3.3.1 抛物线及其标准方程(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 （见学生用书P93） [学习目标]1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题，提升直观想象和数学运算的核心素养（难点）. 要点一　抛物线的定义 1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（不经过点F）的　　　　距离相等　　　　的点的轨迹. 2.焦点：定点F. 3.准线：定直线l. 思考：抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F？ 提示：若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 要点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　y2＝2px（p＞0）　 x＝－ 　y2＝－2px（p＞0）　 x＝ 　x2＝2py（p＞0）　 y＝－ 　x2＝－2py（p＞0）　 y＝ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.（　　） （2）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.（　　） （3）若点P到点F（1，0）的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.（　　） （4）抛物线y2＝2px（p＞0）中p是焦点到准线的距离.（　　） 解析　（1）正确.由抛物线的定义可知. （2）错误.因为定点F（1，0）在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线. （3）正确.点P到点F（1，0）的距离比到直线x＝－2的距离小1，即点P到点F（1，0）的距离和到直线x＝－1的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线. （4）正确.抛物线方程中p的几何意义是焦点到准线的距离. 答案　（1）√　（2）×　（3）√　（4）√ 探究一　求抛物线的标准方程 答题模板 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 当抛物线的探究没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数. 【例题1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程. （1）准线方程为y＝； （2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； （3）经过点（－3，－1）. 解析　（1）因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，即p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. （2）已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my（m≠0），由焦点到准线的距离为5，知｜m｜＝5，即m＝±5， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. （3）因为点（－3，－1）在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0）或x2＝－2py（p＞0）. 若抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0），则由（－1）2＝－2p×（－3），解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py（p＞0），则由（－3）2＝－2p×（－1），解得p＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. 【变式1】根据下列条件，求抛物线的标准方程. （1）焦点为F（－2，0）； （2）准线为y＝－2； （3）过点A（4，－2）. 解析　（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0），因为F（－2，0），所以＝2，即p＝4， 所以抛物线的标准方程为y2＝－8x. （2）由题意，设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），则＝2，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为x2＝8y. （3）因为A（4，－2）在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝－2py（p＞0）. 将A（4，－2）代入方程y2＝2px（p＞0）得p＝； 将A（4，－2）代入方程x2＝－2py（p＞0）得p＝4. 所以抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－8y. 探究二　抛物线定义的应用 规律总结 应用抛物线的定义可以实现距离的转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. 【例题2】（1）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 （2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为　　　　. 解析　（1）因为＋x0＝x0，所以x0＝1.故选A项. （2）由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离. 由图可知，当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F（，0）三点共线时，距离之和最小， 所以最小距离d＝＝. 答案　（1）A　（2） 【变式2】（1）若将本例（2）中的点（0，2）改为点A（3，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. （2）若将本例（2）中的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解析　（1）将x＝3代入y2＝2x，得y＝±， 所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线（设为l）x＝－的距离为d，则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d. 由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是，即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是. （2）如图，作PQ垂直准线l于点Q，PA1垂直直线l1于点A1， 则｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥｜A1F｜min. 而｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1，所以所求最小值为1. 探究三　抛物线的实际应用问题 答题模板 要解决实际问题先要确定与实际问题相匹配的数学模型，再利用抛物线的有关知识解决此类问题，操作步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系. （2）假设：设出合适的抛物线标准方程. （3）计算：通过计算求出抛物线的标准方程. （4）求解：求出需要求出的量. （5）还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题. 【例题3】河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8 m，拱圈内水面宽24 m，一条船在水面以上的部分高6.5 m，船顶部宽6 m. （1）求拱桥所在的抛物线方程； （2）近日水位暴涨了1.6 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？ 　　　 题图　　　　　　　　　　答图 解析　（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，以AB的垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（－12，－8），B（12，－8）， 设拱桥所在的抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）， 因点A（－12，－8）在抛物线上，代入解得p＝9， 故拱桥所在的抛物线方程是x2＝－18y. （2）因为x2＝－18y，故当x＝3时，y＝－0.5， 故当水位暴涨1.6 m后，船身至少应降低6.5＋1.6－（8－0.5）＝0.6 m， 故船身应降低0.6 m才能安全通过桥洞. 【变式3】如图所示，一辆卡车高3 m，宽EF＝1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB的宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值. 　　　 题图　　　　　　答图 解析　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为. 设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）， 因为点B在抛物线上， 所以＝－2p·，解得p＝， 所以抛物线方程为x2＝－ay. 将点E（0.8，y）代入抛物线方程，得y＝－， 所以点E到拱底AB的距离为－｜y｜＝－＞3. 当a＝12时，－＜3；当a＝13时，－＞3，且－随a的增大而增大，所以a的最小整数值为13. 1.抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　把方程化为x2＝y（a≠0），可知抛物线的焦点在y轴上，所以焦点F.故选C项. 2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　） A.（1，0） B. C. D.（0，1） 答案　C 解析　由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为.故选C项. 3.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度为　　　　米. 解析　设抛物线方程为x2＝－2py，将（4，－2）代入方程得16＝－2p·（－2），解得2p＝8，故抛物线方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入x2＝－8y中，得 x2＝－8×＝12，即x＝±2.故水面的宽度为4 米. 答案　4 4.若抛物线y2＝－2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标. 解析　由抛物线方程y2＝－2px（p＞0），得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝｜MF｜＝10，即－（－9）＝10，得p＝2， 故抛物线方程为y2＝－4x. 由点M（－9，y）在抛物线上，得y＝±6， 故点M的坐标为（－9，6）或（－9，－6）. 学科网（北京）股份有限公司 $$