培优训练(一)(范围：1.1～1.3)(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

（范围：1.1～1.3） 一、选择题 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，设＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A. a＋b＋c B.a＋b＋c C.－a＋b＋c D.a＋b＋c 答案　A 解析　由题知，点F是侧面CDD1C1的中心，所以F为DC1的中点，则＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c.故选A项. 2.已知空间向量a＝（－1，2，x），b＝（3，－6，－3），且a∥b，则x＝（　　） A.9 B.－1 C.1 D.－9 答案　C 解析　因为空间向量a＝（－1，2，x），b＝（3，－6，－3），且a∥b，所以＝＝，解得x＝1.故选C项. 3.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则（　　） A. O，A，B，C四点共面 B. P，A，B，C四点共面 C. O，P，B，C四点共面 D. O，P，A，B，C五点共面 答案　B 解析　由6＝＋2＋3，得－＝2（－）＋3（－），即＝2＋3，所以，，共面，又它们有公共点P，所以P，A，B，C四点共面.故选B项. 4.（多选）已知空间向量a＝（1，1，1），b＝（－1，0，2），则下列结论正确的是（　　） A. a＋b＝（0，1，3） B.｜a｜＝ C. a⊥b D.＜a，b＞＝ 答案　AB 解析　因为a＝（1，1，1），b＝（－1，0，2），所以a＋b＝（1，1，1）＋（－1，0，2）＝（0，1，3），故A项正确；｜a｜＝＝，故B项正确；a·b＝（1，1，1）·（－1，0，2）＝－1＋0＋2＝1≠0，所以a，b不垂直，故C项错误； cos＜a，b＞＝＝＝≠cos ，故D项错误.故选AB项. 5.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P为B1C1的中点，则·＝（　　） A.6 B.－6 C.2 D.－2 答案　A 解析　根据堑堵的几何性质知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为＝＋，＝＋＝＋（－），所以·＝（＋）·［＋（－）］＝·＋－·＋＋·－·＝2＋4＝6.故选A项. 二、填空题 6.已知点A（－2，－1，－3），B（1，3，9），若a0是与反向的单位向量，则a0＝　　　　. 解析　由题意知，＝（3，4，12），则｜｜＝＝13， 所以a0＝－＝（－，－，－）. 答案　（－，－，－） 7.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，G为B1C1的中点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　　　；若该六面体的棱长都为2，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则AG＝　　　　. 解析　＝＋＝＋＋＝＋＋，所以x＝1，y＝，z＝1，所以x＋y＋z＝.因为｜｜2＝＝（＋＋）2＝＋＋＋·＋2·＋·＝22＋×22＋22＋2×2cos 60°＋2×2×2cos 60°＋2×2cos 60°＝17，所以｜｜＝，即AG＝. 答案　 8.在三棱锥O－ABC中，M，N，P，Q四点分别为棱OA，AB，BC，OC的中点，则以下表述正确的序号是　　　　. ①若·＝0，·＝0，则·＝0； ②＝； ③若｜｜＝｜｜，则·＝0； ④－＝－. 解析　对于①，·＝0，即·（－）＝0，·＝0，即·（－）＝0，两式相减得·－·＝0，即·＝0，正确；对于②，连接MN，NP，PQ，QM，如图，M，N，P，Q四点分别为棱OA，AB，BC，OC的中点，则MN∥OB∥PQ，且MN＝OB＝PQ，则四边形MNPQ为平行四边形，故＝，正确；对于③，由｜｜＝｜｜可知，平行四边形MNPQ为菱形，故·＝0，正确；对于④，－＝，－＝，两向量所在直线为平行四边形MNPQ的对角线所在直线，两向量不共线，故≠，错误.故正确表述的序号是①②③. 答案　①②③ 三、解答题 9.如图，在正四面体O－ABC中，OA＝6，M为棱OA的中点，N为棱BC（靠近C点）的三等分点，设＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示； （2）求·； （3）求MN的长. 解析　（1）＝＋＝－a＋＋＝－a＋＋＝－a＋＋（＋）＝－a＋b－b＋c＝－a＋b＋c. （2）由（1）知·＝a·（－a＋b＋c） ＝－a2＋a·b＋a·c ＝－×36＋×6×6×＋×6×6× ＝－18＋3＋6＝－9. （3）＝－ ＝＋－a＝b＋（c－b）－a ＝－a＋b＋c， 所以｜｜2＝（－a＋b＋c）2 ＝a2＋b2＋c2＋2·（－）·a·b＋2·（－）·a·c＋2··b·c ＝×36＋×36＋×36－6－12＋8＝19， 所以｜｜＝. 10.棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：EF⊥B1C； （2）求cos＜，＞； （3）求FH的长. 　　　 题图　　　　　　　　答图 解析　（1）证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），B1（2，2，2），G（0，，0）， 因为＝（1，1，－1），＝（－2，0，－2）， 所以·＝（1，1，－1）·（－2，0，－2）＝1×（－2）＋1×0＋（－1）×（－2）＝0， 所以⊥，故EF⊥B1C. （2）因为＝（0，－，－2）， 所以｜｜＝. 因为｜｜＝，且·＝（1，1，－1）·（0，－，－2）＝2－＝， 所以cos＜，＞＝＝＝·＝＝. （3）因为H是C1G的中点，所以H（0，，1）， 又因为F（1，1，0），所以＝（1，－，－1）， 所以｜｜＝＝＝，即FH＝. 11.已知a＝（1，1，0），b＝（1，1，1），若b＝b1＋b2，b1∥a，b2⊥a，则向量2b1－3b2的坐标为（　　） A.（2，－2，－3） B.（2，－2，3） C.（－2，－2，3） D.（2，2，－3） 答案　D 解析　因为b1∥a，所以设b1＝（m，m，0），因为b＝b1＋b2，所以b2＝b－b1＝（1，1，1）－（m，m，0）＝（1－m，1－m，1），因为b2⊥a，所以1－m＋1－m＋0＝0，解得m＝1，则b1＝（1，1，0），b2＝（0，0，1），所以2b1－3b2＝（2，2，0）－（0，0，3）＝（2，2，－3）.故选D项. 12.（多选）已知a＝（2，－1，2），b＝（2，2，1），则（　　） A. a，b的夹角为锐角 B. a＋b与a－b相互垂直 C.｜a＋b｜＝｜a－b｜ D.以a，b为邻边的平行四边形的面积为 答案　ABD 解析　a＝（2，－1，2），b＝（2，2，1），则｜a｜＝｜b｜＝3，a·b＝2×2－1×2＋2×1＝4. 因为≠≠，则a与b不共线，又因为cos＜a，b＞＝＝＞0，故a，b的夹角为锐角，故A项正确；因为a＋b＝（4，1，3），a－b＝（0，－3，1），则（a＋b）·（a－b）＝4×0＋1×（－3）＋3×1＝0，所以a＋b与a－b相互垂直，故B项正确；｜a＋b｜＝＝，｜a－b｜＝＝，即｜a＋b｜≠｜a－b｜，故C项错误；因为＜a，b＞∈（0，π），则sin＜a，b＞＝＝，故以a，b为邻边的平行四边形的面积为2××3×3×＝，故D项正确.故选ABD项. 13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则下列结论正确的序号是　　　　. ①当λ＝1时，点P在棱BB1上； ②当μ＝1时，点P在棱B1C1上； ③当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上； ④当λ＝μ时，点P在线段BC1上. 解析　当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即P在棱CC1上，故①错误；同理当μ＝1时，∥，故P在棱B1C1上，故②正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋（1－λ），即＝λ，故点P在线段B1C上，故③正确；当λ＝μ时，＝λ（＋）＝λ，故点P在线段BC1上，故④正确. 答案　②③④ 14.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，CA＝CB＝CC1＝1，＜a，b＞＝＜a，c＞＝，＜b，c＞＝，N是AB的中点. （1）用a，b，c表示向量； （2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置；若不存在，说明理由. 解析　（1）因为N是AB的中点， 所以＝， 所以＝＋＝＋＝－＋（－）＝－a＋b－c. （2）假设存在点M，使AM⊥A1N，设＝λ（λ∈[0，1]），显然λ＝λb，＝＋＋＝c－a＋λb，因为AM⊥A1N，所以·＝0， 即（c－a＋λb）·（－a＋b－c）＝0， 所以－c·a＋c·b－c2＋a2－a·b＋c·a－λa·b＋λb2－λb·c＝0， 因为CA＝CB＝CC1＝1，＜a，b＞＝＜a，c＞＝，＜b，c＞＝， 所以c·a－c2＋a2－（＋λ）a·b＋λb2＝0， 即×1×1×（－）－12＋×12－（＋λ）×1×1×（－）＋λ·12＝0， 解得λ＝， 所以当C1M＝C1B1时，AM⊥A1N. 15.（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，即图2中有AE＝BE＝CE＝DE.若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论正确的是（　　） 　 图1　　　　　图2 A.｜｜＝ B.｜＋＋｜＝ C. cos＜，＞＝ D. ·＝2 答案　BD 解析　由题意得E是四面体ABCD外接球的球心，设O是顶点A在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是△BCD的外接圆半径，则OB＝，AO＝，BE2＝（AO－AE）2＋BO2，解得AE＝，OE＝，所以｜｜＝AE＝，故A项错误；因为AE＝BE＝DE，所以＋＝－（＋），所以＋＋＋＝0，所以｜＋＋｜＝｜｜＝｜｜＝，故B项正确；cos＜，＞＝cos＜，＞＝－＝－，故C项错误；·＝＝2，故D项正确.故选BD项. 16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且EF⊥A1E.若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则B1F的取值范围是　　　　. 　　　　 题图　　　　　　　答图 解析　以点C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（2，1，0）.设E（2，0，m），F（0，1，n），0≤m≤3，0≤n≤3，则＝（0，－1，m），＝（－2，1，n－m）.因为EF⊥A1E，所以·＝0，即－1＋m（n－m）＝0，化简得mn＝1＋m2.当m＝0时，显然不符合题意.故n＝＋m≥2，当且仅当m＝1时，等号成立.故B1F的最小值为2.所以2≤B1F≤3，即B1F的取值范围是[2，3]. 答案　[2，3] 学科网（北京）股份有限公司 $$