1.1.2 空间向量的数量积运算(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 （见学生用书P8） [学习目标]1.掌握空间向量的数量积，发展数学抽象的核心素养（重点）.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，增强数学抽象和直观想象的核心素养.3.数量积在空间中的简单应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养（重难点）. 要点一　空间向量的夹角 1.定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　∠AOB　叫做向量a，b的夹角，记作　＜a，b＞　. 2.向量a，b的夹角＜a，b＞的范围是　[0，π]　.如果＜a，b＞＝，那么称向量a，b互相　垂直　，记作　a⊥b　. 思考：当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？ 提示：当＜a，b＞＝0时，a与b同向；当＜a，b＞＝π时，a与b反向. 要点二　空间向量的数量积 1.定义 已知两个非零向量a，b，则　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝　｜a｜·｜b｜cos＜a，b＞　. 2.性质 （1）若a，b是非零向量，则a⊥b⇔　a·b　＝0. （2）若a与b同向，则a·b＝｜a｜·｜b｜；若反向，则a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝　｜a｜2　，　｜a｜　＝. （3）cos＜a，b＞＝. （4）｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 3.运算律 （1）（λa）·b＝　λ（a·b）　； （2）交换律：a·b＝　b·a　； （3）分配律：（a＋b）·c＝　a·c＋b·c　. 思考：数量积的运算满足结合律吗？ 提示：数量积的运算不满足结合律，也不满足消去律，即（a·b）·c≠a·（b·c），a·b＝a·c⇒/ b＝c. 要点三　向量a的投影和投影向量 1.如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝｜a｜cos＜a，b＞·，向量c称为　向量a　在　向量b　上的　投影向量　. 2.如图（2），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 　　 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）向量与的夹角等于向量与的夹角.（　　） （2）若向量与的夹角为α，则直线AB与CD所成的角也为α.（　　） （3）对于向量a，b，c，有（a·b）·c＝a·（b·c）.（　　） （4）对任意向量a，b，满足｜a·b｜≤｜a｜｜b｜.（　　） 解析　（1）错误.向量与的夹角和向量与的夹角互补，而不是相等. （2）错误.不一定，可能是α，也可能是π－α. （3）错误.（a·b）·c是与c共线的向量，而a·（b·c）是与a共线的向量. （4）正确.由数量积的性质知正确. 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 探究一　数量积的计算 规律总结 （1）已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算. （2）如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝｜a｜2及数量积公式进行计算. 【例题1】已知三棱锥O－ABC的各个侧面都是等边三角形，且边长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点.试求： （1）·； （2）·； （3）·； （4）·. 解析　（1）·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝｜｜·｜｜cos∠AOB＝2×2×cos 60°＝2. （2）·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝｜｜｜｜·cos 180°＝1×2×（－1）＝－2. （3）·＝·（－）＝·－·＝2×2×cos∠BOC－2×2×cos∠BOA＝0. （4）·＝·＝·＝·（－）＝（－·）＝×（22－2）＝1. 【变式1】如图，在单位正方体ABCD－A'B'C'D'中，设＝a，＝b，＝c，求： （1）a·（b＋c）； （2）（a＋b）·（b＋c）； （3）（a＋b＋c）·（a＋b＋c）. 解析　（1）由题意知，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝c·b＝0， 所以a·（b＋c）＝a·b＋a·c＝0. （2）（a＋b）·（b＋c）＝a·b＋a·c＋b2＋b·c＝c＝1. （3）（a＋b＋c）·（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋a·c＋b·c）＝3. 探究二　用数量积求角和距离 规律总结 （1）找两向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]. （2）利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：①根据题设条件在两异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角的问题转化为求向量的夹角问题；③利用数量积求角的大小.注意异面直线所成角的范围是. （3）求空间两点间的距离（线段的长可看成线段两端点间的距离）可以利用空间向量的数量积将其转化为求向量的模的问题，其基本步骤是：①选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和或差的形式；②求出几个已知向量的模和两两之间的夹角；③利用公式｜a｜＝求出模，即求出空间两点间的距离. 【例题2】（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角＜，＞＝　　　　；向量与的夹角＜，＞＝　　　　. （2）如图，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD'⊥α于点D'.如果∠DBD'＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，则CD的长为　　　　. 解析　（1）因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥C1B，故＜，＞＝90°，因为∥，所以＜，＞＝＜，＞＝180°－∠A1BD，因为△A1BD为等边三角形，所以∠A1BD＝60°，所以＜，＞＝120°. （2）由AC⊥α，可知AC⊥AB.由∠DBD'＝30°，可知＜，＞＝60°.因为｜｜2＝·＝（＋＋）2＝｜｜2＋＋｜｜2＋2（·＋·＋·）＝b2＋a2＋b2＋2（0＋b2cos 60°＋0）＝a2＋3b2，所以｜｜＝，即CD＝. 答案　（1）90°　120°　（2） 【变式2】（1）已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° （2）已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　　） A.6 B. C.3 D. 解析　（1）因为AC⊥b，BD⊥b，C，D∈b，所以·＝（＋＋）·＝＝1，所以cos＜，＞＝＝＝，所以＜，＞＝60°，即异面直线a，b所成的角为60°.故选C项. （2）设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝.由＝a＋b＋c得｜｜2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6，所以｜｜＝.故选B项. 答案　（1）C　（2）B 探究三　利用向量的数量积证明垂直 答题模板 用向量法证明垂直关系的一般步骤 （1）把已知的几何问题转化为向量问题； （2）用已知夹角和模的向量把未知向量表示出来； （3）结合数量积公式及运算律证明向量的数量积为0； （4）将向量问题转化为几何问题，得到几何结论. 【例题3】如图所示，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 证明：设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，且＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜. 因为＝（＋）＝·＝（a＋b＋c），＝c－b， 所以·＝（a＋b＋c）·（c－b）＝（a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c）＝（｜a｜2·cos θ－｜a｜2·cos θ－｜a｜2＋｜a｜2）＝0.所以⊥，即OG⊥BC. 【变式3】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1. 证明：由题意设＝a，＝b，＝c，｜a｜＝｜b｜＝m，｜c｜＝n，则a·b＝m2cos 60°＝m2，a·c＝b·c＝0. 因为AB1⊥BC1，且＝＋＝－a＋c，＝＋＝b＋c， 所以·＝（－a＋c）·（b＋c）＝－a·b＋c2＝n2－m2＝0，即m2＝2n2， 所以·＝（－a＋c）·（＋＋）＝（－a＋c）·（－c－a＋b）＝a2－c2－a·b＝m2－n2－m2＝0， 所以⊥，即A1C⊥AB1. 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　由题意可得＝，所以＜，＞＝＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°.故选C项. 2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·（b＋c）的值为（　　） A.1 B.0 C.－1 D.－2 答案　B 解析　由题意可得a⊥b，a⊥c，所以a·（b＋c）＝a·b＋a·c＝0.故选B项. 3.在三棱锥P－ABC中，PB＝PC＝1，∠APB＝∠APC＝90°，∠BPC＝60°，则·＝（　　） A. B. C.1 D. 答案　A 解析　由题意可得·＝（－）·＝·－·＝｜｜｜｜·cos∠BPC－0＝1×1×cos 60°＝.故选A项. 4.如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则｜＋｜＝　　　　，｜－｜＝　　　　. 解析　｜＋｜＝｜｜＝2.因为＝，·＝2×2×cos 60°＝2，所以｜－｜2＝＝－·＋＝4－2＋×4＝3，故｜－｜＝. 答案　2 学科网（北京）股份有限公司 $$