3.3.2.1 抛物线的简单几何性质(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第一课时　抛物线的简单几何性质 （见学生用书P96） [学习目标]1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题，提升数学运算和逻辑推理的核心素养（难点）. 要点一　四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O（0，0） 离心率 e＝1 思考：抛物线的方程只有一个参数p，它的大小影响抛物线的哪些性质？ 提示：焦点、准线的位置、开口的方向等性质. 要点二　直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p＞0）的交点个数取决于关于x的方程组的解的个数，即二次方程k2x2＋2（kb－p）x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ＞0，则直线与抛物线有　两个　不同的公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有　一个　公共点；若Δ＜0，则直线与抛物线　没有　公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴　平行或重合　，此时直线与抛物线有　一个　公共点. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）抛物线没有渐近线.（　　） （2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.（　　） （3）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.（　　） （4）抛物线y2＝2px（p＞0）的图象上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.（　　） 解析　（1）正确.渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质，抛物线没有渐近线. （2）错误.过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p，此弦长也称为通径长. （3）错误.当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，此时不相切. （4）正确.因为p＞0，y2≥0，所以x≥0. 答案　（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 探究一　抛物线的几何性质 规律总结 注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称. 【例题1】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程. 解析　因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M（m，－3）位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下. 设所求抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）.因为M（m，－3）在抛物线上且｜MF｜＝5， 故解得 所以m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为 y＝2. 【变式1】已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M（1，－2）.求抛物线的标准方程和准线方程. 解析　当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx（m≠0），将点M（1，－2）代入，得m＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝4x； 当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny（n≠0），将点M（1，－2）代入，得n＝－，所以抛物线的标准方程为x2＝－y. 综上，所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y，准线方程分别为x＝－1或y＝. 探究二　抛物线的几何性质的应用 规律总结 在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程的形式，然后利用条件求解，要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化. 【例题2】 （1）等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（　　） A.8p2 B.4p2 C.2p2 D. p2 （2）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为（　　） A.（2，0） B.（1，0） C.（8，0） D.（4，0） 解析　（1）因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为（2p，2p）和（2p，－2p）.所以｜AB｜＝4p， 所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.故选B项. （2）因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.而抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－，不妨设A（－，），B（－，－），则｜AB｜＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝··p＝，即p2＝4.因为p＞0，所以p＝2，故抛物线的焦点坐标为（1，0）.故选B项. 答案　（1）B　（2）B 【变式2】已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px（p＞0）上，求这个三角形的边长. 解析　如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝2px1，＝2px2.又｜OA｜＝｜OB｜，所以＋＝＋，即－＋2px1－2px2＝0，整理得（x1－x2）（x1＋x2＋2p）＝0.因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，由此可得｜y1｜＝｜y2｜，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与＝2px1联立，解得y1＝2p.所以｜AB｜＝2y1＝4p，即这个三角形的边长为4p. 探究三　直线与抛物线的位置关系 误区防错 求直线与抛物线交点个数的注意事项 直线l：y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数. ①当直线l的斜率存在时，分斜率等于零和斜率不等于零来讨论解的个数.②当直线l的斜率不存在时，设直线l为x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线l与抛物线相离，无公共点. 【例题3】设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k分别为何值时，直线l与抛物线C相切、相交、相离. 解析　联立方程组消去y，整理得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.若k≠0，方程k2x2＋（2k－4）x＋1＝0为一元二次方程.所以Δ＝（2k－4）2－4k2＝16（1－k）. （1）当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切. （2）当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C相交. （3）当Δ＜0，即k＞1时，l与C相离. 若k＝0，直线l的方程为y＝1，显然与抛物线C交于点. 综上所述，当k＝1时，l与C相切；当k＜1时，l与C相交；当k＞1时，l与C相离. 【变式3】设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　） A. B.[－2，2] C.[－1，1] D.[－4，4] 答案　C 解析　由已知可设直线方程为y＝k（x＋2），与抛物线方程联立消去x得到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点；当k≠0时，令Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，－1≤k≤1.故选C项. 1.（多选）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　） A. y2＝8x B. y2＝－8x C. x2＝8y D. x2＝－8y 答案　CD 解析　设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py（p＞0），则抛物线焦点的纵坐标为y＝，代入x2＝2py得｜x｜＝p，所以2｜x｜＝2p＝8，p＝4.所以抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.故选CD项. 2.过点P（0，1）与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有（　　） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 答案　B 解析　如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点.故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条.故选B项. 3.抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若｜AB｜＝4，则焦点F到直线AB的距离为　　　　. 解析　由抛物线的方程可知F（1，0），由｜AB｜＝4且AB⊥x轴得＝（2）2＝12，所以xA＝＝3，所以所求距离为3－1＝2. 答案　2 4.已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线l的方程. 解析　设l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 由＝6x1，＝6x2，得（y1－y2）（y1＋y2）＝6（x1－x2）. 又P（4，1）是AB的中点，所以y1＋y2＝2， 所以直线l的斜率k＝＝3， 所以直线l的方程为3x－y－11＝0. 联立⇒y2－2y－22＝0， 因为Δ＝4＋88＞0，所以所求直线与抛物线相交，即所求直线方程正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$