3.1.2.2 椭圆的方程及性质的应用(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二课时　椭圆的方程及性质的应用 （见学生用书P81） [学习目标]1.了解椭圆在实际生活中的应用，提升数学抽象的核心素养.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系，强化数学运算和逻辑推理的核心素养（难点）. 要点一　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示. 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 　两　解 Δ　＞　0 一个公共点 　一　解 Δ　＝　0 没有公共点 　无　解 Δ　＜　0 思考：直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示：不能.因为椭圆不是圆，中心到椭圆上各点的距离不完全相等. 要点二　弦长公式 设直线方程为y＝kx＋m（k≠0），椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），直线与椭圆的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则｜AB｜＝ ＝ ＝ ＝， 或｜AB｜＝ ＝ ＝. 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y（或x）后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.（　　） （2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与点P（b，0），过点P可作出该椭圆的一条切线.（　　） （3）直线y＝k（x－a）（k≠0）与椭圆＋＝1的位置关系是相交.（　　） 解析　（1）正确.由椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大. （2）错误.因为a＞b＞0，所以点P（b，0）在椭圆的内部，故过点P无法作椭圆的切线. （3）正确.直线y＝k（x－a）（k≠0）过点（a，0）且斜率存在，所以直线y＝k（x－a）（k≠0）与椭圆＋＝1的位置关系是相交. 答案　（1）√　（2）×　（3）√ 探究一　直线与椭圆的位置关系 规律总结 （1）判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x（或y）的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求直线与椭圆的位置关系. （2）根据直线与椭圆的位置关系求参数范围，通常将直线方程和椭圆方程联立，通过消元得到关于x（或y）的一元二次方程，根据位置关系判断公共点的个数，进而利用判别式求参数范围. 【例题1】当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144分别满足下列条件？ （1）无公共点；（2）有且仅有一个公共点；（3）有两个公共点. 解析　由消去y得9x2＋16（x＋m）2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝（32m）2－4×25×（16m2－144）＝－576m2＋14 400. （1）当Δ＜0时，得m＜－5或m＞5，此时直线l与椭圆无公共点. （2）当Δ＝0时，得m＝±5，此时直线l与椭圆有且仅有一个公共点. （3）当Δ＞0时，得－5＜m＜5，此时直线l与椭圆有两个公共点. 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围. 解析　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋， 代入椭圆方程得＋（kx＋）2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0， 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， 所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞， 所以k的取值范围为（－∞，－）∪（，＋∞）. 探究二　弦长问题 解题技巧 求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间的距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程，消元得到一个关于x或y的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系求得弦长. 【例题2】已知动点P与平面上两定点A（－，0），B（，0）连线的斜率的积为定值－. （1）试求动点P的轨迹方程C； （2）设直线l：y＝kx＋1与（1）中曲线C交于M，N两点，当｜MN｜＝时，求直线l的方程. 解析　（1）设动点P的坐标是（x，y）， 由题意得kPA·kPB＝－，所以·＝－，化简整理得＋y2＝1. 故点P的轨迹方程C是＋y2＝1（x≠±）. （2）设直线l与曲线C的交点为M（x1，y1），N（x2，y2）， 由得（1＋2k2）x2＋4kx＝0，其中Δ＝16k2＞0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0， 则｜MN｜＝·＝， 整理得k4＋k2－2＝0， 解得k2＝1或k2＝－2（舍）， 所以k＝±1，经检验符合题意. 所以直线l的方程是y＝±x＋1， 即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 【变式2】已知椭圆＋＝1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.当直线l的斜率为时，求线段AB的长度. 解析　由已知可得直线l的方程为y－2＝（x－4），即y＝x.由得x2－18＝0，解得x＝±3. 设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨令x1＝3，x2＝－3， 则A（3，），B（－3，－）， 所以｜AB｜＝＝3. 所以线段AB的长度为3. 探究三　最长或最短距离问题 解题技巧 （1）椭圆上到中心距离最近的点在短轴端点处，最远的点在长轴端点处. （2）椭圆上一点与焦点的距离的最值问题 设点P（x0，y0）是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上任意一点，r为点P与椭圆左焦点F1（－c，0）的距离，因为r＞0，所以r＝x0＋a，又因为－a≤x0≤a，所以当x0＝a时，r取最大值a＋c；当x0＝－a时，r取最小值a－c，即点（a，0），（－a，0）与焦点F1（－c，0）的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离. （3）椭圆上一点到直线的距离的最值问题 此类问题可以转化为直线与椭圆的相切问题，将直线与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.同时也可以利用三角函数的知识，将点的坐标进行三角变换，再结合点到直线的距离公式和三角恒等变换进行求解.【例题3】在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离. 解析　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0， 由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，所以m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求的最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P. 故所求最短距离d＝＝＝. 由得即P. 【变式3】我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨，进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（　　） A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　椭圆的离心率e＝∈（0，1），设卫星近地点、远地点离月球表面的距离分别为r，n，则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故选B项. 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 答案　A 解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0.因为Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，所以直线与椭圆相离.故选A项. 2.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则｜AB｜＝（　　） A.4 B.2 C.1 D.4 答案　C 解析　因为在＋y2＝1中，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点的坐标为（，0），将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故｜AB｜＝1.故选C项. 3.过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦点F（c，0）的弦中最短弦长是（　　） A. B. C. D. 答案　A 解析　最短弦是过焦点F（c，0）且与焦点所在坐标轴垂直的弦.将点（c，y）的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.故选A项. 4.（2021·新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（　　） A.13 B.12 C.9 D.6 答案　C 解析　由题意知a2＝9，b2＝4，则｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝6，所以｜MF1｜·｜MF2｜≤＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时，等号成立.故选C项. 学科网（北京）股份有限公司 $$