1.1.1 空间向量及其线性运算(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 （见学生用书P4） [学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，培养逻辑推理的核心素养.3.掌握空间向量的线性运算，培养数学运算和直观想象的核心素养（重点）.4.理解并会应用空间向量共线、共面的充要条件，增强逻辑推理、数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养（难点）. 要点一　空间向量的有关概念 1.定义：在空间，具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量. 2.长度或模：向量的　大小　. 3.表示方法 （1）几何表示法：空间向量用　有向线段　表示； （2）字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为　｜a｜　或　｜｜　. 4.特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定　长度为0　的向量叫做零向量，记为0 单位向量 　模为1　的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线　互相平行或重合　，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量　平行　，即对于任意向量a，都有0　∥　a 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量称为相等向量.在空间，　同向　且　等长　的有向线段表示同一向量或相等向量 练习：（多选）下列命题为真命题的是（　　） A.空间向量与的长度相等 B.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.零向量与任意向量平行 答案　ABD 解析　对于A项，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，正确；对于B项，由相等向量的概念可知命题正确；对于C项，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，错误；对于D项，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，正确.故选ABD项. 要点二　空间向量的线性运算 1.定义 如图，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： （1）a＋b＝＋＝； （2）a－b＝－＝； （3）当λ＞0时，λa＝λ＝；当λ＜0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0. 2.运算律（其中λ，μ∈R） （1）交换律：a＋b＝　b＋a　； （2）结合律：（a＋b）＋c＝　a＋（b＋c）　，λ（μa）＝　（λμ）a　； （3）分配律：（λ＋μ）a＝　λa＋μa　，λ（a＋b）＝　λa＋λb　. 思考：空间向量的加、减法与平面向量的加、减法是否相同？平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗？ 提示：因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内，所以任意两个空间向量的运算都可以转化为平面向量的运算，所以空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向量中仍然适用. 要点三　空间中的共线向量 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使　a＝λb　. 2.方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数　λ　，使得＝　λa　，我们把与向量a　平行　的非零向量称为直线l的　方向向量　. 要点四　空间中的共面向量 1.向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l　平行或重合　，那么称向量a平行于直线l. 2.向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a　平行于　平面α. 3.共面向量：　平行于　同一个平面的向量，叫做共面向量. 4.空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使　p＝xa＋yb　. 思考：若向量p，a，b满足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面吗？ 提示：共面.当a与b共线时，显然向量p，a，b共面；当a与b不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量p，a，b共面. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）零向量没有方向.（　　） （2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量.（　　） （3）空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向.（　　） （4）若a＝－b，则｜a｜＝｜b｜.（　　） （5）若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同.（　　） 解析　（1）错误.零向量与任意向量共线，故可以认为零向量的方向是任意的. （2）错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，与是否有公共终点无关. （3）错误.当λ＞0时，λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，λa与向量a的方向相反. （4）正确.由相反向量的概念可知正确. （5）错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定. 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√　（5）× 探究一　空间向量的概念 误区防错 解答空间向量有关概念问题的注意点 （1）空间向量的两大要素：大小和方向.两向量相等的充要条件：大小相等，方向相同. （2）两个特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，方向任意； ②单位向量：长度为1的向量，方向不确定. （3）空间向量不能比较大小，但空间向量的模可以比较大小. 【例题1】（多选）下列命题中，不正确的命题是（　　） A.两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b C.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ D.空间中任意两个单位向量必相等 答案　ABD 解析　当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等不一定起点相同、终点相同，故A项不正确；向量相等需模相等且方向相同，故B项不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与方向相同，模也相等，必有＝，故C项正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D项不正确.故选ABD项. 【变式1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. （1）向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； （2）若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞； （3）任一向量与它的相反向量不相等； （4）四边形 ABCD为平行四边形的充要条件是 ＝. 解析　（1）不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求向量，在同一条直线上. （2）不正确.向量不能比较大小. （3）不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. （4）不正确.若A，B，C，D四点共线，则无法构成四边形. 探究二　空间向量的线性运算 规律总结 （1）空间向量加法、减法运算的两个技巧 ①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. ②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. （2）利用数乘运算进行向量表示的技巧 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 【例题2】在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. （1）＋＋； （2）（＋－）. 解析　（1）因为点G是△BCD的重心，所以｜｜＝｜｜，所以＝，又因为＝，所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝.从而＋＋＝. （2）如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH， 则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝，所以（＋－）＝＋－＝－＝. 【变式2】（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的是（　　） A.（＋）＋ B.（＋）＋ C.（＋）＋ D.（＋）＋ 答案　BCD 解析　（＋）＋＝＋＝，（＋）＋＝＋＝，（＋）＋＝＋＝，（＋）＋＝＋＝.故选BCD项. 探究三　向量的共线问题 规律总结 （1）判断或证明a，b共线，即找实数x，使得b＝xa（a≠0），在这里要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简转化为a，b的关系式，得到b＝xa（a≠0）的形式，从而得到b∥a. （2）证明（或判断）A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ（或μ），使＝λ（或＝μ）即可.也可用“对空间任意一点O，有＝t＋（1－t），t∈R”来证明三点共线. 【例题3】如图，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线. 解析　因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， 所以＝＋＋＝＋＋，且＝＋＋＋＝－＋－－， 所以＋＋＝－＋－－， 所以＝＋2＋＝2（＋＋）＝2， 所以∥，即与共线. 【变式3】如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线. 证明： 设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋ ＝＋（＋） ＝－a＋ ＝－a＋（a＋b＋c）＝－a＋b＋c， 因为＝＋＝＋（＋） ＝－a＋b＋c＝， 所以∥，即B，G，N三点共线. 探究四　向量的共面问题 规律总结 （1）证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可以直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明. （2）向量共面时向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面（向量的起点、终点共面）. 【例题4】已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面. 证明： 由题意可设＝x＋y，则有 e1＋e2＝x（2e1＋8e2）＋y（3e1－3e2）＝（2x＋3y）e1＋（8x－3y）e2.因为e1和e2不共线， 所以解得 所以＝＋，所以A，B，C，D四点共面. 【变式4】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点.求证：向量，，是共面向量. 证明： 方法一　＝＋＋ ＝－＋ ＝（＋）－ ＝－. 由向量共面的充要条件知，向量，，是共面向量. 方法二　如图，连接A1D，BD，取A1D的中点G，连接FG，BG，则FG􀱀DD1，BE􀱀DD1，所以FG􀱀BE， 所以四边形BEFG为平行四边形， 所以EF∥BG，所以EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD， 所以，，都与平面A1BD平行. 所以向量，，是共面向量. 1.（多选）下列命题中，正确的是（　　） A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行 C.只有零向量的模等于0 D.相等向量其方向必相同 答案　ACD 解析　向量都不能比较大小，故A项正确；向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合，故B项错误；只有零向量的模等于0，故C项正确；相等向量的长度相等，方向相同，故D项正确.故选ACD项. 2.已知空间向量a，b互为相反向量，且｜b｜＝3，则下列结论正确的是（　　） A. a＝b B. a＋b为实数0 C. a与b方向相同 D.｜a｜＝3 答案　D 解析　向量a，b互为相反向量，则a，b的模相等、方向相反，只有D项正确.故选D项. 3.下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　） A. ＝2－－ B. ＝＋＋ C. ＋＋＝0 D. ＋＋＋＝0 答案　C 解析　C项中，＝－－，且有公共点M，所以点M，A，B，C共面.故选C项. 4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝　　　　（用a，b，c表示）. 解析　＝－＝－（＋）＝－a＋b－c. 答案　－a＋b－c 学科网（北京）股份有限公司 $$