第三章 章末复习方案(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

章末复习方案 （见学生用书P101） 探究一　圆锥曲线的定义 圆锥曲线的定义是圆锥曲线中最基础的内容，在圆锥曲线问题中有时离开定义问题就无法解决，高考重视对圆锥曲线定义的考查，主要考查圆锥曲线的定义在解题中的应用. 【真题1】（2023·北京）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x＝－3的距离为5，则｜MF｜＝（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 答案　D 解析　因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为｜MF｜，又M到直线x＝－3的距离为5，所以｜MF｜＋1＝5，故｜MF｜＝4.故选D项. 探究二　圆锥曲线的方程 高考往往在选择题、填空题或解答题的第（1）问中结合圆锥曲线的定义和几何性质求圆锥曲线的方程，圆锥曲线的方程是高考中解析几何的常考内容. 【真题2】（1）（2021·新高考Ⅱ）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（　　） A.1 B.2 C.2 D.4 （2）（2023·北京）已知双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），离心率为，则C的方程为　　　　. 解析　（1）由题意得抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得p＝2（p＝－6舍去）.故选B项. （2）令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为，得＝，解得a＝，则b＝＝，所以双曲线C的方程为－＝1. 答案　（1）B　（2）－＝1 探究三　圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查. 【真题3】（1）（2022·北京改编）已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝（　　） A.－ B. C.－3 D.3 （2）（2023·全国乙）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　　　. （3）（2023·新高考Ⅰ）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　　　　. （4）（2022·新高考Ⅰ）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则△ADE的周长是　　　　. 解析　（1）由题意可得m＜0，即双曲线的标准方程为y2－＝1，则a＝1，b＝，又双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，即＝，解得m＝－3.故选C项. （2）由题意可得（）2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－（－）＝. （3）依题意，设｜AF2｜＝2m，则｜BF2｜＝3m＝｜BF1｜，｜AF1｜＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋（2a＋2m）2＝25m2，则（a＋3m）（a－m）＝0，故a＝m或a＝－3m（舍去），所以｜AF1｜＝4a，｜AF2｜＝2a，｜BF2｜＝｜BF1｜＝3a，则｜AB｜＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. （4）如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为，所以＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为｜AF1｜＝｜AF2｜＝a＝2c＝｜F1F2｜，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以｜AD｜＝｜DF2｜，｜AE｜＝｜EF2｜，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝（x＋c），代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0. 设D（x1，y1），E（x2，y2）， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以｜DE｜＝＝＝＝6，解得c＝，所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为｜AD｜＋｜AE｜＋｜DE｜＝｜DF2｜＋｜EF2｜＋｜DE｜＝4a＝13. 答案　（1）C　（2）　（3）　（4）13 探究四　直线与圆锥曲线的综合应用 高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都会与直线问题综合考查，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）、直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值、动直线（或曲线）过定点等问题，这些问题都是高考所重点考查的问题. 【真题4】 （2023·全国甲）已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且｜AB｜＝4. （1）求p； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值. 解析　（1）设A（xA，yA），B（xB，yB）， 由可得，y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以｜AB｜＝ ＝｜yA－yB｜ ＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p＞0，解得p＝2. （2）因为F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由可得，y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0， 因为·＝0，所以（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝0， 即（my1＋n－1）（my2＋n－1）＋y1y2＝0， 亦即（m2＋1）y1y2＋m（n－1）（y1＋y2）＋（n－1）2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，即4（m2＋n）＝（n－1）2＞0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0， 解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d， 所以d＝， ｜MN｜＝ ＝｜y1－y2｜ ＝ ＝ ＝2｜n－1｜， 所以△MFN的面积S＝×｜MN｜×d＝××2｜n－1｜＝（n－1）2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN面积的最小值为（2－2）2＝12－8. 学科网（北京）股份有限公司 $$