2.3.3、2.3.4 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 （见学生用书P56） [学习目标]1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，强化直观想象和数学运算的核心素养.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养（重点）. 要点　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的　垂线段　的长度 夹在两条平行直线间的　公垂线段　的长 图示 公式 （或求 法） 点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝，即｜｜＝｜·n｜（M为任意一点，n为单位向量） 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　　） （2）直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离.（　　） （3）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.（　　） （4）连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离.（　　） 解析　（1）错误.点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离d＝，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式. （2）正确.由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短知结论成立，这是点到直线距离的代数特征. （3）正确.由平行线间距离的定义可知. （4）错误.两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并不是两平行直线上任意两点间的距离. 答案　（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 探究一　点到直线的距离 规律总结 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于此时直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可采用数形结合法求点到直线的距离. 【例题1】求在两坐标轴上截距相等，且与点A（3，1）的距离为的直线方程. 解析　①当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx（k≠0），即kx－y＝0.由已知得＝，整理得7k2－6k－1＝0，解得k＝－或1，故所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0. ②当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，其斜率为－1，设直线为x＋y＋C＝0（C≠0），由已知得＝，解得C＝－6或C＝－2.故所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 【变式1】（多选）垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P（－1，0）的距离是的直线l的方程为（　　） A.3x－y＋9＝0 B.3x－y－3＝0 C.3x－y－9＝0 D.3x－y＋3＝0 答案　AB 解析　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝＝＝，所以｜m－3｜＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.故选AB项. 探究二　两平行线间的距离 规律总结 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.若直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2（b1≠b2），则d＝；若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0（A，B不全为0且C1≠C2），则d＝.必须注意两直线方程中x，y的系数分别对应相等. 【例题2】（1）求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离. （2）求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0的距离相等的直线l的方程. 解析　（1）由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0，所以d＝＝＝. （2）由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0（C≠4且C≠－2）.由直线l与两条平行直线的距离相等，可得＝，即｜C－4｜＝｜C＋2｜，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 【变式2】（1）已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是（　　） A.1 B.2 C. D.4 （2）（多选）已知直线m：2x＋y－1＝0与直线n平行，且两条直线之间的距离为，则直线n的方程可为（　　） A.2x＋y＋4＝0 B.2x＋y－4＝0 C.2x＋y＋6＝0 D.2x＋y－6＝0 解析　（1）由两条直线平行可得＝，解得m＝24，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝1.故选A项. （2）根据题意可设直线n的方程为2x＋y＋λ＝0，则＝，解得λ＝4或λ＝－6，所以直线n的方程为2x＋y＋4＝0或2x＋y－6＝0.故选AD项. 答案　（1）A　（2）AD 探究三　利用距离公式解决最值问题 解题技巧 通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围. 【例题3】已知两条互相平行的直线分别过A（6，2）和B（－3，－1）两点，设两条平行直线间的距离为d. （1）求d的取值范围； （2）当d取最大值时，求两条直线的方程. 解析　（1）如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，即dmax＝｜AB｜＝＝3；当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤3，即所求的d的取值范围是（0，3]. （2）当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3），即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 【变式3】（1）已知动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求｜OP｜最小时点P的坐标. （2）求过点P（1，2）且与原点距离最大的直线方程. 解析　（1）直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，所以OP所在的直线方程为y＝x.由解得所以点P的坐标为（2，2）. （2）由题意知，过点P且与OP垂直的直线与原点O的距离最大，因为kOP＝2，所以所求直线的斜率为－，所以所求直线的方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0. 探究四　直线中的对称问题 规律总结 几种常用的特殊对称： （1）A（a，b）关于x轴对称的点为A'（a，－b）； （2）B（a，b）关于y轴对称的点为B'（－a，b）； （3）C（a，b）关于直线y＝x对称的点为C'（b，a）； （4）D（a，b）关于直线y＝－x对称的点为D'（－b，－a）； （5）P（a，b）关于直线x＝m对称的点为P'（2m－a，b）； （6）Q（a，b）关于直线y＝n对称的点为Q'（a，2n－b）. 【例题4】已知直线l：y＝3x＋3. （1）求点P（4，5）关于l对称的点的坐标； （2）求直线l1：y＝x－2关于l对称的直线的方程； （3）求直线l关于点A（3，2）对称的直线的方程. 解析　（1）设点P关于直线l对称的点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点M在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 由解得 所以点P'的坐标为（－2，7）. （2）由得即直线l1与l相交于点P（－，－）.在直线l1上取点M（1，－1），易求M关于直线l对称的点Q的坐标为， 由两点式可得直线PQ的方程为＝，即所求直线的方程为7x＋y＋22＝0. （3）设直线l关于点A（3，2）对称的直线为l'， 由l∥l'可设l'：y＝3x＋b（b≠3）. 由点到直线的距离公式得＝， 即｜b＋7｜＝10，解得b＝－17或b＝3（舍去）， 所以直线l'的方程为y＝3x－17，即所求直线的方程为3x－y－17＝0. 【变式4】与直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　） A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0 C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0 答案　D 解析　由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.在直线2x＋3y－6＝0上任取一点（3，0），其关于点（1，－1）对称的点为（－1，－2），而点（－1，－2）必在所求直线上，由2×（－1）＋3×（－2）＋C＝0，得C＝8.故所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.故选D项. 1.点（2，5）到直线y＝2x的距离为（　　） A. B. C. D. 答案　A 解析　直线y＝2x可化为2x－y＝0，由点到直线的距离公式得＝＝.故选A项. 2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为（　　） A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　由题意和距离公式可得d＝＝.故选B项. 3.已知点P（a，0）到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为（　　） A.（7，＋∞） B.（－∞，－3） C.（－∞，－3）∪（7，＋∞） D.（－3，7） 答案　C 解析　由题意得＞3，即｜3a－6｜＞15.故3a－6＞15或3a－6＜－15，即a＞7或a＜－3.故选C项. 4.已知两平行线分别经过点A（3，0），B（0，4），则它们之间的距离d满足的条件是（　　） A.0＜d≤3 B.0＜d≤5 C.0＜d＜4 D.3≤d≤5 答案　B 解析　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为｜AB｜＝5，所以0＜d≤5.故选B项.故选D项. 学科网（北京）股份有限公司 $$