2.5.2 圆与圆的位置关系(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5.2　圆与圆的位置关系 （见学生用书P69） [学习目标]1.了解圆与圆的位置关系，培养数学抽象的核心素养.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法，提升直观想象的核心素养（重点）.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题，提升数学运算和数学建模的核心素养（难点）. 要点一　两圆之间的位置关系 （1）两圆相交，有两个公共点； （2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； （3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 思考：在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少？ 提示：当两圆外离时，有四条公切线；当两圆外切时，有三条公切线；当两圆相交时，有两条公切线；当两圆内切时，只有一条公切线；当两圆内含时，无公切线. 要点二　判断圆与圆的位置关系 1.几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆心连线的长为d，则两圆的位置关系如表所示. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1， r2的关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 ｜r1－r2｜＜ d＜r1＋r2 d＝ ｜r1－r2｜ d＜ ｜r1－r2｜ 2.代数法 设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0），C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如表所示. 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（　　） （4）若两圆有公共点，则｜r1－r2｜≤d≤r1＋r2.（　　） 解析　（1）错误.若只有一组实数解，则两圆可能外切也可能内切. （2）错误.当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时，两圆相交. （3）错误.只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程. （4）正确.因为两圆有公共点，所以排除了外离和内含，所以两圆圆心距不大于半径之和，也不小于半径之差的绝对值，即｜r1－r2｜≤d≤r1＋r2. 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 探究一　两圆的位置关系 答题模板 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： （1）将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径； （2）计算两圆圆心的距离d； （3）通过d，r1＋r2，｜r1－r2｜的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合. 【例题1】判断下列两圆的位置关系. （1）（x＋2）2＋（y－2）2＝1与（x－2）2＋（y－5）2＝16； （2）x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0. 解析　（1）根据题意，得两圆的半径分别为r1＝1和r2＝4， 两圆的圆心距d＝＝5. 因为d＝r1＋r2，所以两圆外切. （2）将两圆的方程化为标准方程，得（x＋3）2＋y2＝16，x2＋（y＋3）2＝36.故两圆的半径分别为R＝4和r＝6，两圆的圆心距d＝＝3. 因为｜R－r｜＜d＜R＋r，所以两圆相交. 【变式1】当a分别满足什么条件时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0满足下列位置关系？ （1）外切；（2）相交；（3）外离. 解析　将两圆方程化为标准方程，则C1：（x－a）2＋（y＋2）2＝9，C2：（x＋1）2＋（y－a）2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为C1（a，－2），r1＝3，C2（－1，a），r2＝2. 设两圆的圆心距为d，则d2＝（a＋1）2＋（－2－a）2＝2a2＋6a＋5. （1）当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2. （2）当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2. （3）当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离，此时a＞2或a＜－5. 探究二　两圆相切问题 答题模板 处理两圆相切问题的两个步骤 （1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切和外切两种情况讨论. （2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 【例题2】求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程. 解析　由题意设所求圆的方程为圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝16，因为圆C与直线y＝0相切，且半径为4， 所以圆心C的坐标为C1（a，4）或C2（a，－4）. 又因为圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心为A（2，1），半径为3，且两圆相切， 所以｜CA｜＝4＋3＝7或｜CA｜＝4－3＝1. ①当圆心为C1（a，4）时，（a－2）2＋（4－1）2＝72或（a－2）2＋（4－1）2＝12（无解），故可得a＝2±2. ②当圆心为C2（a，－4）时，（a－2）2＋（－4－1）2＝72或（a－2）2＋（－4－1）2＝12（无解），故可得a＝2±2. 综上，所求圆的方程为（x－2－2）2＋（y－4）2＝16或（x－2＋2）2＋（y－4）2＝16或（x－2－2）2＋（y＋4）2＝16或（x－2＋2）2＋（y＋4）2＝16. 【变式2】若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：（x－a）2＋y2＝1相切，则a的值为（　　） A.±3 B.±5 C.3或5 D.±3或±5 答案　D 解析　圆C1与圆C2的圆心距d＝＝｜a｜.当两圆外切时，有｜a｜＝4＋1＝5，所以a＝±5；当两圆内切时，有｜a｜＝4－1＝3，所以a＝±3.故选D项. 探究三　两圆相交的有关问题 规律总结 处理两圆相交的有关问题的方法 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 【例题3】已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. （1）判断两圆的位置关系； （2）求公共弦所在的直线方程； （3）求公共弦的长度. 解析　（1）将两圆方程配方化为标准方程， 则C1：（x－1）2＋（y＋5）2＝50，C2：（x＋1）2＋（y＋1）2＝10， 所以圆C1的圆心坐标为（1，－5），半径r1＝5，圆C2的圆心坐标为（－1，－1），半径r2＝. 所以｜C1C2｜＝2，r1＋r2＝5＋，｜r1－r2｜＝｜5－｜， 所以｜r1－r2｜＜｜C1C2｜＜r1＋r2，所以两圆相交. （2）将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. （3）方法一　由（2）知，圆C1的圆心（1，－5）到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3， 所以公共弦长为l＝2＝2＝2. 方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 所以｜AB｜＝＝2，即公共弦长为2. 【变式3】若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝　　　　. 解析　两圆的公共弦所在的直线方程为2ay－2＝0（a＞0），圆x2＋y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，圆心到公共弦的距离d＝＝，所以2＝2，解得a＝1. 答案　1 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 答案　B 解析　化为标准方程得，圆O1：（x－1）2＋y2＝1，圆O2：x2＋（y－2）2＝4，则O1（1，0），O2（0，2），所以｜O1O2｜＝＝＜r1＋r2，又r2－r1＜，所以两圆相交.故选B项. 2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋（y－3）2＝1的公切线有且仅有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　D 解析　由圆的方程易知，圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，公切线的条数为4.故选D项. 3.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a＝　　　　. 解析　两圆的圆心分别为O1（0，0），O2（a，0），半径长分别为r1＝2，r2＝1，由两圆内切可得｜O1O2｜＝r1－r2，即｜a｜＝1，所以a＝±1. 答案　±1 4.已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 解析　设两圆的交点分别为A，B，则A，B两点的坐标均满足方程组 ①－②，得3x－4y＋6＝0. 因为A，B两点坐标都满足此方程，所以3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 易知圆C1的圆心为（－1，3），半径r＝3. 又点C1到直线AB的距离d＝＝. 所以｜AB｜＝2×＝2×＝，即两圆的公共弦长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$