3.1.1 椭圆及其标准方程(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 （见学生用书P75） [学习目标]1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程，提升直观想象和数学运算的核心素养（重点）. 要点一　椭圆的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于　常数　（大于｜F1F2｜）的点的轨迹. 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜. 4.几何表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝　2a　（常数）且2a　＞　｜F1F2｜. 思考：定义中，将“大于｜F1F2｜”改为“等于｜F1F2｜”或“小于｜F1F2｜”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示：当距离之和等于｜F1F2｜时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在. 要点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1 （a＞b＞0） ＋＝1 （a＞b＞0） 焦点 　（－c，0），（c，0）　 　（0，－c），（0，c）　 a，b，c 的关系 　c2＝a2－b2　 思考：椭圆标准方程的特征是什么？ 提示：①方程形式：从方程结构上看，在标准方程中，左边是两个平方相加，右边是“1”，x2，y2的系数均为正且不相等，也可简记作Ax2＋By2＝1（其中A＞0，B＞0，A≠B）. ②焦点的位置：利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上，较大的分母是a2，较小的分母是b2. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，则点P的轨迹是椭圆.（　　） （2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，则点P的轨迹是椭圆.（　　） （3）已知点F1（0，－1），F2（0，1），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝1，则点P的轨迹是椭圆.（　　） （4）椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.（　　） 解析　（1）正确.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，所以点P的轨迹是椭圆. （2）错误.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜，所以点P的轨迹是线段F1F2. （3）错误.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＜｜F1F2｜，所以点P的轨迹不存在. （4）正确.由椭圆的标准方程中对a，b，c的规定可知，焦点位置的改变不影响a2＝b2＋c2这一关系. 答案　（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 探究一　椭圆定义在焦点三角形中的应用 规律总结 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.解决这些题目时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把｜PF1｜·｜PF2｜看作一个整体来处理. 【例题1】（1）（2023·全国甲）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.1 B.2 C.4 D.5 （2）已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解析　（1）方法一　因为·＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 从而＝b2tan 45°＝1 ＝×｜PF1｜·｜PF2｜， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B项. 方法二　因为·＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2， 所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝42＝16， 又｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜｜PF2｜＝16＋2｜PF1｜｜PF2｜＝20， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B项. 答案　B （2）由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3， 从而｜F1F2｜＝2c＝6. 在△PF1F2中，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°， 即36＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜. ① 由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4， 即48＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜. ② 由①②得｜PF1｜·｜PF2｜＝4. 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝. 【变式1】若将本例（2）中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 解析　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3， 从而｜F1F2｜＝2c＝6. 在△PF1F2中，由勾股定理可得｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2， 即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋36， 又由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2×2＝4，所以｜PF2｜＝4－｜PF1｜. 从而有（4－｜PF1｜）2＝｜PF1｜2＋36， 解得｜PF1｜＝. 所以△PF1F2的面积S＝·｜PF1｜·｜F1F2｜＝××6＝， 即△PF1F2的面积是. 探究二　求椭圆的标准方程 规律总结 确定椭圆标准方程的方法 （1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. （2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解. 【例题2】求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆的焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）； （2）椭圆的焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，－10），且点P到离它较近的一个焦点的距离为2. 解析　（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 因为椭圆经过点（2，0）和点（0，1）， 所以解得 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. （2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 因为点P（0，－10）在椭圆上，所以a＝10. 因为点P到离它较近的一个焦点的距离为2， 所以－c－（－10）＝2，所以c＝8，所以b2＝a2－c2＝36. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 【变式2】求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）经过两点（2，－），（－1，）； （2）过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同的焦点. 解析　（1）方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由已知条件得解得 则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）. 将两点（2，－），（－1，）代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. （2）因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ① 又点（，－）在椭圆上， 所以＋＝1，即＋＝1. ② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 探究三　与椭圆有关的轨迹问题 解题技巧 求轨迹方程的常用方法 （1）直接法：设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据几何条件直接转换成x和y之间的关系式. （2）定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程. （3）相关点法（代入法）：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只需把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去即可. 【例题3】如图，P为圆B：（x＋2）2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为（2，0），线段AP的垂直平分线交BP于点Q，求点Q的轨迹方程. 解析　因为线段AP的垂直平分线交BP于点Q， 所以｜AQ｜＝｜PQ｜，所以｜AQ｜＋｜BQ｜＝｜PQ｜＋｜BQ｜＝6， 又｜AB｜＝4，所以｜AQ｜＋｜BQ｜＞｜AB｜，所以点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝4， 所以a2＝9，c2＝4，b2＝a2－c2＝5. 所以点Q的轨迹方程为＋＝1. 【变式3】已知在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，｜AB｜＝2，｜AC｜＝，曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且｜PA｜＋｜PB｜是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程. 解析　以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1（a＞b＞0）. 因为｜AB｜＝2，｜AC｜＝，所以｜BC｜＝＝， 则2a＝｜AC｜＋｜BC｜＝＋＝4，2c＝｜AB｜＝2， 所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. 所以曲线E的方程为＋＝1. 1.已知椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，｜PF1｜＝2，结合椭圆定义｜PF2｜＋｜PF1｜＝10，可得｜PF2｜＝8.故选D项. 2.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围为（　　） A.（5，6） B.（6，7） C.（5，6）∪（6，7） D.（5，7） 答案　C 解析　由题意知解得5＜k＜7且k≠6，所以k的取值范围为（5，6）∪（6，7）.故选C项. 3.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为　　　　. 解析　由已知得2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 答案　＋x2＝1 4.一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为　　　　. 解析　设动圆的圆心为M（x，y），半径为r. 易知圆x2＋y2＋6x＋5＝0的圆心为A（－3，0），半径为2，圆x2＋y2－6x－91＝0的圆心为B（3，0），半径为10. 由题意得 所以｜MA｜＋｜MB｜＝12＞｜AB｜＝6， 故圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝12，2c＝6，所以b2＝27，所以动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. 答案　＋＝1 学科网（北京）股份有限公司 $$