1.2.1 空间向量基本定理(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.2　空间向量基本定理 第一课时　空间向量基本定理 （见学生用书P12） [学习目标]1.了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握空间向量的正交分解，培养直观想象的核心素养.3.会选择适当的基底表示任意向量，强化直观想象和数学运算的核心素养（重点）. 要点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c　不共面　，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个　基底　，a，b，c都叫做　基向量　.空间任意三个　不共面　的向量都可以构成空间的一个基底. 思考：若{a，b，c}是空间的一个基底，那么a与b可以共线吗？ 提示：a与b不可以共线.因为a，b，c不共面，所以a与b不可以共线. 要点二　正交分解 1.单位正交基底的概念：如果空间的一个基底中的三个基向量　两两垂直　，且长度都为　1　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用　{i，j，k}　表示. 2.正交分解的概念：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使　a＝xi＋yj＋zk　.像这样，把一个空间向量分解为三个　两两垂直　的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底.（　　） （2）若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全都不是零向量.（　　） （3）若对向量p，可以找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一个基底.（　　） （4）对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组（λ1，λ2，λ3），使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.（　　） 解析　（1）错误.只要三个向量不共面，就可以作为一个基底. （2）正确.由基底的概念知正确. （3）错误.三个向量必须不共面才行. （4）错误.当λ1＝λ2＝λ3＝0时，满足条件. 答案　（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 探究一　基底的判断 解题技巧 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组.若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面. 【例题1】已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底. 解析　假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立， 所以e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面， 所以此方程组无解， 所以不存在实数x，y，使＝x＋y，所以，，不共面. 故{，，}能作为空间的一个基底. 【变式1】（多选）已知a，b，c是不共面的三个向量，则不能构成一个基底的一组向量是（　　） A.2a，a－b，a＋2b B.2b，b－a，b＋2a C. a，2b，b－c D. c，a＋c，a－c 答案　ABD 解析　对于A项，因为2a＝（a－b）＋（a＋2b），所以2a，a－b，a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B项，因为2b＝（b－a）＋（b＋2a），所以2b，b－a，b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C项，因为找不到实数λ，μ，使a＝λ·2b＋μ（b－c）成立，故a，2b，b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D项，因为c＝（a＋c）－（a－c），所以c，a＋c，a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底.故选ABD项. 探究二　用基底表示空间向量 答题模板 用基底表示空间向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. （3）下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 【例题2】已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，F为MN的中点.用基底{a，b，c}表示向量和. 解析　如图所示. ＝－＝（＋）－＝－a＋b＋c，＝（＋）＝＋＝×＋×（＋）＝a＋b＋c. 【变式2】如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解析　连接A'N（图略），则＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋（－）＋＝＋＋＝（a＋b＋c），＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c. 探究三　用空间向量基本定理求参数 规律总结 由空间向量基本定理可知，如果三个向量a，b，c是不共面的向量（基向量），则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，并且有序数组（x，y，z）是唯一的，这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础. 【例题3】已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M是PC上靠近C的三等分点，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值. 解析　方法一　如图，取PC的中点E，连接NE，则＝－. 因为E，N分别为PC，PD的中点，所以＝＝＝－，又M为PC上靠近C的三等分点， 所以＝－＝－＝， 连接AC，则＝－＝＋－， 所以＝－－（＋－） ＝－－＋. 因为，，不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 方法二　＝－＝－ ＝（＋）－（＋） ＝－＋－（－＋＋） ＝－－＋. 因为，，不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 【变式3】已知正方体ABCD－A'B'C'D'中，点E是上底面A'B'C'D'的中心，求下列各式中x，y，z的值. （1）＝x＋y＋z； （2）＝x＋y＋z. 解析　（1）因为＝＋＝＋＋＝－＋＋，且＝x＋y＋z，所以x＝1，y＝－1，z＝1. （2）因为＝＋＝＋＝＋·（＋）＝＋＋＝＋＋，且＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝1. 1.（多选）下列结论正确的是（　　） A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R，且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底 D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 答案　ABD 解析　由基底的概念可知A，B，D项正确；对于C项，因为c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故C项错误.故选ABD项. 2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 答案　C 解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C项中的三个向量，，不共面，可以作为空间向量的一个基底.故选C项. 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　　　. 解析　因为＝＋＋＝x＋y＋z，所以x＝y＝z＝1，则x＋y＋z＝3. 答案　3 4.如图所示，在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为△ABC的重心，用向量，，表示向量. 　　　 题图　　　　　　　答图 解析　如图所示，延长AG交BC于D，则D为BC的中点，所以＝（＋）. 又因为＝－，＝－， 所以＝＝（＋） ＝（－2＋＋）. 又因为M为OA的中点， 所以＝－， 所以＝－＝（－2＋＋）＋＝－＋＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$