝＋＝－＋， 所以·＝·（－＋）＝＝， 又＝＝，＝， 所以 cos＜，＞＝ ＝＝， 故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为. 【变式3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与AC夹角的大小为　　　　. 解析　不妨设正方体的棱长为1， 则·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（＋）＝·＋＋·＋·＝0＋＋0＋0＝＝1， 又因为｜｜＝，｜｜＝， 所以cos＜，＞＝ ＝＝. 因为＜，＞∈[0，π]， 所以＜，＞＝. 所以BC1与AC夹角的大小为. 答案　 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（　　） A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 答案　C 解析　由题意得＝－，所以·＝·（－）＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，故⊥，即直线AB与CD垂直.故选C项. 2.已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥a，BD⊥a，且AB＝1，CD＝，则a，b所成的角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.135° 答案　B 解析　因为＝＋＋，所以·＝·（＋＋）＝＝1，所以cos＜，＞＝＝＝，所以异面直线a，b所成的角为45°.故选B项. 3.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝　　　　. 解析　如图所示，＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，所以｜｜2＝（＋＋）2＝，则AM＝. 答案　 4.在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，求证：OA⊥BC. 证明：如图所示，因为·＝·（－）＝·－·＝｜｜·｜｜·cos∠AOC－｜｜·｜｜cos∠AOB＝0，所以⊥，所以OA⊥BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$