2.5.1.2 直线与圆的位置关系的应用(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二课时　直线与圆的位置关系的应用 （见学生用书P67） [学习目标]1.能用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题，培养数学建模和数学运算的核心素养（重点）.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题，强化直观想象和数学运算的核心素养（难点）. 要点一　解决实际问题的一般程序 仔细读题（审题）→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案. 要点二　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题. 第二步：通过代数运算，解决代数问题. 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）圆心到圆的切线的距离等于半径.（　　） （2）圆的弦的垂直平分线过圆心.（　　） （3）同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.（　　） （4）利用坐标法解决问题的好处是能将几何问题转化为代数问题解决.（　　） （5）利用坐标法解决几何问题时，应使所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.（　　） 解析　（1）正确.由圆的切线的定义可知. （2）正确.由垂径定理可知. （3）正确.因为圆心同时在这两条弦的垂直平分线上，所以这两条弦的垂直平分线的交点就是圆心. （4）正确.坐标法可以用坐标和方程表示相应的几何元素，将几何问题转化为代数问题. （5）正确.利用坐标法就是为了更方便快捷的解决问题，所以所给坐标或方程应尽量简单. 答案　（1）√　（2）√　（3）√　（4）√　（5）√ 探究一　直线与圆的方程的实际应用 答题模板 应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 （1）审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； （2）建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； （3）求解：利用直线与圆的有关知识求出结果； （4）还原：将运算结果还原到实际问题中去. 【例题1】如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示，圆C经过O，A，B三点. （1）求圆C的标准方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解析　（1）由题意可得A（40，40），B（20，0）. 设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 解得D＝－20，E＝－60，F＝0， 故圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0，圆心为C（10，30），半径r＝10， 所以圆C的标准方程为（x－10）2＋（y－30）2＝1 000. （2）该船初始位置为点D，则D（－20，－20）， 且该船航线所在直线l的斜率为， 故该船航行方向为直线l：x－3y－40＝0， 由于圆心C到直线l的距离d＝15（＋1）＞10， 故该船没有触礁的危险. 【变式1】如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　　　　米. 解析　如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋（y＋r）2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A（6，－2），将A（6，－2）代入圆的方程，得r＝10，所以圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100.当水面下降1米后，可设点A'（x0，－3）（x0＞0），将A'（x0，－3）代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1米后，水面宽为2x0＝2（米）. 答案　2 探究二　坐标法的应用 规律总结 坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则： （1）若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴； （2）充分利用图形的对称性； （3）让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称； （4）关键点的坐标易于求得. 【例题2】用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直. 已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2. 求证：AC⊥BD. 证明：如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系， 设顶点坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（x，y）， 因为AB2＋CD2＝BC2＋AD2， 所以a2＋b2＋（x－c）2＋y2＝b2＋c2＋（x－a）2＋y2， 所以（a－c）x＝0，因为a≠c，即a－c≠0， 所以x＝0，所以D在y轴上， 所以AC⊥BD. 【变式2】如图所示，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐标法证明：E是CD的中点. 　　　 题图　　　　　　　答图 证明：如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设☉O的半径为r，｜OE｜＝m，则☉O的方程为x2＋y2＝r2， 设C（m，b1），D（m，b2），则有m2＋＝r2，m2＋＝r2， 即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根， 解方程得b＝±， 不妨设b1＝－，b2＝， 则CD的中点坐标为（m，）， 即（m，0）.故E是CD的中点. 探究三　与圆上的点有关的最值问题 解题技巧 与圆上的点（x，y）有关的最值问题的常见探究及解法 （1）形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点（a，b）和点（x，y）的直线的斜率的最值. （2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. （3）形如t＝（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题. 【例题3】已知实数x，y满足方程（x－2）2＋y2＝3，求的最大值和最小值. 解析　原方程表示以点（2，0）为圆心，为半径的圆， 设＝k，则y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值， 此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. 【变式3】例题3中的条件不变，求y－x的最大值和最小值. 解析　设y－x＝b，则y＝x＋b. 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值， 此时＝， 即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. 1.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（　　） A. B. C.1 D.3 答案　A 解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值为圆心（1，1）到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.故选A项. 2.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面的高度最高约为（　　） A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 答案　B 解析　以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 易知半圆的方程为x2＋y2＝3.62（y≥0），由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5（负值舍去）.故选B项. 3.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是　　　　. 解析　由x2＋y2－4x－4y＋7＝0，得（x－2）2＋（y－2）2＝1，它表示以（2，2）为圆心，1为半径的圆.设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值.由＝1，得b＝±.故y－x的最小值是－. 答案　－ 4.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 证明：如图，分别以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系.设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）. 过四边形ABCD外接圆的圆心O'分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点.由线段的中点坐标公式，得xO'＝xM＝，yO'＝yN＝，xE＝，yE＝. 所以｜O'E｜＝＝. 又｜BC｜＝，所以｜O'E｜＝｜BC｜. 学科网（北京）股份有限公司 $$