2.2.3 直线的一般式方程(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2.3　直线的一般式方程 （见学生用书P49） [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程，培养数学运算的核心素养（重点）.2.会进行直线方程的五种形式间的转化，提升逻辑推理的核心素养. 要点　直线的一般式方程 1.二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的　坐标　，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条　直线　.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 2.一般式方程的概念：把关于x，y的二元一次方程　Ax＋By＋C＝0　（其中A，B不同时为0）叫做直线的　一般式方程　，简称　一般式　. 思考：当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 提示：（1）若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝－，表示与y轴垂直的一条直线. （2）若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝－，表示与x轴垂直的一条直线. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）直线的一般式方程都可以化为截距式方程.（　　） （2）当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.（　　） （3）直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.（　　） （4）对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.（　　） 解析　（1）错误.直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，其中A，B不同时为0，当C＝0时，一般式不能化为截距式. （2）错误.当A，B都同时为零时，若C＝0，则方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；若C≠0，则方程无解，此时方程Ax＋By＋C＝0不表示任何图形. （3）正确.由一般式方程的概念可知. （4）错误.当A＝0，B≠0时，方程表示斜率为0的直线. 答案　（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 探究一　直线的一般式方程 规律总结 直线方程最终都可以转化为一般式，反过来，直线的一般式方程也可以向其他形式转化，但它的参数要有限制. （1）若A≠0，B＝0，则直线垂直于x轴，它不能转化为其余的四种形式. （2）若B≠0，A＝0，则直线与y轴垂直，它只能转化为点斜式和斜截式. （3）若AB≠0，C＝0，则直线的方程可转化为点斜式、斜截式和两点式，不能用截距式表示. （4）若ABC≠0，则直线的方程可转化为任何形式. 【例题1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点A（2，3）； （2）斜率为4，在y轴上的截距为－1； （3）经过A（－1，5），B（2，－1）两点； （4）在x，y轴上的截距分别是3，－1. 解析　（1）由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝（x－2），化为一般式方程为x－y＋3－2＝0. （2）由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－1，化为一般式方程为4x－y－1＝0. （3）由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. （4）由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为x－3y－3＝0. 【变式1】根据下列各条件写出直线的方程，并化为一般式. （1）斜率是－，且经过点A（8，－6）的直线方程为　　　　； （2）在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为　　　　； （3）经过点P1（3，－2），P2（5，－4）的直线方程为　　　　. 解析　（1）由点斜式方程可知，所求直线方程为y＋6＝－（x－8），化为一般式方程为x＋2y＋4＝0. （2）由截距式方程可知，所求直线方程为＋＝1，化为一般式方程为2x－y－3＝0. （3）由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为x＋y－1＝0. 答案　（1）x＋2y＋4＝0　（2）2x－y－3＝0　（3）x＋y－1＝0 探究二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 解题技巧 （1）利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为0）. ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. （2）过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 【例题2】判断下列直线的位置关系. （1）l1：2x－3y＋4＝0和l2：3x＋2y＋4＝0； （2）l1：2x－3y＋4＝0和l2：－2x＋3y＋4＝0； （3）l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0； （4）l1：（－a－1）x＋y＝5和l2：2x＋（2a＋2）·y＋4＝0. 解析　（1）由题知，≠，故l1与l2不平行. 又因为2×3＋（－3）×2＝0，故l1⊥l2. （2）由题知，＝≠，故l1∥l2. （3）由题知，＝＝＝－， 所以l1与l2重合. （4）由题知，当a＝－1时，l1：y＝5，l2：x＋2＝0，故l1⊥l2. 当a≠－1时，＝不成立，故l1与l2不平行， 又因为（－a－1）×2＋（2a＋2）×1＝0， 所以l1⊥l2. 综上知，l1⊥l2. 【变式2】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋（a－1）y＋a2－1＝0. （1）若l1∥l2，求a的值； （2）若l1⊥l2，求a的值. 解析　（1）若l1∥l2，则 即解得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2. （2）因为l1⊥l2，所以a＋2（a－1）＝0， 解得a＝，故当a＝时，l1⊥l2. 探究三　直线一般式方程的应用 答题模板 求含参直线方程中参数的步骤 【例题3】设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），分别根据下列条件确定k的值. （1）直线l的斜率为－1； （2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解析　（1）因为k≠3，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5. （2）由题意知直线l的方程可化为＋＝1， 则k－3＋2＝0，解得k＝1. 【变式3】直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解析　（1）当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； 当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝， 因为l在两坐标轴上的截距相等， 所以a－2＝，解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. （2）直线l的方程可化为y＝－（a＋1）x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤－1.所以a的取值范围为（－∞，－1]. 1.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和第二、四象限，则（　　） A. C＝0，B＞0 B. C＝0，B＞0，A＞0 C. C＝0，AB＜0 D. C＝0，AB＞0 答案　D 解析　因为直线l过原点，所以C＝0，又直线过第二、四象限，所以斜率为负值，即k＝－＜0，所以AB＞0.故选D项. 2.直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（　　） A. a＝2，b＝5 B. a＝2，b＝－5 C. a＝－2，b＝－5 D. a＝－2，b＝5 答案　B 解析　令x＝0，得y＝－5，令y＝0，得x＝2.所以a＝2，b＝－5.故选B项. 3.如果两点A（x1，y1）和B（x2，y2）的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，那么经过这两点的直线方程是　　　　. 解析　因为两点确定一条直线，所以点A，B均满足的直线方程是3x－5y＋6＝0. 答案　3x－5y＋6＝0 4.设直线l1：（a＋1）x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝　　　　；若l1⊥l2，则a＝　　　　. 解析　将直线l1：（a＋1）x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，分别化为斜截式方程为y＝－x－，y＝－x－.若l1∥l2，则－＝－，解得a＝；若l1⊥l2，则－×＝－1，解得a＝－7. 答案　　－7 学科网（北京）股份有限公司 $$