2.2.1 直线的点斜式方程(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 （见学生用书P44） [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，培养数学运算的核心素养（重点）.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 要点　直线的点斜式方程和斜截式方程 方程类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P（x0，y0）和　斜率k　 斜率k和在y轴上的　截距b　　　　（直线l与y轴交点（0，b）的　纵坐标b　叫做直线l在y轴上的截距） 图示 方程 　y－y0＝k（x－x0）　 　y＝kx＋b　 思考：直线的斜截式方程与点斜式方程有何联系？ 提示：直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0），可化为y＝kx＋（y0－kx0）（其中（y0－kx0）∈R），即为直线的斜截式方程，即两种形式可以互化，但都不能表示与x轴垂直的直线. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）方程k＝与y－y0＝k（x－x0）表示的意义相同.（　　） （2）直线y－3＝k（x＋1）恒过定点（－1，3）.（　　） （3）经过P0（x0，y0）的任意直线方程可表示为y－y0＝k（x－x0）.（　　） （4）直线l在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离.（　　） （5）所有的直线都有点斜式和斜截式方程.（　　） 解析　（1）错误.方程k＝表示的图形中没有点（x0，y0）. （2）正确.由直线方程的点斜式知，方程y－3＝k（x＋1）表示过点（－1，3），斜率为k的直线. （3）错误.当直线的斜率存在时，可表示为y－y0＝k（x－x0）；当直线的斜率不存在时，不能表示为点斜式方程，其方程可表示为x＝x0. （4）错误.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标，而不是距离. （5）错误.垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，即斜率不存在，没有点斜式和斜截式方程. 答案　（1）×　（2）√　（3）×　（4）×　（5）× 探究一　求直线的点斜式方程 误区防错 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 （1）求直线的点斜式方程的步骤：定点（x0，y0）→定斜率k→写出方程y－y0＝k（x－x0）. （2）点斜式方程y－y0＝k·（x－x0）可表示过点P（x0，y0）的所有直线，但x＝x0除外. 【例题1】根据条件写出下列直线的方程. （1）经过点A（－1，4），斜率k＝－3； （2）经过坐标原点，倾斜角为30°； （3）经过点B（3，－5），倾斜角为90°. 解析　（1）因为直线经过点A（－1，4），斜率k＝－3， 所以点斜式方程为y－4＝－3[x－（－1）]. （2）因为直线经过原点（0，0），斜率k＝tan 30°＝， 所以点斜式方程为y－0＝（x－0）. （3）因为直线经过点B（3，－5）且与x轴垂直，所以直线方程为x＝3. 【变式1】求下列直线的点斜式方程. （1）经过点P（1，－2），且倾斜角为30°的直线； （2）经过点A（－1，1），倾斜角是直线y＝x－2的倾斜角的2倍的直线； （3）经过坐标原点，且倾斜角为135°的直线. 解析　（1）由题意知，直线的斜率k＝tan 30°＝， 所以直线的点斜式方程为y＋2＝（x－1）. （2）由题意知，所求直线的倾斜角为120°，则直线的斜率k＝tan 120°＝－.又直线过点A（－1，1），所以直线的点斜式方程为y－1＝－[x－（－1）]. （3）由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－0＝－（x－0）. 探究二　直线的斜截式方程 误区防错 直线的斜截式方程的两点注意 （1）截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任意的实数.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0且b≠0时，y＝b表示与x轴平行的直线；当k＝0且b＝0时，y＝0表示与x轴重合的直线. （2）斜截式方程与一次函数的表达式相同，但有区别.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数.一次函数y＝kx＋b（k≠0）必是一条直线的斜截式方程. 【例题2】已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且直线l与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 解析　由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距为－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 【变式2】本例中若将“直线l与l1平行且直线l与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且直线l与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程. 解析　因为l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3， 所以l的斜率为. 因为l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，所以l在y轴上的截距为2. 所以直线l的方程为y＝x＋2. 探究三　点斜式、斜截式方程的综合应用 规律总结 （1）若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. （2）证明直线过定点的基本方法：①点斜式的应用，②代数方法处理恒成立问题的基本思想. 【例题3】（1）当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2平行？ （2）当a为何值时，直线l1：y＝（2a－1）x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解析　（1）由a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1.故当a＝－1时，l1∥l2. （2）由4（2a－1）＝－1，解得a＝.故当a＝时，l1⊥l2. 【变式3】求满足下列条件的m的值. （1）直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝（m2－2）x＋2m平行； （2）直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝（2m－1）x－5垂直. 解析　（1）因为l1∥l2，所以两直线的斜率相等.所以m2－2＝－1且2m≠1，所以m＝±1. （2）因为l1⊥l2，所以（－2）×（2m－1）＝－1，所以m＝. 1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（　　） A. x＝3 B. y＝－5 C.2y＝x D. x＝4y－1 答案　B 解析　直线的斜截式方程为y＝kx＋b，只有B项符合.故选B项. 2.方程y＝k（x－2）表示（　　） A.通过点（－2，0）的所有直线 B.通过点（2，0）的所有直线 C.通过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点（2，0）且除去x轴的所有直线 答案　C 解析　由方程可知，直线通过点（2，0），且直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.故选C项. 3.已知直线l的方程为y－m＝（m－1）（x＋1），若l在y轴上的截距为7，则m＝　　　　. 解析　因为直线l的方程可化为y＝（m－1）x＋2m－1，所以2m－1＝7，解得m＝4. 答案　4 4.求证：不论m为何值，直线l：y＝（m－1）x＋2m＋1总过第二象限. 证明：因为直线l的点斜式方程为y－3＝（m－1）（x＋2），所以直线l过定点（－2，3），由于点（－2，3）在第二象限，故直线l总过第二象限. 学科网（北京）股份有限公司 $$