培优训练(四)(范围：2.4～2.5)(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

（范围：2.4～2.5） 一、选择题 1.下列说法正确的是（　　） A.圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为（1，2），半径为5 B.圆（x＋2）2＋y2＝b2（b≠0）的圆心为（－2，0），半径为b C.圆（x－）2＋（y＋）2＝2的圆心为（，－），半径为 D.圆x2＋y2＋4x＋4y＋4＝0的圆心为（2，2），半径为2 答案　C 解析　由圆的一般方程得圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5，所以圆心为（1，2），半径为，故A项错误；由圆（x＋2）2＋y2＝b2（b≠0）可得，圆心为（－2，0），半径为｜b｜，故B项错误；由圆（x－）2＋（y＋）2＝2可得，圆心为（，－），半径为，故C项正确；由圆的一般方程得圆的标准方程为（x＋2）2＋（y＋2）2＝4，所以圆心为（－2，－2），半径为2，故D项错误.故选C项. 2.（多选）过点（0，1）且与圆（x－1）2＋（y＋2）2＝1相切的直线的方程是（　　） A. x＝0 B. y＝0 C.4x＋3y－3＝0 D.3x＋4y－4＝0 答案　AC 解析　当斜率不存在时，直线x＝0满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，由直线与圆（x－1）2＋（y＋2）2＝1相切得＝1，解得k＝－，故切线方程为4x＋3y－3＝0.故选AC项. 3.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是（　　） A.10 B.10或－68 C.5或－34 D.－68 答案　B 解析　由题意得圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝52，所以圆心O（1，－2），半径r＝5，d＝＝＝3，又d等于圆心到直线的距离，即＝3，得c＝10或c＝－68.故选B项. 4.圆（x＋2）2＋（y－12）2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的方程为（　　） A.（x＋6）2＋（y＋4）2＝4 B.（x－4）2＋（y＋6）2＝4 C.（x－4）2＋（y－6）2＝4 D.（x－6）2＋（y－4）2＝4 答案　D 解析　由圆的方程（x＋2）2＋（y－12）2＝4可得，圆心坐标为（－2，12），半径为2，由题意可得关于直线x－y＋6＝0对称的圆的圆心与（－2，12）关于直线对称，半径为2，设所求圆的圆心为（a，b），则解得a＝6，b＝4，故圆的方程为（x－6）2＋（y－4）2＝4.故选D项. 5.已知直线l：ax－y＋1＝0与圆C：（x－1）2＋y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（　　） A.1 B. C.2 D.2 答案　C 解析　因为直线l：ax－y＋1＝0恒过点（0，1），且点（0，1）在圆内，所以直线与圆相交，圆C：（x－1）2＋y2＝4的圆心C（1，0），半径r＝2，所以△ABC的面积的最大值为S＝｜CA｜·｜CB｜·sin∠ACB＝r2sin∠ACB≤r2＝×4＝2.故选C项. 二、填空题 6.已知点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是　　　　. 解析　由于（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，所以点（1，1）到圆心（a，－a）的距离d＜2，即＜2，整理得－1＜a＜1.故实数a的取值范围是（－1，1）. 答案　（－1，1） 7.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且∠AOB＝60°（其中O为原点）， 则k的值为　　　　. 解析　由∠AOB＝60°可知，圆心（0，0）到直线y＝kx＋1的距离为，根据点到直线的距离公式可得＝⇒k＝±. 答案　－或 8.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是　　　　m. 解析　如图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作BG⊥AD，交圆弧于点G，作GH⊥MN于点H，连接OE，OG.由题可知，MP＝5－2＝3 m，EP＝AD＝3 m，GH＝BC＝ m.设OE＝OM＝r，则OP＝r－3.在△OEP中，有OE2＝OP2＋EP2，即r2＝（r－3）2＋（3）2，解得r＝6， 所以OH＝＝＝5 m， 所以MH＝OM－OH＝6－5＝1 m， 所以BG＝NH＝MN－MH＝5－1＝4 m，故车辆通过隧道的限制高度是4－0.5＝3.5 m. 答案　3.5 三、解答题 9.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. （1）当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系； （2）是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？ 解析　（1）当m＝1时，圆C1的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9，则C1（1，－2），半径r1＝3，圆C2的方程为（x＋1）2＋y2＝1，则C2（－1，0），半径r2＝1，所以两圆的圆心距d＝＝2，又r1＋r2＝4，r1－r2＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，故圆C1和圆C2相交. （2）不存在.理由如下： 圆C1的方程可化为（x－m）2＋（y＋2）2＝9， 则C1（m，－2），半径r1＝3.而C2（－1，0），半径r2＝1. 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含， 则圆心距d＝＜3－1， 即（m＋1）2＜0，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含. 10.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y－1＝0对称，且与直线l2：y＝2相切于点P（1，2）. （1）求圆C的方程； （2）过点Q（4，0）的直线l与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点.若＋＝4，求直线l的方程. 解析　（1）由圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可知圆心（－，－），半径为，因为圆C关于直线l1对称，所以－＋－1＝0，即D－E＋2＝0.又圆C与直线l2相切于点P（1，2），所以－＝1，即D＝－2，则E＝0，故圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则＝4，则F＝－3，故圆C的方程为x2＋y2－2x－3＝0. （2）依题意可设直线l：y＝k（x－4）， 联立方程组 整理得（k2＋1）x2－（8k2＋2）x＋16k2－3＝0， 故Δ＝（8k2＋2）2－4（k2＋1）（16k2－3）＞0， 解得－＜k＜， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 由＋＝＝＝4， 解得k＝±，所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2. 11.（多选）已知圆C：x2＋y2－6x＝0，则下列结论正确的是（　　） A.圆C的半径r＝3 B.点（1，2）在圆C的内部 C.直线l：x＋y＋3＝0与圆C相切 D.圆C'：（x＋1）2＋y2＝4与圆C相交 答案　ACD 解析　由x2＋y2－6x＝0，得（x－3）2＋y2＝9，则圆心C（3，0），半径r1＝3，所以A项正确；因为点（1，2）到圆心的距离为＝2＞3，所以点（1，2）在圆C的外部，所以B项错误；因为圆心C（3，0）到直线l：x＋y＋3＝0的距离为d＝＝3＝r1，所以直线l：x＋y＋3＝0与圆C相切，所以C项正确；圆C'：（x＋1）2＋y2＝4的圆心为C'（－1，0），半径r2＝2，因为｜CC'｜＝＝4，r1－r2＜4＜r1＋r2，所以圆C'：（x＋1）2＋y2＝4与圆C相交，所以D项正确.故选ACD项. 12.（多选）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法错误的是（　　） A. y－x的最大值为－2 B. x2＋y2的最大值为7＋4 C. 的最大值为 D. x＋y的最大值为2＋ 答案　CD 解析　设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆（x－2）2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A项正确；x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为（2＋）2＝7＋4，故B项正确；设＝k，把y＝kx代入圆的方程得（1＋k2）x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4（1＋k2）≥0，解得－≤k≤，所以的最大值为，故C项错误；设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆（x－2）2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D项错误.故选CD项. 13.已知圆C1的方程为C1：x2＋y2－2x－4y＋3＝0，直线l：y＝x－a（a＞0）.若直线l与圆C1和圆C2均相切于同一点，且圆C2经过点（4，－1），则圆C2的标准方程为　　　　. 解析　方程为C1：（x－1）2＋（y－2）2＝2，圆心C1（1，2），半径为，因为圆C1与直线l：y＝x－a（a＞0）相切，所以＝，解得a＝1，所以直线l：y＝x－1， 由 得得切点为（2，1）. 设C2（m，n），所以＝　①，且＝－1　②，由①②得m＝3，n＝0，所以C2（3，0），所以圆C2的半径为＝，所以圆C2的标准方程为（x－3）2＋y2＝2. 答案　（x－3）2＋y2＝2 14.已知直线l1：x－ay＋2＝0，l2：ax＋y－2a＝0（a∈R），若l1与l2的交点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）若圆E：x2＋y2－2mx－2ny＝0的圆心在直线y＝x上，且与曲线C相交所得公共弦MN的长为2，求m，n的值. 解析　（1）当y＝0时，x＝－2，故直线l1：x－ay＋2＝0过定点A（－2，0）.当x＝2时，y＝0，故直线l2：a（x－2）＋y＝0过定点B（2，0）.又1×a－a×1＝0，所以l1⊥l2，所以点P的轨迹为以AB为直径的圆，当a＝0时，两直线的交点为A（－2，0），但交点P无法与点B重合，故需除去点B（2，0），其圆心为原点O，半径为r＝2，所以曲线C的方程为x2＋y2＝4（x≠2）. （2）由（1）知，曲线C的方程为x2＋y2＝4（x≠2）， 又圆E：x2＋y2－2mx－2ny＝0的圆心为E（m，n）在直线y＝x上，所以n＝m，m≠0，由两圆方程作差得两个圆的公共弦MN的方程为2mx＋2ny＝4，即mx＋my－2＝0，因为两圆的公共弦MN的长为2，原点O到直线MN的距离为d＝＝，所以2＝2＝2，解得m＝1或m＝－1，所以m＝1，n＝或m＝－1，n＝－. 15.在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点（x，y）都不在直线2mx＋（1－m2）y－4m－2＝0上，则集合A所对应的平面图形的面积为　　　　. 解析　将方程看作关于m的一元二次方程，即ym2＋（4－2x）m＋2－y＝0，因为集合A中的点（x，y）都不在直线2mx＋（1－m2）y－4m－2＝0上，所以ym2＋（4－2x）m＋2－y＝0无解，即对应的判别式Δ＝b2－4ac＜0，即（4－2x）2－4y（2－y）＜0，整理得（x－2）2＋（y－1）2＜1，其几何意义为以（2，1）为圆心，以1为半径的圆内部所有的点组成的集合.所以集合A所对应的平面图形的面积为π×12＝π. 答案　π 16.已知以点A（－1，2）为圆心的圆与　　　　，过点B（－2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线x＋2y＋7＝0相切；②圆（x－3）2＋y2＝20关于直线2x－y－1＝0对称；③圆（x－3）2＋（y－2）2＝5的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题. （1）求圆A的方程； （2）当｜MN｜＝2时，求直线l的方程. 解析　（1）选条件①：因为圆A与直线x＋2y＋7＝0相切， 所以圆A的半径为＝2， 因此圆A的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝20. 选条件②：因为圆A与圆（x－3）2＋y2＝20关于直线2x－y－1＝0对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为2， 所以圆A的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝20. 选条件③：设圆（x－3）2＋（y－2）2＝5的圆心为P（3，2），两圆的一条公切线为m， 两圆的圆心与两圆的一条公切线的示意图如图所示. 设圆A的半径为r，则（r－）2＋（）2＝（）2， 解得r＝2，所以圆A的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝20. （2）三种选择圆A的方程都是（x＋1）2＋（y－2）2＝20， 当过点B（－2，0）的动直线l不存在斜率时，直线方程为x＝－2，把x＝－2代入（x＋1）2＋（y－2）2＝20中，得y＝2±，显然2＋－（2－）＝2，符合题意； 当过点B（－2，0）的动直线l存在斜率时，设为k，直线方程为y＝k（x＋2）⇒kx－y＋2k＝0，圆心到该直线的距离为＝，因为｜MN｜＝2，所以有（）2＋（×2）2＝20⇒k＝， 即方程为3x－4y＋6＝0. 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$