2.5.1.1 直线与圆的位置关系(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 第一课时　直线与圆的位置关系 （见学生用书P64） [学习目标]1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，提升逻辑推理的核心素养（重点）.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系，强化数学运算与逻辑推理的核心素养（重点）. 要点　直线Ax＋By＋C＝0与圆（x－a）2＋ （y－b）2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　2　个 　1　个 　0　个 图形 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d　＜　r d　＝　r d　＞　r 代数法：联立它们的方程 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ　＞　0 Δ　＝　0 Δ　＜　0 思考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ 提示：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”.判断直线与圆的位置关系，一般用几何法. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（　　） （2）直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心.（　　） （3）若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a（a＞0）相切，则a＝4.（　　） （4）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（　　） 解析　（1）错误.直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切. （2）正确.因为圆x2＋y2＝1的圆心（0，0）刚好在直线l：x＝0上，所以直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心. （3）错误.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得a＝2. （4）正确.因为圆心到直线的距离大于半径，所以直线和圆的位置关系是相离，没有公共点，因此联立消元后得到的一元二次方程无解. 答案　（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 探究一　直线与圆的位置关系 解题技巧 （1）直线与圆的位置关系的判断方法 ①几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. ②代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. ③直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. （2）逆用上述的几何法和代数法可以根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围. 【例题1】已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0，若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围. 解析　将圆的方程配方，得＋（y－3）2＝，故有＞0，解得m＜. 将直线l与圆C的方程联立， 得 消去y，得x2＋＋x－6×＋m＝0， 整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0.（*） 因为直线l与圆C没有公共点，所以方程（*）无解， 故有Δ＝102－4×5（4m－27）＜0，解得m＞8. 所以m的取值范围是. 【变式1】（1）已知圆C： x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（　　） A. l与C相交 B. l与C相切 C. l与C相离 D.以上三个选项均有可能 （2）（多选）设m＞0，则直线l：（x＋y）＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.以上均有可能 解析　（1）将点P（3，0）代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，所以点P（3，0）在圆内.所以过点P的直线l必与圆C相交.故选A项. （2）由题意得圆心到直线l的距离d＝，圆的半径r＝，因为d－r＝－＝（m－2＋1）＝（－1）2≥0，所以d≥r，故直线l和圆O相切或相离.故选AC项. 答案　（1）A　（2）AC 探究二　直线与圆相切的有关问题 规律总结 （1）过圆外一点求圆的切线方程的两种方法 ①几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程. ②代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程. （2）过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条. 【例题2】过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线的方程. 解析　由（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，得点M在圆外. 当切线的斜率存在时，设切线的方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故＝1， 解得k＝， 所以切线的方程为24x－7y－20＝0. 当切线的斜率不存在时，直线x＝2与圆相切. 综上所述，所求切线的方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 【变式2】若将例题2中点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？ 解析　由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1，故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在. 因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求切线的斜率k＝0，所以切线的方程为y＝－2. 探究三　圆的弦长问题 规律总结 直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝·｜x1－x2｜＝ 【例题3】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长. 解析　x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋（y－1）2＝5， 所以圆心坐标为（0，1），半径r＝. 因为点（0，1）到直线l的距离d＝＝， 所以半弦长为＝＝， 所以截得的弦长为. 【变式3】若一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程. 解析　由圆x2＋y2＝25的半径r＝5，直线被圆所截得的弦长l＝8，得弦心距d＝＝＝3. 因为圆心O（0，0）到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3 是符合题意的一条直线. 设直线y＋＝k（x＋3）也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离为3，于是＝3，解得k＝－.故直线的方程为3x＋4y＋15＝0. 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的直线方程分别为x＝－3 和3x＋4y＋15＝0. 1.直线x＋y＝m与圆x2＋y2＝m（m＞0）相切，则m＝（　　） A. B. C. D.2 答案　D 解析　由题意得，圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.故选D项. 2.（多选）直线l： x－1＝m（y－1）和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是（　　） A.相离 B.相切或相离 C.相交 D.相切 答案　CD 解析　l过定点A（1，1），又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，所以l与圆相交或相切.故选CD项. 3.过点（3，1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦长为　　　　. 解析　设点A（3，1），由题意可知圆心C（2，2），半径r＝2.易知当弦过点A（3，1）且与CA垂直时为最短弦，因为｜CA｜＝＝，所以半弦长为＝＝，所以最短弦长为2. 答案　2 4.（2021·天津）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，则｜AB｜＝　　　　. 解析　设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A（0，b），由于直线AB与圆x2＋（y－1）2＝1相切，且圆心为C（0，1），半径为1，则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以｜AC｜＝2，因为｜BC｜＝1，故｜AB｜＝＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$