2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(word教参)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 （见学生用书P41） [学习目标]1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，提升逻辑推理的核心素养（重点）.2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题，提升数学运算和逻辑推理的核心素养（难点）. 要点一　两条直线（不重合）平行的判定 探究 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔　k1＝k2　 l1∥l2⇔　两直线的斜率都不存在　 图示 思考：两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 提示：不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在. 要点二　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2（两直线的斜率都存在）⇔　k1k2＝－1　 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔　l1⊥l2　 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.（　　） （2）若两条直线平行，则这两条直线的方向向量一定相等.（　　） （3）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.（　　） （4）若两条直线的斜率都不存在，且两直线不重合，则这两条直线平行.（　　） 解析　（1）错误.当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线也垂直. （2）错误.若两条直线平行，则这两条直线的方向向量只要共线即可. （3）错误.当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线才垂直. （4）正确.斜率都不存在且不重合的两条直线都是垂直于x轴的直线，所以这两条直线平行. 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 探究一　两条直线的平行与垂直 规律总结 （1）l1∥l2⇔k1＝k2的前提包括：①l1和l2是两条不重合的直线；②l1和l2的斜率都存在.两个前提条件少了任何一个都会导致结论错误. （2）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1的前提是l1与l2都有斜率且不等于零.若忽略此前提条件，容易导致结论错误. 【例题1】判断下列各题中直线l1，l2的位置关系. （1）若l1的斜率为1，l2经过点P（1，1），Q（3，3），则　　　　； （2）若l1经过点A（－3，2），B（－3，10），l2经过点C（5，－2），D（5，5），则　　　　； （3）若l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点C（－1，3），D（2，0），则　　　　； （4）若l1经过点A（－1，－2），B（1，2），l2经过点M（－2，－1），N（0，－2），则　　　　； （5）若l1经过点A（3，2），B（3，－1），l2经过点M（1，1），N（2，1），则　　　　. 解析　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. （1）k1＝1，k2＝＝1， 因为k1＝k2，所以l1与l2重合或l1∥l2. （2）l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1∥l2. （3）k1＝＝－1，k2＝＝－1， 因为k1＝k2，所以由数形结合知l1∥l2. （4）k1＝＝2，k2＝＝－， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. （5）l1的斜率不存在，k2＝＝0， 画出图形如图所示，由图知l1⊥l2. 答案　（1）l1与l2重合或l1∥l2　（2）l1∥l2　（3）l1∥l2　（4）l1⊥l2　（5）l1⊥l2 【变式1】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直. （1）l1的倾斜角为60°，l2经过点A（1，），B（－2，－2）； （2）l1经过P（3，4），Q（3，5）两点，l2经过M（－10，40），N（2，40）两点. 解析　（1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.由题意可知k1＝tan 60°＝，k2＝＝. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合. （2）因为l1经过P（3，4），Q（3，5）两点，l2经过M（－10，40），N（2，40）两点，所以l1的斜率不存在，l2的斜率为0，所以l1⊥l2. 探究二　平行与垂直关系的应用 答题模板 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 【例题2】已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 解析　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示. 因为kAB＝＝， kCD＝＝， kAD＝＝－3， kBC＝＝－， 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD. 因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行. 又kAB·kAD＝×（－3）＝－1，所以AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 【变式2】（1）已知点A（－1，3），B（3，－2），C（6，－1），D（2，4），求证：四边形ABCD为平行四边形. （2）某矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知AD＝50 m，AB＝30 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，试在线段BC上找到一点M，使得两条小路所在的直线AC与DM相互垂直. 解析　（1）由点A（－1，3），B（3，－2），C（6，－1），D（2，4）， 得＝（4，－5），＝（4，－5），＝（3，1），＝（3，1），所以＝，＝， 所以四边形ABCD为平行四边形. （2）如图所示，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 由AD＝50 m，AB＝30 m，可得C（50，0），D（50，30），A（0，30）.设点M的坐标为（x，0）， 因为AC⊥DM，且直线AC，DM的斜率均存在， 所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1，解得x＝32. 故当BM＝32 m时，两条小路所在的直线AC与DM相互垂直. 探究三　平行与垂直关系中的参数 规律总结 已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，首先需要考虑直线的斜率是否存在.若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零. 【例题3】已知直线l1经过点A（3，a），B（a－1，2），直线l2经过点C（1，2），D（－2，a＋2）. （1）若l1∥l2，求a的值； （2）若l1⊥l2，求a的值. 解析　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k2＝＝－. （1）若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－. 因为k1＝，所以＝－， 解得a＝1或a＝6. 经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2. （2）若l1⊥l2， ①当k2＝0时，a＝0，k1＝－，不符合题意； ②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝， 由k1k2＝－1，可得·＝－1， 解得a＝3或a＝－4，经检验，均符合题意. 综上，当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 【变式3】已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，求实数a的值. 解析　l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1， 即a·＝－1，得a＝1. 当a＝0时，P（0，－1），Q（0，0），这时直线l2为y轴，A（－2，0），B（1，0），这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2. 故实数a的值为0或1. 1.已知A（2，0），B（3，3），直线l∥AB，则直线l的斜率k＝（　　） A.－3 B.3 C.－ D. 答案　B 解析　因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.故选B项. 2.经过点A（－3，4），B（－2，2）的直线l1与经过点C（2，－1），D（6，1）的直线l2的位置关系为（　　） A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.重合 答案　C 解析　因为kAB＝－2，kCD＝，所以kAB·kCD＝－1，所以l1⊥l2.故选C项. 3.若经过点（3，a），（－2，0）的直线与经过点（3，－4）且斜率为的直线垂直，则a的值为（　　） A. B. C.10 D.－10 答案　D 解析　由题意知＝－2，所以a＝－10.故选D项. 4.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，0），C（4，3），则顶点D的坐标为　　　　. 解析　设D（m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC， 所以解得 所以顶点D的坐标为（3，4）. 答案　（3，4） 学科网（北京）股份有限公司 $$