培优训练(三)(范围：2.1～2.3)(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

（范围：2.1～2.3） 一、选择题 1.直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是（　　） A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 答案　C 解析　直线6x－2y＋10＝0可化为3x－y＋5＝0，所以直线3x－y＋5＝0与直线6x－2y＋10＝0的位置关系是重合.故选C项. 2.经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（　　） A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－3＝0 C. x－2y＋1＝0 D. x＋2y－3＝0 答案　A 解析　因为直线的方向向量为（1，2），所以直线的斜率k＝2，所以直线的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.故选A项. 3.（多选）直线l过点P（1，2）且斜率为k，若与连接两点A（－1，－3），B（3，－2）的线段有公共点，则k的取值可以为（　　） A.－2 B.1 C.2 D.4 答案　AD 解析　要使直线l与线段AB有公共点，则需k≥kPA或k≤kPB，而kPA＝＝，kPB＝＝－2，所以k≥或k≤－2，所以k的取值可以为－2或4.故选AD项. 4.已知A（－2，0），B（4，a）两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，则a＝（　　） A.2 B. C.2或－8 D.2或 答案　D 解析　若点A，B在l：3x－4y＋1＝0的同侧，则kAB＝kl＝，所以＝，即a＝；若A，B在l：3x－4y＋1＝0的异侧，则A（－2，0），B（4，a）的中点（1，）在直线l：3x－4y＋1＝0上，所以4－2a＝0，解得a＝2.故选D项. 5.已知点A（1，0），B（3，1），C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为（　　） A.5 B. C. D. 答案　D 解析　因为直线AB的方程为＝，即x－2y－1＝0，则l∥AB，所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝＝. 又因为｜AB｜＝＝，所以S△ABC＝｜AB｜×d＝.故选D项. 二、填空题 6.直线l：x＋my＋1＝0，m∈[－1，]，则直线l的倾斜角的取值范围为　　　　. 解析　m＝0时，直线斜率不存在，倾斜角为；0＜m≤时，k＝－∈（－∞，－］，倾斜角的取值范围是（，］；－1≤m＜0时，k＝－∈［1，＋∞），倾斜角的取值范围是［，）.综上，倾斜角的取值范围是［，］. 答案　［，］ 7.过直线2x＋y＋2＝0与直线2x－y－1＝0的交点，且垂直于直线3x－y＋3＝0的直线方程为　　　　. 解析　由方程组得交点坐标为（－，－），因为所求直线垂直于直线3x－y＋3＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y＋＝－（x＋），即4x＋12y＋19＝0. 答案　4x＋12y＋19＝0 8.在函数y＝4x2的图象上求一点P，使P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为　　　　. 解析　设点P的坐标为（t，4t2），则点P到直线y＝4x－5的距离为d＝＝＝，当t＝时，d取最小值，因此，点P的坐标为（，1）. 答案　（，1） 三、解答题 9.已知直角坐标平面xOy内的两点A（5，－3），B（1，1）. （1）求线段AB的中垂线所在直线的方程； （2）一束光线从点A射向y轴，反射后的光线过点B，求反射光线所在的直线方程. 解析　（1）因为A（5，－3），B（1，1），所以中点为（3，－1），且kAB＝＝－1.所以线段AB的中垂线的斜率为1，所以由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程为y－（－1）＝x－3，即x－y－4＝0. （2）因为A（5，－3）关于y轴的对称点为A'（－5，－3），所以kA'B＝＝，所以直线A'B的方程为y－1＝（x－1），即反射光线所在的直线方程为2x－3y＋1＝0. 10.已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，使： （1）l1与l2相交于点P（3，1）； （2）l1∥l2； （3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1. 解析　（1）因为l1与l2相交于点P（3，1）， 所以解得m＝－5，n＝7. （2）因为l1∥l2，所以m2－2×8＝0，解得m＝±4，经过检验可得，当m＝4，n≠－2时，两条直线平行或当m＝－4，n≠2时，两条直线平行. （3）当m＝0时，两条直线分别化为8y＋n＝0，2x－1＝0，此时两条直线相互垂直，且此时n＝8；当m≠0时，k1＝－，k2＝－，此时k1k2＝≠－1，两直线不可能垂直.所以m＝0，n＝8. 11.已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝（　　） A.10 B.13 C.16 D.20 答案　B 解析　因为1×m＋（－m）×1＝0，所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，又因为直线l1：x－my＋1＝0过定点A（－1，0），直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m（x－1）＋y＋3＝0过定点B（1，－3），所以在Rt△APB中，｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝[1－（－1）]2＋（－3－0）2＝13.故选B项. 12.（多选）已知直线l1：mx－y－3＝0，直线l2：4x－my＋6＝0，则下列命题正确的有（　　） A.直线l1恒过点（0，－3） B.直线l2的斜率一定存在 C.若l1∥l2，则m＝2或m＝－2 D.存在实数m使得l1⊥l2 答案　AD 解析　将点（0，－3）代入直线l1：mx－y－3＝0中可得m×0－（－3）－3＝0成立，所以直线l1恒过点（0，－3），故A项正确；当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故B项错误；当l1∥l2时，m×（－m）＝－1×4，解得m＝2或m＝－2，当m＝－2时，直线l1：－2x－y－3＝0，即2x＋y＋3＝0与直线l2：4x＋2y＋6＝0重合，故m≠－2，所以m＝2，故C项错误；当m＝0时，l1：y＝－3，l2：x＝－，此时l1⊥l2，故D项正确.故选AD项. 13.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0相交于点P（P与A，B不重合），则△PAB面积的最大值是　　　　. 解析　由题意直线x＋my＝0过定点A（0，0），直线mx－y－m＋3＝0可变为m（x－1）－y＋3＝0，所以该直线过定点B（1，3），所以｜AB｜2＝12＋32＝10，又1×m＋m×（－1）＝0，所以直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0互相垂直，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝10，所以10＝｜PA｜2＋｜PB｜2≥2｜PA｜·｜PB｜，即｜PA｜·｜PB｜≤5，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝时，等号成立，所以S△PAB＝｜PA｜·｜PB｜≤，即△PAB面积的最大值是. 答案　 14.已知两条直线l1：ax＋y＋a＋1＝0，l2：2x＋（a－1）y＋3＝0. （1）证明：直线l1过定点，并求出该定点的坐标； （2）若l1，l2不重合，且垂直于同一条直线，求a的值； （3）从①直线l过坐标原点，②直线l在y轴上的截距为2，③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并作答. 若a＝0，直线l与l2垂直，且　　　　，求直线l的方程. 解析　（1）因为ax＋y＋a＋1＝0变形为y＝－a（x＋1）－1， 所以直线l1过定点，定点的坐标为（－1，－1）. （2）因为l1，l2不重合，且垂直于同一条直线，所以l1∥l2， 所以所以a＝－1. （3）方案一：选条件①. 因为a＝0，所以直线l2：2x－y＋3＝0，其斜率为2，又直线l与l2垂直，所以直线l的斜率为－. 因为直线l过坐标原点，所以直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0. 方案二：选条件②. 由题意设直线l的方程为x＋2y＋c＝0， 令x＝0，则y＝－，则－＝2，即c＝－4， 所以直线l的方程为x＋2y－4＝0. 方案三：选条件③. 由题意设直线l的方程为x＋2y＋c＝0， 令x＝0，则y＝－，令y＝0，则x＝－c， 所以×｜－｜×｜－c｜＝1，解得c＝±2， 所以直线l的方程为x＋2y±2＝0. 15.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（　　） A.0° B.1° C.2° D.3° 　　　 题图　　　　　　　　答图 答案　C 解析　因为O，O3都为五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO3E＝α≈16°，所以直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.故选C项. 16.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），C（0，－3），则△ABC欧拉线的方程为（　　） A. x＋2y－3＝0 B.2x＋y－3＝0 C. x－2y－3＝0 D.2x－y－3＝0 答案　D 解析　由题可得△ABC的重心为G（，－），直线AB的斜率为＝－，所以AB边上的高的斜率为2，则AB边上的高的方程为y＋3＝2（x－0），即2x－y－3＝0，直线AC的斜率为＝，所以AC边上的高的斜率为－，则AC边上的高的方程为y－2＝－（x－0），即4x＋3y－6＝0，联立可得垂心坐标为H（，0），则直线GH的斜率为＝2，则直线GH的方程为y－0＝2（x－），所以△ABC欧拉线的方程为2x－y－3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$