2.3.1、2.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 （见学生用书P52） [学习目标]1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提升数学运算的核心素养.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系，培养逻辑推理的核心素养.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式并会应用，提升数学运算的核心素养（重点）.4.会用坐标法证明简单的平面几何问题，提升直观想象的核心素养（难点）. 要点一　两条直线的交点 1.两直线的交点 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0）与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为0）的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上，所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2.两直线的位置关系 在同一平面内的两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，直线l1与l2的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 　无解　 直线l1与l2的公共点的个数 一个 　无数个　 零个 直线l1与l2的位置关系 　相交　 重合 　平行　 思考：观察下面的图象，发现直线都经过点（4，1），怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示：当斜率存在时，直线方程为y－1＝k（x－4）（k∈R）；当斜率不存在时，直线方程为x＝4. 要点二　两点间的距离公式 点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式｜P1P2｜＝　　. 注意：（1）此公式与两点的先后顺序无关. （2）原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离｜OP｜＝. 思考：当两点A（x1，y1），B（x2，y2）都在同一坐标轴上时，两点间的距离公式还适用吗？ 提示：适用.当两点都在x轴上时，｜AB｜＝｜x1－x2｜；当两点都在y轴上时，｜AB｜＝｜y1－y2｜. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.（　　） （2）无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.（　　） （3）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.（　　） （4）点P1（0，a）和点P2（b，0）之间的距离为a－b.（　　） （5）在两点间的距离公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果.（　　） 解析　（1）正确.由直线交点坐标的概念可知. （2）错误.当m＝时，两直线平行. （3）错误.当方程组有无数多组解时，两直线重合. （4）错误.｜P1P2｜＝. （5）正确.两点间的距离公式与坐标之差的平方有关，所以位置可以互换，不影响计算结果. 答案　（1）√　（2）×　（3）×　（4）×　（5）√ 探究一　两直线的交点问题 规律总结 （1）求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组. （2）解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法. 【例题1】（1）已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为（　　） A. B. C. D. （2）经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程为（　　） A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0 C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0 解析　（1）解方程组得故两直线的交点坐标为.故选B项. （2）联立直线方程得解得所以交点坐标为（1，6），直线x－2y＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程为y－6＝－2（x－1），即2x＋y－8＝0.故选A项. 答案　（1）B　（2）A 【变式1】（1）三条直线ax＋2y＋7＝0，4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值. （2）求过两条直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程. 解析　（1）解方程组得所以两条直线的交点坐标为（4，－2）. 由题意知点（4，－2）也在直线ax＋2y＋7＝0上， 所以a×4＋2×（－2）＋7＝0，解得a＝－. （2）联立解得即两直线的交点为（－2，2）.由题可设所求直线的方程为7x＋6y＋m＝0，因为此直线过点（－2，2），所以7×（－2）＋6×2＋m＝0，解得m＝2，故所求的直线方程为7x＋6y＋2＝0. 探究二　两点间的距离 解题技巧 关于两点间距离公式的应用问题通常有两类：一类是已知两点求距离，可直接套用两点间的距离公式；另一类是已知两点间的距离求点的坐标，可设出未知数，逆用两点间的距离公式列出方程（组）求解.使用公式时常结合根与系数的关系变形应用，要善于从公式到几何意义的逆用，借助数形结合的思想解题. 【例题2】求下列两点间的距离. （1）A（2，0），B（0，8）；（2）A（1，3），B（－2，1）； （3）A（5，0），B（－1，0）；（4）A（a，3），B（a，－3）. 解析　（1）｜AB｜＝＝2. （2）｜AB｜＝＝. （3）由于点A，B均在x轴上，故有｜AB｜＝｜－1－5｜＝6. （4）由于直线AB⊥x轴，故有｜AB｜＝｜－3－3｜＝6. 【变式2】（1）已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值. （2）已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，求x的值. 解析　（1）设点P的坐标为（x，0）， 则有｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝＝. 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.故所求点P的坐标为. 所以｜PA｜＝＝. （2）由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5. 探究三　直线过定点问题 解题技巧 解含参数的直线恒过定点问题的策略 （1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. （2）含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，并且其定点可以由方程组解得.若整理成y－y0＝k（x－x0）的形式，则表示的所有直线必过定点（x0，y0）. 【例题3】求证：不论m取什么实数，直线（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标. 证明：将已知方程（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0整理为（2x＋y－1）m＋（－x＋3y＋11）＝0. 由m取值的任意性，得 解得所以无论m取什么实数，直线都经过定点（2，－3）. 【变式3】已知直线（a－2）y＝（3a－1）x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限. 证明：将直线方程整理为a（3x－y）＋（－x＋2y－1）＝0. 因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为，所以直线（a－2）y＝（3a－1）x－1恒过第一象限内的定点， 所以无论a为何值，直线总经过第一象限. 探究四　运用坐标法解决平面几何问题 答题模板 运用坐标法解决平面几何问题常见的步骤 （1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； （2）用坐标表示有关的量； （3）进行有关的代数运算； （4）把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 【例题4】在△ABC中，AD是BC边上的中线.求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. 证明：设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A（b，c），C（a，0），则B（－a，0）. 因为｜AB｜2＝（a＋b）2＋c2，｜AC｜2＝（a－b）2＋c2，｜AD｜2＝b2＋c2，｜DC｜2＝a2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2），｜AD｜2＋｜DC｜2＝a2＋b2＋c2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. 【变式4】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明：如图，以A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面 直角坐标系，其中D，E分别为AC和BC边的中点. 设A（0，0），B（c，0），C（m，n），则｜AB｜＝｜c｜. 又由中点坐标公式，得D，E， 所以｜DE｜＝＝，所以｜DE｜＝｜AB｜，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 1.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则｜PQ｜＝（　　） A.4 B.4 C.2 D.2 答案　B 解析　由题意可以得到P（1，1），Q（5，5），所以｜PQ｜＝＝4.故选B项. 2.（多选）若两直线x＋4y－5k＝0与x－ky＋6＝0的交点在直线y＝x上，则k的值为（　　） A.－3 B.－2 C.3 D.2 答案　BC 解析　在x＋4y－5k＝0中，令x＝y，得x＝y＝k，将点（k，k）代入x－ky＋6＝0，解得k＝3或k＝－2.故选BC项. 3.已知点A（－2，－1），B（a，3），且｜AB｜＝5，则a的值为（　　） A.1 B.5 C.－1或5 D.1或－5 答案　D 解析　由两点间的距离公式得（－2－a）2＋（－1－3）2＝52，所以（a＋2）2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.故选D项. 4.不论m为何实数，直线l：（m－1）x＋（2m－3）y＋m＝0恒过定点　　　　. 解析　直线l的方程可化为m（x＋2y＋1）－x－3y＝0，令解得所以直线l恒过定点（－3，1）. 答案　（－3，1） 学科网（北京）股份有限公司 $$