2.2.2 直线的两点式方程(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2.2　直线的两点式方程 （见学生用书P46） [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程，掌握数学运算的核心素养（重点）.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围，培养数学抽象的核心素养. 要点　直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2） 在x，y轴上的截距分别为a，b（a≠0，b≠0） 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 　斜率存在且不为0　　　　 　斜率存在且不为0，不过原点　 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（　　） （2）方程＝和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）适用的范围相同.（　　） （3）不经过原点的直线都可以用截距式方程表示.（　　） （4）过点（1，3）和（1，5）的直线可以用两点式方程来表示.（　　） 解析　（1）正确.能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴，从而斜率一定存在，即可用点斜式方程表示. （2）错误.方程＝成立的前提是y1≠y2且x1≠x2. （3）错误.垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程表示. （4）错误.因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式方程来表示. 答案　（1）√　（2）×　（3）×　（4）× 探究一　直线的两点式方程 答题模板 求过已知两点的直线方程的步骤： （1）设已知的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），看是否满足x1≠x2，y1≠y2，若满足则转入步骤（2），否则不能写出两点式方程； （2）代入两点式方程公式＝，即得所求直线的方程. 【例题1】已知三角形的顶点是A（0，4），B（－2，6），C（－8，0），求AC边所在直线的方程，以及该边的中线所在直线的方程. 解析　由直线的两点式方程得，AC边所在直线的方程为＝，整理得x－2y＋8＝0.设AC边的中点为D（x，y）， 则即D（－4，2），AC边上的中线是顶点B与AC边中点D所连线段，由两点式得直线BD的方程为＝，整理可得2x－y＋10＝0，即为AC边的中线所在直线的方程. 【变式1】过点A（2，1）和点B（a，2）的直线方程为　　　　. 解析　①当a＝2时，A，B两点的横坐标均为2，直线AB垂直于x轴，故所求直线的方程为x＝2，即x－2＝0. ②当a≠2时，由直线方程的两点式可得＝， 整理得x＋（2－a）y＋a－4＝0，（*） 当a＝2时，（*）式可化为x－2＝0. 综合①②可知，所求直线方程为x＋（2－a）y＋a－4＝0. 答案　x＋（2－a）y＋a－4＝0 探究二　直线的截距式方程 规律总结 求直线的截距式方程的方法和注意点： （1）由已知条件确定横、纵截距； （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可（此种情形极易遗漏）；若两截距不为零，则代入公式＋＝1中，可得所求的直线方程； （3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程一定要注意“零截距”的情况. 【例题2】求过点（4，－3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程. 解析　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. 因为点（4，－3）在直线上，所以＋＝1. 因为｜a｜＝｜b｜，所以若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1；若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线方程为x－y＝7. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点（4，－3）， 所以直线方程为3x＋4y＝0. 综上可知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 【变式2】 求过点（2，4）且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程. 解析　①当直线的截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点（2，4）代入得a＝－2，此时直线方程为x－y＋2＝0； ②当直线的截距均为0时，直线过原点，且过点（2，4）， 故直线方程为2x－y＝0. 综上知，所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0. 探究三　直线方程的综合应用 解题技巧 直线方程的选择技巧 （1）已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率. （2）若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距. （3）若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.若解决直线与坐标轴围成的三角形的面积问题时，一般选用截距式方程，设直线在x，y轴上的截距为a，b，则三角形的面积S＝｜a｜｜b｜. 【例题3】已知△ABC的一个顶点是A（3，－1），∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x. （1）求直线BC的方程； （2）求直线AB的方程，并求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积. 解析　△ABC的示意图如图所示. （1）因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x， 所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称. 因为点A（3，－1）关于x＝0的对称点A'（－3，－1）在直线BC上，A关于y＝x的对称点 A″（－1，3）也在直线BC上. 所以由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5. （2）因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数， 由（1）知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为－2， 又因为点A的坐标为（3，－1）， 所以直线AB的方程为y－（－1）＝－2（x－3），即2x＋y－5＝0. 所以直线AB在x轴上的截距为，在y轴上的截距为5，所以直线AB与坐标轴围成的 三角形的面积为S＝×5×＝. 【变式3】已知△ABC中，A（1，－4），B（6，6），C（－2，0）. （1）求△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； （2）求BC边的中线所在直线的方程，并求出此直线与坐标轴围成的三角形的面积. 解析　（1）平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.因为线段AB，AC的中点坐标分别为，（－，－2），所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为＝，整理得6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1. （2）因为BC边的中点为（2，3），所以BC边的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1，所以此直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－11，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝××｜－11｜＝. 1.经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为（　　） A.5x＋3y－25＝0 B.5x－3y－25＝0 C.3x－5y－25＝0 D.5x－3y＋25＝0 答案　B 解析　经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为＝，整理得5x－3y－25＝0.故选B项. 2.在x轴、y轴上的截距分别为4，－3的直线方程为（　　） A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. －＝1 D. －＝1 答案　C 解析　由题意可得直线方程为＋＝1，即－＝1.故选C项. 3.过点P（4，－3）且在坐标轴上截距相等的直线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　B 解析　当直线过原点时，显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为＋＝1，把点P（4，－3）代入方程得a＝1.因而所求直线有2条.故选B项. 4.已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（　　） A.4x＋2y＝5 B.4x－2y＝5 C. x＋2y＝5 D. x－2y＝5 答案　B 解析　线段AB的中点坐标为.因为直线AB的斜率为＝－，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，则线段AB的垂直平分线的方程为y－＝2（x－2），化简得4x－2y＝5.故选B项. 学科网（北京）股份有限公司 $$